三角函數(shù)與二次函數(shù)專題

..三角函數(shù)與二次函數(shù)專題一．解答題〔共30小題1．〔2012?涇川縣校級模擬計算：〔1．〔2．2．〔1998?XX求的值．3．〔2013?XX如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45°,sinB=,AD=1．〔1求BC的長；〔2求tan∠DAE的值．4．〔2013?渝中區(qū)校級模擬如圖,在△ABC中,∠C=30°,AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,求DC的長．〔結(jié)果保留根號5．〔2013?XX模擬如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點,AC=2,CD=1,設∠CAD=a．〔1求sina、cosa、tana的值；〔2若∠B=∠CAD,求BD的長．6．〔2013?南岸區(qū)校級模擬如圖,AD是△ABC中BC邊上的高,且∠B=30°,∠C=45°,CD=2．求BC的長．7．〔2011?棗莊如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,連接EF．〔1證明：EF=CF；〔2當tan∠ADE=時,求EF的長．8．〔2013?XX20XX3月,某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸,該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援,救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A、B兩點相距4米,探測線與地面的夾角分別是30°和45°,試確定生命所在點C的深度．〔精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：9．〔2013?眉山如圖,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500米,高10米,背水坡的坡角為45°的防洪大堤〔橫斷面為梯形ABCD急需加固．經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固,并使上底加寬3米,加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1求加固后壩底增加的寬度AF；〔2求完成這項工程需要土石多少立方米？〔結(jié)果保留根號10．〔2013?XX如圖,某幼兒園為了加強安全管理,決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜度由45°降為30°,已知原滑滑板AB的長為5米,點D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板會加長多少？〔精確到0.01〔參考數(shù)據(jù)：=1.414,=1.732,=2.44911．〔2011?XX圖1是安裝在斜屋面上的熱水器,圖2是安裝該熱水器的側(cè)面示意圖．已知,斜屋面的傾斜角為25°,長為2.1米的真空管AB與水平線AD的夾角為40°,安裝熱水器的鐵架水平橫管BC長0.2米,求〔1真空管上端B到AD的距離〔結(jié)果精確到0.01米；〔2鐵架垂直管CE的長〔結(jié)果精確到0.01米．12．〔2011?XX某校初三年級"數(shù)學興趣小組"實地測量操場旗桿的高度．旗桿的影子落在操場和操場邊的土坡上,如圖所示,測得在操場上的影長BC=20m,斜坡上的影長CD=8m,已知斜坡CD與操場平面的夾角為30°,同時測得身高l.65m的學生在操場上的影長為3.3m．求旗桿AB的高度．〔結(jié)果精確到1m〔提示：同一時刻物高與影長成正比．參考數(shù)據(jù)：≈1.414.≈1.732.≈2.23613．〔2011?通州區(qū)二模某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓〔如圖,該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房．在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時．〔1問超市以上的居民住房采光是否有影響,為什么？〔2若要使超市采光不受影響,兩樓應相距多少米？〔結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：14．〔2015?XX如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,其對稱軸與x軸相交于點M．〔1求拋物線的解析式和對稱軸；〔2在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?。咳舸嬖?請求出點P的坐標；若不存在,請說明理由；〔3連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大？若存在,請求出點N的坐標；若不存在,請說明理由．15．〔2015?XX如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A〔﹣3,0和點B,交y軸于點C〔0,3．〔1求拋物線的函數(shù)表達式；〔2若點P在拋物線上,且S△AOP=4SBOC,求點P的坐標；〔3如圖b,設點Q是線段AC上的一動點,作DQ⊥x軸,交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值．16．〔2015?內(nèi)江如圖,拋物線與x軸交于點A〔﹣,0、點B〔2,0,與y軸交于點C〔0,1,連接BC．〔1求拋物線的函數(shù)關系式；〔2點N為拋物線上的一個動點,過點N作NP⊥x軸于點P,設點N的橫坐標為t〔﹣＜t＜2,求△ABN的面積S與t的函數(shù)關系式；〔3若﹣＜t＜2且t≠0時△OPN∽△COB,求點N的坐標．17．〔2015?XX已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,O是坐標原點,點A的坐標是〔﹣1,0,點C的坐標是〔0,﹣3．〔1求拋物線的函數(shù)表達式；〔2求直線BC的函數(shù)表達式和∠ABC的度數(shù)；〔3P為線段BC上一點,連接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求點P的坐標．18．〔2015?德陽如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于點A〔1,0和點B〔﹣3,0,與y軸交于點C,且OC=OB．