第七講-有限元基礎(chǔ)

第三章有限元法胡才博2013.7.18第三章有限元法3.1引言3.2有限元法的基本原理3.3區(qū)域離散化3.4單元分析3.5總體分析3.6應(yīng)用實(shí)例1.R.Courant,1943,

“Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibration”,Bull.Am.Math.Soc.,49,1-23,1943.

他首先嘗試應(yīng)用在一系列三角形區(qū)域上定義的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合，求解St.Venant扭轉(zhuǎn)問題。2.M.J.Turner

(波音公司工程師)，

R.W.Clough

(土

木工程教授)，H.C.Martin

(航空工程教授)及

L.J.Topp

(波音公司工程師)等四位在1956年，共同在航空科技期刊上發(fā)表一篇采用有限元技術(shù)計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼的強(qiáng)度的論文，名為“Stiffnessand

DeflectionAnalysisofComplexStructures”，文中把這種解法稱為剛性法(Stiffness).3.R.W.Clough,1960,“Thefiniteelementinplanestressanalysis”,Proc.2ndASCEconf.onElectronicComputation,Pittsburgh,Pa.,Sept.1960首次提出有限單元法的名稱引言：有限元方法的歷史、現(xiàn)狀OlgierdCecilZienkiewicz，奧爾吉耶德(奧萊克)·塞西爾·監(jiān)凱維奇工程力學(xué)和計(jì)算力學(xué)家1943年畢業(yè)于英國帝國理工學(xué)院，1945年獲該校哲學(xué)博士學(xué)位。1965年獲倫敦大學(xué)科學(xué)博士學(xué)位。1957年任美國西北大學(xué)教授。迄今歷任英國威爾士大學(xué)教授、工程數(shù)值方法研究所所長和榮譽(yù)教授，聯(lián)合國教科文組織工程數(shù)值方法機(jī)構(gòu)主席。1979年，當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員、英國皇家工程科學(xué)院院士，曾獲英國女王授予的勛爵、英國皇家學(xué)會皇家勛章（1990）、法國科學(xué)騎士獎（1996）等多種獎勵。美國國家工程院外籍院士（1981）、波蘭科學(xué)院外籍院士（1985）、中國科學(xué)院院士（1998）意大利國家科學(xué)院院士（1999）。O.C.Zienkiewicz,

R.L.Taylor:

The

finite

element

method,

Fourth

edition,

Vol.1,1989,Vol.2,1991

1921.5.18－2009.1.2馮康（1920年9月9日－1993年8月17日），數(shù)學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)家。世界數(shù)學(xué)史上具有重要地位的科學(xué)家。獨(dú)立創(chuàng)造了有限元方法、自然歸化和自然邊界元方法，開辟了辛幾何和辛格式研究新領(lǐng)域。中國現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)研究的開拓者，為組建和指導(dǎo)我國計(jì)算數(shù)學(xué)隊(duì)伍做出了重大貢獻(xiàn)。引言有限元法的實(shí)際應(yīng)用1.有限元在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用桁架結(jié)構(gòu)

2.有限元在機(jī)械加工業(yè)中的應(yīng)用薄板沖壓數(shù)值模擬技術(shù)在汽車覆蓋金屬塑性成型齒輪應(yīng)力分析

3.有限元在石油開采業(yè)的應(yīng)用注蒸汽井5年后孔隙流體壓力

4.有限元在電子工業(yè)中的應(yīng)用散熱問題5.有限元在外科醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

人造骨骼、義齒等生物力學(xué)

有限元方法的研究展望

1）多重非線性（材料、幾何、接觸）相耦合的分析方法2）多場（結(jié)構(gòu)、流體、熱、電、化學(xué)等）耦合作用的分析方法3）跨時(shí)間、空間多尺度的分析方法（年到10-12s，10m到10-12m）4）前后處理

為什么要用有限單元方法（有限單元方法的優(yōu)勢）：1、有限單元方法可以對任意形狀的問題進(jìn)行靈活剖分，特別適用于非常復(fù)雜的模型，最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)。2、有限單元方法是工程中應(yīng)用最廣泛的計(jì)算及數(shù)值模擬方法。3、所需要的復(fù)雜節(jié)點(diǎn)生成可以利用圖形界面軟件（如CAD、GID）實(shí)現(xiàn)。4、有很多商用有限單元軟件系統(tǒng)可以使用（如：ANSYS、ADINA、SMART）5、開源有限元軟件（FEPG，DEAL.II）不是直接從問題的微分方程和定解條件出發(fā)，而是從與其等效的積分方程出發(fā)。等效積分的一般形式是加權(quán)余量法。求解區(qū)域離散為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，每個(gè)單元選擇基函數(shù)，分片假設(shè)近似函數(shù)。區(qū)域離散化單元分析總體分析求解方程組有限單元法基本原理微分方程的等效積分形式微分方程組以上兩式構(gòu)成完整的定解問題例子邊界條件等效積分形式其中函數(shù)向量，它是一組和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)加權(quán)函數(shù)等效積分形式等效積分形式最一般形式對任意函數(shù)組合均成立微分方程組等效積分的弱形式對上式進(jìn)行分部積分，得到如下弱形式弱形式的作用，降低被求場函數(shù)的階數(shù)。例子不失一般性法向?qū)?shù)等效積分形式分部積分不失一般性法向?qū)?shù)此為等效積分的弱形式注意：在第二類邊界上，沒有出現(xiàn)場函數(shù)，第二類邊界條件自動滿足，也稱為自然邊界條件；對第一類邊界，如果事先已經(jīng)滿足，則可令v=0，第一類邊界也稱為強(qiáng)制邊界條件。可進(jìn)一步簡化為基于等效積分形式的加權(quán)余量法假設(shè)未知函數(shù)采用近似函數(shù)表達(dá)：ai待定系數(shù)，Ni試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）試探函數(shù)系列是完全的，線性獨(dú)立的。殘差R和

稱為余量降階弱形式：采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。加權(quán)余量法（weightedresidualmethod,WRM）（1）配點(diǎn)法相當(dāng)于強(qiáng)迫余量在域內(nèi)n個(gè)點(diǎn)上等于零。（2）子域法N個(gè)子域，N個(gè)子域以外，相當(dāng)于強(qiáng)迫余量在n個(gè)子域內(nèi)的積分等于零。（3）最小二乘法選取權(quán)函數(shù)（4）力矩法（5）伽遼金法簡單地說，將近似解的試探函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。更簡潔的形式：伽遼金法的一般表達(dá)式引入變分等效積分形式伽遼金法：原問題：8/9/201330靜態(tài)線彈性有限元定解問題真實(shí)位移的變分，連續(xù)可導(dǎo)。在給定位移的邊界上，虛應(yīng)變高斯定律張量形式矩陣形式等效積分形式：與原有微分方程和定解條件完全等價(jià)。加權(quán)余量法：對場函數(shù)進(jìn)行近似，令加權(quán)余量等于零。伽遼金法：加權(quán)函數(shù)與場函數(shù)的試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）相同。小結(jié)：伽遼金法是有限元法中使用最為普遍的。作業(yè)3

求解二階常微分方程邊界條件：取