最優(yōu)估計(jì)之隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型

最優(yōu)估計(jì)1第5章隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型

確定性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型模型的轉(zhuǎn)化建立模型需注意的問(wèn)題2幾點(diǎn)說(shuō)明：系統(tǒng)模型是研究各種估計(jì)方法的基礎(chǔ)；我們的研究對(duì)象是隨機(jī)系統(tǒng)模型，由確定性方程附加隨機(jī)成份構(gòu)成；模型描述了待估計(jì)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)特性（運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)特性）以及外部觀測(cè)的規(guī)律；系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程是系統(tǒng)物理過(guò)程的數(shù)學(xué)描述，方程是系統(tǒng)物理過(guò)程的隱式表示，而方程的解可看作是顯式表示；系統(tǒng)模型可分為連續(xù)系統(tǒng)模型和離散系統(tǒng)模型；系統(tǒng)模型可分為線性系統(tǒng)模型和非線性系統(tǒng)模型。

35.1確定性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型5.1.1連續(xù)系統(tǒng)模型

微分方程模型：

狀態(tài)空間模型：

傳遞函數(shù)模型：

1.連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)模型4上述三種模型之間可以轉(zhuǎn)化：其中：5例5.163.連續(xù)非線性時(shí)變系統(tǒng)模型式中，f[*,*,*]和h[*,*,*]是關(guān)于狀態(tài)和輸入的非線性函數(shù)。2.連續(xù)線性時(shí)變系統(tǒng)模型時(shí)變系統(tǒng)模型：模型中的系數(shù)可以隨時(shí)間改變。7例5.2

衛(wèi)星的軌跡可以用r,θ兩個(gè)極坐標(biāo)變量來(lái)描述，其中r是衛(wèi)星到地心的距離，θ是衛(wèi)星和地心的聯(lián)線相對(duì)于參考坐標(biāo)軸的角度。假定衛(wèi)星具有徑向ur(t)和切向ul(t)的推力控制和，試建立衛(wèi)星軌跡控制的系統(tǒng)模型。

85.1.2離散系統(tǒng)模型

實(shí)際應(yīng)用中，基本都采用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，直接選用離散模型，會(huì)給工作帶來(lái)很大便捷；動(dòng)態(tài)方程是系統(tǒng)物理過(guò)程的隱式表示，而方程的解是顯式表示，二者在本質(zhì)上是一致的，故將方程的解稱為系統(tǒng)的狀態(tài)；離散系統(tǒng)方程，實(shí)際上是系統(tǒng)的狀態(tài)值在任意兩個(gè)相鄰離散時(shí)刻的遞推關(guān)系。因此，可由連續(xù)系統(tǒng)方程的解獲得離散系統(tǒng)方程。9狀態(tài)方程觀測(cè)方程目的：連續(xù)模型離散模型方法：一階常微分方程求解。差分方程105.2隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型實(shí)際的物理系統(tǒng)中，除了控制作用u(t)外，還存在一些隨機(jī)干擾作用及系統(tǒng)噪聲w(t)。在測(cè)量方程中，存在隨機(jī)干擾，或測(cè)量噪聲v(t)。在確定性系統(tǒng)模型中加入系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲，即得隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型。11在不考慮控制作用的情況下，線性隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型為：隨機(jī)微分方程5.2.1線性隨機(jī)微分方程理論解125.2.2線性隨機(jī)差分方程135.2.3隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的一般形式1.一般系統(tǒng)模型-----------(5.2.13a)

-----------(5.2.13b)

完整地描述一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，需要系統(tǒng)方程和測(cè)量方程兩個(gè)方程?，F(xiàn)將測(cè)量方程加入，給出隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型的一般形式。142.線性系統(tǒng)模型153.關(guān)于噪聲的假設(shè)16幾點(diǎn)說(shuō)明：假設(shè)噪聲為白噪聲，即噪聲過(guò)程是時(shí)間不相關(guān)的，因此噪聲過(guò)程的方差陣為對(duì)角陣。假設(shè)噪聲為高斯的，則噪聲過(guò)程可以僅由其均值和協(xié)方差描述，且對(duì)于線性系統(tǒng)，其輸出也是高斯過(guò)程。否則，可以將噪聲通過(guò)成形濾波器來(lái)產(chǎn)生這樣的隨機(jī)過(guò)程。系統(tǒng)噪聲、測(cè)量噪聲與系統(tǒng)初始狀態(tài)是不相關(guān)，這是因?yàn)橄到y(tǒng)干擾一般是在建模過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，不應(yīng)該與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)；而測(cè)量設(shè)備屬于外圍設(shè)備，其測(cè)量誤差也不應(yīng)該與初始狀態(tài)有關(guān)。175.3模型的轉(zhuǎn)化在線離散化。在濾波算法的遞推執(zhí)行過(guò)程中，利用求解常微分方程的數(shù)值算法，如龍格庫(kù)塔（Runge-Kutta）法，通過(guò)實(shí)時(shí)計(jì)算連續(xù)系統(tǒng)在每個(gè)離散時(shí)刻的狀態(tài)值而實(shí)現(xiàn)。5.3.1連續(xù)系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)模型離線離散化。離線狀態(tài)下，通過(guò)求解常微分方程來(lái)計(jì)算隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，從而得到各離散時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)值。模型離散化的兩種方式：優(yōu)點(diǎn)：不必手動(dòng)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；

缺點(diǎn)：屬于數(shù)值算法，所以是一種近似求解方法。優(yōu)點(diǎn)：屬于解析的方法，相對(duì)第一種方法更精確；缺點(diǎn)：如果模型復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程繁瑣，容易出錯(cuò)。185.2節(jié)中，由隨機(jī)微分方程導(dǎo)出隨機(jī)差分方程的過(guò)程就是對(duì)系統(tǒng)方程的離散化，而測(cè)量方程是簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，因此它的離散形式與連續(xù)形式相同，因此可直接得對(duì)應(yīng)上述系統(tǒng)的離散模型形式為：自由狀態(tài)連續(xù)系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化：195.3.2離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)模型兩系統(tǒng)模型的系數(shù)矩陣與轉(zhuǎn)移矩陣之間的關(guān)系：兩系統(tǒng)模型之間的噪聲均值、相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：離散化20兩系統(tǒng)模型之間的關(guān)系：代替21兩系統(tǒng)模型噪聲方差之間的關(guān)系：22非線性系統(tǒng)模型：

5.3.3非線性模型線性化一般線性化方法：將非線性函數(shù)在某固定點(diǎn)處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，并截取一階項(xiàng)，得非線性函數(shù)的線性近似。選取固定點(diǎn)x0的兩種方法：（1）標(biāo)稱值：方程沒(méi)有干擾時(shí)推算出來(lái)的量。（2）估計(jì)值。235.4建立隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型時(shí)需注意的問(wèn)題模型中的兩類量：狀態(tài)向量、觀測(cè)向量。5.4.1模型向量的選取1.狀態(tài)向量的選取模型的精度與建模時(shí)所考慮的因素有關(guān)。模型向量的選取取決于系統(tǒng)功能的需要和實(shí)際要求。系統(tǒng)功能的要求；系統(tǒng)濾波的要求；實(shí)際運(yùn)算