〔1求此拋物線的解析式；〔2若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時點E的坐標；〔3點P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,求點P的坐標．19．〔2015?XX如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A〔﹣1,0,B〔3,0兩點,與y軸交于點C．該拋物線的頂點為M．〔1求該拋物線的解析式；〔2判斷△BCM的形狀,并說明理由；〔3探究坐標軸上是否存在點P,使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在,請直接寫出點P的坐標；若不存在,請說明理由．20．〔2015?XX如圖,已知拋物線y=﹣〔x+2〔x﹣m〔m＞0與x軸相交于點A、B,與y軸相交于點C,且點A在點B的左側(cè)．〔1若拋物線過點G〔2,2,求實數(shù)m的值；〔2在〔1的條件下,解答下列問題：①求出△ABC的面積；②在拋物線的對稱軸上找一點H,使AH+CH最小,并求出點H的坐標；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上是否存在點M,使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在,求m的值；若不存在,請說明理由．21．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A〔﹣1,0、C〔0,3,與x軸交于另一點B,拋物線的頂點為D．〔1求此二次函數(shù)解析式；〔2連接DC、BC、DB,求證：△BCD是直角三角形；〔3在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC為等腰三角形？若存在,求出符合條件的點P的坐標；若不存在,請說明理由．22．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B．〔1①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．〔2若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC．求△PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標．〔3拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．23．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點為C,與x軸正半軸的交點為A,且tan∠ACO=〔1求二次函數(shù)的解析式；〔2P為二次函數(shù)圖象的頂點,Q為其對稱軸上的一點,QC平分∠PQO,求Q點坐標；〔3是否存在實數(shù)x1、x2〔x1＜x2,當x1≤x≤x2時,y的取值范圍為≤y≤？若存在,直接寫在x1,x2的值；若不存在,說明理由．24．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l⊥y軸于點B〔0,﹣2,A為OB的中點,以A為頂點的拋物線y=ax2+c與x軸交于C、D兩點,且CD=4,點P為拋物線上的一個動點,以P為圓心,PO為半徑畫圓．〔1求拋物線的解析式；〔2若⊙P與y軸的另一交點為E,且OE=2,求點P的坐標；〔3判斷直線l與⊙P的位置關系,并說明理由．25．〔2015?XX如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．〔1求拋物線的解析式；〔2如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當△BEC面積最大時,請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？〔3在〔2的結(jié)論下,過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在,請直接寫出點P的坐標；如果不存在,請說明理由．26．〔2015?XX如圖,拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A〔﹣1,0,B〔4,,點D是拋物線A,B兩點間部分上的一個動點〔不與點A,B重合,直線CD與y軸平行,交直線AB于點C,連接AD,BD．〔1求拋物線的解析式；〔2設點D的橫坐標為m,△ADB的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式,并求出當S取最大值時的點C的坐標．27．〔2015?XX如圖1,關于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A〔﹣3,0,點C〔0,3,點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,E在x軸上．〔1求拋物線的解析式；〔2DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P,若不存在請說明理由；〔3如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點F的坐標,若不存在請說明理由．28．〔2015?濰坊二模已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的兩個實數(shù)根,且m＜n,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A〔m,0、B〔0,n．〔1求這個拋物線的解析式；〔2設〔1中拋物線與x軸的另一交點為C,拋物線的頂點為D,試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；〔注：拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的頂點坐標為〔3P是線段OC上的一點,過點P作PH⊥x軸,與拋物線交于H點,若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分,請求出P點的坐標．29．〔2015?劍川縣三模已知：如圖所示,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A〔1,0,B〔3,0．〔1求拋物線的解析式；〔2設點P在該拋物線上滑動,且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個？