概率論極限定理

1意義：即n很大時(shí)，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε為誤差。（隨機(jī)性消失）§5.1大數(shù)定理

第五章極限定理231.切比雪夫大數(shù)定律:

設(shè)X1,

X2,

…,Xn,

…是由相互獨(dú)立的隨機(jī)變量所構(gòu)成的序列,其中EXk=k,

DXk≤C<+∞,（k=1,2,…,n,…）42.辛欽大數(shù)定律此定理使算術(shù)平均值的法則有了理論依據(jù)：測(cè)量時(shí)以n次測(cè)量的平均值作為最后的試驗(yàn)結(jié)果。53.貝努里大數(shù)定律

設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p(A)是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則

貝努里大數(shù)定理說(shuō)明,事件A發(fā)生的頻率依概率收斂到事件A發(fā)生的概率p,這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。三個(gè)大數(shù)定理之間的關(guān)系切貝雪夫大數(shù)定理（隨機(jī)變量獨(dú)立）辛欽大數(shù)定理（隨機(jī)變量獨(dú)立同分布）貝努里大數(shù)定理（隨機(jī)變量獨(dú)立同分布于0-1分布）7§5.2中心極限定理

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列{Xn},

設(shè)EXn

,DXn

(n=1,2,…)存在,令81.林德伯格(Lindeberg)定理

設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}相互獨(dú)立，數(shù)學(xué)期望及方差存在：則{Xn}服從中心極限定理。9上式中極限稱為林德伯格條件，驗(yàn)證此條件成立比較困難，所以計(jì)算時(shí)一般不會(huì)引用此定理。但是該條件給了我們一個(gè)很好的結(jié)論：102.列維－林德伯格中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}(n=1,2,…)

獨(dú)立同分布，11例1.計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法運(yùn)算，把每個(gè)數(shù)四舍五入到整數(shù)再相加，假設(shè)各個(gè)數(shù)的舍入誤差是相互獨(dú)立的，同服從于U(-0.5,0.5)。求：

(1)1200個(gè)數(shù)相加，誤差之和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率；

(2)最多幾個(gè)數(shù)相加才能保證誤差之和的絕對(duì)值小于10的概率

達(dá)到0.95。123.棣莫弗--拉普拉斯定理13例2.有240臺(tái)電話分機(jī)，獨(dú)立使用，每臺(tái)話機(jī)約有5%的時(shí)間使用外線。問(wèn)總機(jī)至少需要多少外線才能90%以上的保證各分機(jī)用外線不必等候。14棣莫弗--拉普拉斯定理的應(yīng)用：令Xn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則Xn~B(n,p)，其中p=P(A)。15棣莫弗--拉普拉斯定理的應(yīng)用：16例3.

已知某廠生產(chǎn)一大批無(wú)線電產(chǎn)品中合格品占1/6。某商店從該廠任意選購(gòu)6000個(gè)元件，試問(wèn)這6000個(gè)元件中，合格品的比例與1/6之間誤差小于1%的概率是多少？三個(gè)極限定理之間的關(guān)系林德伯格(Lindeberg)定理（獨(dú)立）列維－林德伯格中心極限定理（獨(dú)立同分布）棣莫弗--拉普拉斯定理（獨(dú)立同分布于0-1分布）18練習(xí):1.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9?(147個(gè))2.一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠度為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95?(25個(gè))3.設(shè)某電話總機(jī)要