數(shù)理統(tǒng)計基本概念

作出精確而可信的結(jié)論。數(shù)理統(tǒng)計可以分為兩大類：一類是如何科學地安排試驗，-------描述統(tǒng)計學，如：試驗設(shè)計、抽樣方法。另一類是研究如何分析所獲得的隨機數(shù)據(jù)，對所研究的問題進行科學的、合理的估計和推斷，盡可能的為采取一定的決策提供依據(jù)，-------推斷統(tǒng)計學，如：參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等。以獲取有效的隨機數(shù)據(jù)。第二章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念100個樣品進行強度測試，于是面臨下列幾個問題：例：某廠生產(chǎn)一型號的合金材料，用隨機的方法選取1、估計這批合金材料的強度均值是多少?(參數(shù)的點估計問題）2、強度均值在什么范圍內(nèi)？(參數(shù)的區(qū)間估計問題）3、若規(guī)定強度均值不小于某個定值為合格，那么這批材料是否合格？(參數(shù)的假設(shè)檢驗問題）4、這批合金的強度是否服從正態(tài)分布？5、若這批材料是由兩種不同工藝生產(chǎn)的，那么不同的工藝對合金強度有否影響？若有影響，哪一種工藝生產(chǎn)的強度較好？(分布檢驗問題）(方差分析問題）6、若這批合金由幾種原料用不同的比例合成，那么如何表達這批合金的強度與原料比例之間的關(guān)系？(回歸分析問題）我們依次討論參數(shù)的點估計、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸分析。下面引入一些數(shù)理統(tǒng)計中的術(shù)語。二、統(tǒng)計量一、總體與樣本抽樣和抽樣分布三、幾個常用的分布四、正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布1.總體研究對象的某項數(shù)量指標值全體稱為總體(母體)。個體——總體中每個成員（元素）。2.樣本一、總體和樣本對總體做n次重復(fù)獨立觀測，稱為簡單隨機抽樣。抽樣得到的個體稱為樣本。(2)獨立同分布性要求抽取的樣本滿足下面兩點:(1)代表性：簡單隨機抽樣每一個分量Xk與所考察的總體有相同的分布。個體被抽到的可能性相同。從總體中抽取樣本的每一個分量Xk

是隨機的,是相互獨立的隨機變量。（若不特別說明，均指簡單隨機樣本）簡單隨機樣本可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量若總體X的分布函數(shù)為聯(lián)合分布函數(shù)為若總體X的分布密度函數(shù)為表示。則其簡單隨機樣本的則其簡單隨機樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為離散總體則樣本的分布律我們只能觀察到隨機變量取的值,而見不到隨機變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系

事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班學生中抽取10人測量身高，得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.因而可以由樣本值去推斷總體.總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，去推斷總體的情況--總體分布F(x)的性質(zhì).樣本是聯(lián)系二者的橋梁。統(tǒng)計是從手中已有的資料--樣本值，4.樣本的分布1）樣本的頻數(shù)分布將n個樣本值按從小到大排列，把相同的數(shù)合并，并指出其頻數(shù)（樣本中各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)）x頻數(shù)頻率2）樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)樣本值:樣本值小于或等于x的個數(shù)，作－－－樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)給出了在n次獨立重復(fù)試驗中，事件出現(xiàn)的頻率，具有分布函數(shù)的一切性質(zhì)。如：非降，右連續(xù)；由頻數(shù)分布知---n次獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率。根據(jù)伯努利大數(shù)定律，這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù).格列汶科進一步證明了：當n→∞時，F(xiàn)n(x)以概率1關(guān)于x一致收斂于F(x)，即（格列汶科定理）定理告訴我們，當樣本容量n足夠大時，對所有的x,

Fn(x)與F(x)之差的絕對值都很小，這件事發(fā)生的概率為1.定義：設(shè)是來自總體X的一個樣本，為一實值連續(xù)函數(shù)，其不包含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。為的觀測值。注：是變量的函數(shù)，仍為隨機變量。是一個數(shù)。二、統(tǒng)計量1.統(tǒng)計量

2.幾個常見的統(tǒng)計量樣本均值樣本方差是來自總體X的一個樣本，樣本標準差證明：左邊＝樣本k

階原點矩樣本k階中心矩常見統(tǒng)計量的性質(zhì)統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統(tǒng)計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做統(tǒng)計量的“抽樣分布”

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三、抽樣分布(1)標準正態(tài)分布X的上α

(0<α<1)分位點記為設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),

則稱隨機變量：所服從的分布為自由度為n的分布.

