高中數(shù)學(xué)必修3幾何概型

3.3.1幾何概型問題1：取一根長度為30cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于10cm的概率有多大？從30cm的繩子上的任意一點剪斷.基本事件:記“剪得兩段繩長都不小于10cm”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的1/3.問題2：有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩游戲。規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝。在兩種情況下分別求甲獲勝的概率？甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的圓弧的面積有關(guān)，而與字母B所在區(qū)域的位置無關(guān).射箭比賽的箭靶是涂有五個彩色的分環(huán).從外向內(nèi)為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色,金色靶心叫“黃心”。奧運會的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運動員在70m外射箭,假設(shè)每箭都能中靶,那么射中黃心的概率是多少?圖3.3-2問題3：基本事件:射中靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點.P(A)=問題4：有一杯1升的水,其中含有1個微生物,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個微生物的概率.

解：記“小杯水中含有這個微生物”為事件A,事件A發(fā)生的概率

基本事件：微生物出現(xiàn)的每一個位置都是一個基本事件,微生物出現(xiàn)的位置可以是1升水中的任意一點.幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.幾何概型的特點:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個.(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.在幾何概型中,事件A的概率的計算公式如下:4.古典概型與幾何概型的區(qū)別：古典概型幾何概型基本事件的個數(shù)基本事件的可能性概率公式無限多個有限個相等相等

P(A)=A包含基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)(3)在1000mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中任取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率

.

0.002(2)在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,如果在海域中任意點鉆探,鉆到油層面的概率

.0.004與面積成比例練一練(1)在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)a>7的概率為

.0.3與長度成比例與體積成比例對于復(fù)雜的實際問題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機事件與所有基本事件相對應(yīng)的幾何區(qū)域,把問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題,利用幾何概率公式求解.例1、某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解:設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得即“等待的時間不超過10分鐘”的概率為與長度有關(guān)的幾何概型

例2.(會面問題)甲、乙二人約定在下午12點到下午5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。解：以X,Y

分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分.所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果.由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的..M(X,Y)y54321012345x與面積有關(guān)的幾何概型二人會面的條件是：

0

1

2

3

4

5yx54321y=x+1y=x-1記“兩人會面”為事件A與面積有關(guān)的幾何概型有一飲水機裝有12升的水,其中含有1個細菌,用一個下面的奧運福娃紀念杯從這飲水機中取出一滿杯水,求這杯水中含有這個細菌的概率.與體積有關(guān)的幾何概型思路點撥：海豚在水池中自由游弋，其位置有無限個，且在每個位置是等可能的，故這是幾何概型問題，海豚游弋區(qū)域的面積與水池面積之比就是所求的概率.3、如圖,假設(shè)你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆,分別計算它落到陰影部分的概率.

4、如圖，在邊長為2的正方形中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圓內(nèi)的概率是____________。

5、在500的水中有一個草履蟲，現(xiàn)在從中隨機取出2水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為(

)A.0.5B.0.4C.0.004D.不能確定C6、公共汽車在0~5分鐘內(nèi)隨機地到達車站，求汽車在1~3分鐘之間到達的概率。分析：將0~5分鐘這段時間看作是一段長度為5個單位長度的線段，則1~3分鐘是這一線段中的2個單位長度。解：設(shè)“汽車在1~3分鐘之間到達”為事件A，則所以“汽車在1~3分鐘之間到達”的概率為課堂小結(jié)1.幾何概型的特點.2.幾何概型的概率公式.3.公式的運用.古典概型:特點:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.返回練習(xí):甲、乙兩艘輪船都要?？吭谕粋€泊位，他們可能在一晝夜的任意時刻到達。設(shè)甲乙兩艘輪船?？坎次坏臅r間分別是4小時和6小時，求有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時的概率。分析：有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間就是