并求出所有點P的坐標；〔3設拋物線交y軸于點C,問該拋物線對稱軸上是否存在點M,使得△MAC的周長最?。咳舸嬖?求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．30．〔2015?濰坊模擬如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,B點的坐標為〔3,0,OB=OC,tan∠ACO=．〔1求這個二次函數(shù)的表達式．〔2經(jīng)過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,求點E的坐標．〔3平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求圓的半徑．〔4如圖2,若點G〔2,y是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．參考答案與試題解析一．解答題〔共30小題1．〔2012?涇川縣校級模擬計算：〔1．〔2．[考點]特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運算．[專題]計算題；壓軸題．[分析]〔1把tan30°=,sin60°=,cos60°=代入,然后分母有理化后合并同類二次根式即可；〔2根據(jù)零指數(shù)冪和sin45°=得到原式=1+2﹣6×+〔﹣1,再進行乘法運算后合并即可．[解答]解：〔1原式=+=+=2﹣+=2；〔2原式=1+2﹣6×+〔﹣1=1+2﹣3﹣1=﹣．[點評]本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：tan30°=,sin45°=,sin60°=,cos60°=．也考查了零指數(shù)冪以及二次根式的混合運算．2．〔1998?XX求的值．[考點]特殊角的三角函數(shù)值．[專題]壓軸題；探究型．[分析]先把各特殊角的三角函數(shù)值值代入,再按照實數(shù)混合運算的法則進行計算即可．[解答]解：原式==﹣2﹣4．[點評]本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值,熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．3．〔2013?XX如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45°,sinB=,AD=1．〔1求BC的長；〔2求tan∠DAE的值．[考點]解直角三角形．[專題]壓軸題．[分析]〔1先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°,再解Rt△ADC,得出DC=1；解Rt△ADB,得出AB=3,根據(jù)勾股定理求出BD=2,然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解；〔2先由三角形的中線的定義求出CE的值,則DE=CE﹣CD,然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．[解答]解：〔1在△ABC中,∵AD是BC邊上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1．在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1；〔2∵AE是BC邊上的中線,∴CE=BC=+,∴DE=CE﹣CD=﹣,∴tan∠DAE==﹣．[點評]本題考查了三角形的高、中線的定義,勾股定理,解直角三角形,難度中等,分別解Rt△ADC與Rt△ADB,得出DC=1,AB=3是解題的關鍵．4．〔2013?渝中區(qū)校級模擬如圖,在△ABC中,∠C=30°,AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,求DC的長．〔結(jié)果保留根號[考點]解直角三角形．[專題]計算題；壓軸題．[分析]在直角△ABD中,cos∠B=,BD=6,可得,AB=10,AD=8,在直角△ACD中,CD=cot30°×AD,解答出即可．[解答]解：∵AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,∴在直角△ABD中,得,AB===10,AD===8,∴在直角△ACD中,∠C=30°,CD=cot30°×AD,=×8,=．[點評]本題主要考查了直角三角形勾股定理及三角函數(shù)的應用,熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關鍵．5．〔2013?XX模擬如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點,AC=2,CD=1,設∠CAD=a．〔1求sina、cosa、tana的值；〔2若∠B=∠CAD,求BD的長．[考點]解直角三角形．[專題]計算題；壓軸題．[分析]〔1根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念來求解．〔2由∠B=∠CAD=α和〔1求得的tanα,根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)求出BC,從而求出BD的長．[解答]解：在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD==．〔1sinα===,cosα===,tanα==；〔2在Rt△ABC中,tanB=,即tanα==,∴BC=4,∴BD=BC﹣CD=4﹣1=3．[點評]考查綜合應用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),進行邏輯推理能力和運算能力．6．〔2013?南岸區(qū)校級模擬如圖,AD是△ABC中BC邊上的高,且∠B=30°,∠C=45°,CD=2．求BC的長．[考點]解直角三角形．[專題]壓軸題．[分析]先在Rt△ACD中,運用正切函數(shù)的定義得出AD=CD=2,然后在Rt△ABD中,運用正切函數(shù)的定義得出BD=,則根據(jù)BC=BD+CD即可求解．[解答]解：∵AD是△ABC中BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90．在Rt△ACD中,∵tanC===tan45°=1,∴AD=2．在Rt△ABD中,∵tanB===tan30°=,∴BD=．∴BC=BD+CD=+2,即BC的長為+2．