對于給定的正數(shù)稱滿足條件為分位點.分布的上的點

分布的分位點上分位點雙側(cè)分位點一般的分布表只列到n=45,n>45時，由記為T～t(n).服從自由度為n的t分布，(3)t分布設(shè)X～N(0,1),Y～則稱變量,且X與Y相互獨立，當n充分大時，其圖形類似于標準正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。

t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對稱性質(zhì)

t分布的分位點

對于給定的正數(shù)稱滿足條件的點為分位點”。分布的“上(4)F

分布的F分布，n1稱為第一自由度，設(shè)X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量服從自由度為稱為第二自由度，記作由定義可得性質(zhì)F

分布的分位點對于給定的正數(shù)稱滿足條件為分布的的點上分位點表中所給的都是很小的數(shù)，如0.01，0.05等當表中查不出，由性質(zhì)（2）較大時，如0.95，四.正態(tài)總體抽樣分布定理的樣本,則有

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn

是來自正態(tài)總體定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn

是取自正態(tài)總體樣本,分別為樣本均值和樣本方差.則有的和相互獨立。

分別是這兩個樣本的均值,且X與Y獨立,是取自X的樣本,樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,則有是取自Y的定理3(兩總體樣本均值差的分布)二、估計量的評選標準一、點估計第三章參數(shù)估計三、區(qū)間估計四、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計

參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的基本問題之一，問題中，并不一定要求密度函數(shù)，而只要知道參數(shù)在許多實際取值就可以了。考察燈泡廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量，由于種種隨機易知燈泡使用壽命是隨機變量，記為且

問題：如何估計和？引例:因素的影響，知道了參數(shù)μ，σ2的值，那么壽命X的分布就完全確定了.參數(shù)估計要解決問題:總體分布函數(shù)的形式為已知,需要確定未知參數(shù)。但其中參數(shù)未知時，這類問題稱為參數(shù)估計問題。對于未知參數(shù)，如何應(yīng)用樣本所提供的信息去對其一個或多個未知參數(shù)進行估計。對未知參數(shù)估計的兩種方法：通過樣本1、點估計2、區(qū)間估計一、點估計點估計問題：故可用樣本矩來估計總體矩。這個估計方法是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出的?；驹恚嚎傮w矩是反映總體分布的最簡單的數(shù)字特征，當總體含有待估計參數(shù)時，總體矩是待估計參數(shù)的函數(shù)。樣本取自總體，即樣本矩在一定程度上可以逼近總體矩，（一）矩估計法其中是待估參數(shù)為來自的樣本,存在.設(shè)總體的k階矩則樣本的k階矩(大數(shù)定律)令從中解得k個方程組即為矩估計量。矩估計量的觀察值稱為矩估計值。設(shè)總體X的分布函數(shù)為矩估計的步驟：連續(xù)型離散型例1

設(shè)某炸藥廠一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)X服從

例2設(shè)總體在上服從均勻分布，解：由矩法,解得在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.（二）極大似然法

選擇一個參數(shù)使得試驗結(jié)果具有最大概率—極大似然法的基本思想.基本思想:若事件發(fā)生了,則認為事件中出現(xiàn)的概率最大。最大似然估計就是在一次抽樣中,若得到觀測值則選取若一試驗有n個可能結(jié)果現(xiàn)做一試驗,在這n個可能結(jié)果作為的估計值，使得當時,樣本出現(xiàn)的概率最大。最大似然估計法:是的一個樣本值(離散型)(1)設(shè)事件發(fā)生的概率為

的函數(shù)，形式已知，X的分布律為：

樣本的似然函數(shù)即取使得：與有關(guān),記為稱為參數(shù)的最大似然估計值。稱為參數(shù)的最大似然估計量.達到最大的參數(shù)作為的估計值，現(xiàn)從中挑選使概率樣本的似然函數(shù)說明：用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的MLE有時行不通，這時要用極大似然原則來求.使似然函數(shù)達到最大的即的MLE。

(4)在最大值點的表達式中,用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計值.(1)由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布律

(或聯(lián)合密度);(2)把樣本聯(lián)合分布律(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作自變量,

得到似然函數(shù)L();(3)求似然函數(shù)L()的最大值點(常常轉(zhuǎn)化為求ln

L()的最大值點)，即

的MLE;求極大似然估計(MLE)的一般步驟是：似然函數(shù)為：

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本其中>0,求的極大似然估計.例3對數(shù)似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為i=1,2,…,n求導(dǎo)方法無法求參數(shù)的MLE.是對故使達到最大的即的MLE，

取其它值時，是的增函數(shù)由于這時要用極大似然原則來求.由于估計量作為樣本的函數(shù)是一個隨機變量,對于不同的樣本值,估計值也不同,因此評價一個估計量的優(yōu)劣就不能僅由一個觀測值來確定,而要根據(jù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)來評價.通常一個好的估計量其觀測值應(yīng)在待估計參數(shù)的真值附近波動,且波動的幅度越小越好,即要使估計量與待估計參數(shù)在某種統(tǒng)計意義下非?！敖咏?

常用的幾條標準1．無偏性2．有效性3．相合性二、估計量的評選標準而它的期望值等于未知參數(shù)的真值.則稱為的無偏估計.設(shè)是未知參數(shù)的估計量，若1．無偏性

估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值.我們希望估計值在未知參數(shù)真值附近擺動，定義:無偏性的意義是：用來估計