[點評]本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用,要熟練掌握好邊角之間的關系．7．〔2011?棗莊如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,連接EF．〔1證明：EF=CF；〔2當tan∠ADE=時,求EF的長．[考點]解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形．[專題]計算題；證明題；壓軸題．[分析]〔1過D作DG⊥BC于G,由已知可得四邊形ABGD為正方形,然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件證明△ADE≌△GDC,接著利用全等三角形的性質(zhì)證明△EDF≌△CDF,〔2由tan∠ADE=根據(jù)已知條件可以求出AE=GC=2．設EF=x,則BF=8﹣CF=8﹣x,BE=4．在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可求出x,也就求出了EF．[解答]〔1證明：過D作DG⊥BC于G．由已知可得四邊形ABGD為正方形,∵DE⊥DC．∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD,∴△ADE≌△GDC,∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中,∴△EDF≌△CDF,∴EF=CF；〔2解：∵tan∠ADE==,∴AE=GC=2．∴BC=8,BE=4,設CF=x,則BF=8﹣CF=8﹣x,在Rt△BEF中,由勾股定理得：x2=〔8﹣x2+42,解得x=5,即EF=5．[點評]本題考查梯形、正方形、直角三角形的相關知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線,把梯形分割為矩形和直角三角形,從而由矩形和直角三角形的性質(zhì)來求解．8．〔2013?XX20XX3月,某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸,該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援,救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A、B兩點相距4米,探測線與地面的夾角分別是30°和45°,試確定生命所在點C的深度．〔精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：[考點]解直角三角形的應用．[專題]壓軸題．[分析]過點C作CD⊥AB于點D,設CD=x,在Rt△ACD中表示出AD,在Rt△BCD中表示出BD,再由AB=4米,即可得出關于x的方程,解出即可．[解答]解：過點C作CD⊥AB于點D,設CD=x,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,則AD=CD?cot30°=CD=x,在Rt△BCD中,∠CBD=45°,則BD=CD=x,由題意得,AD﹣BD=AB,即x﹣x=4,解得：x==2〔+1≈5.5．答：生命所在點C的深度為5.5米．[點評]本題考查了解直角三角形的應用,解答本題的關鍵是構(gòu)造直角三角形,利用三角函數(shù)知識表示出相關線段的長度,注意方程思想的運用．9．〔2013?眉山如圖,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500米,高10米,背水坡的坡角為45°的防洪大堤〔橫斷面為梯形ABCD急需加固．經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固,并使上底加寬3米,加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1求加固后壩底增加的寬度AF；〔2求完成這項工程需要土石多少立方米？〔結(jié)果保留根號[考點]解直角三角形的應用-坡度坡角問題．[專題]應用題；壓軸題．[分析]〔1分別過E、D作AB的垂線,設垂足為G、H．在Rt△EFG中,根據(jù)坡面的鉛直高度〔即壩高及坡比,即可求出水平寬FG的長；同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的長．〔2已知了梯形AFED的上下底和高,易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．[解答]解：〔1分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四邊形ABCD是梯形,且AB∥CD,∴DH平行且等于EG．故四邊形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中,AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10〔米．在Rt△FGE中,i==,∴FG=EG=10〔米．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7〔米；〔2加寬部分的體積V=S梯形AFED×壩長=×〔3+10﹣7×10×500=25000﹣10000〔立方米．答：〔1加固后壩底增加的寬度AF為〔10﹣7米；〔2完成這項工程需要土石〔25000﹣10000立方米．[點評]此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力．10．〔2013?XX如圖,某幼兒園為了加強安全管理,決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜度由45°降為30°,已知原滑滑板AB的長為5米,點D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板會加長多少？〔精確到0.01〔參考數(shù)據(jù)：=1.414,=1.732,=2.449[考點]解直角三角形的應用-坡度坡角問題．[專題]壓軸題．[分析]在Rt△ABC中,根據(jù)AB=5米,∠ABC=45°,求出AC的長度,然后在Rt△ADC中,解直角三角形求AD的長度,用AD﹣AB即可求出滑板加長的長度．[解答]解：在Rt△ABC中,∵AB=5,∠ABC=45°,∴AC=ABsin45°=5×=,在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD==5=5×1.414=7.07,AD﹣AB=7.07﹣5=2.07〔米．答：改善后滑滑板約會加長2.07米．[點評]本題主要考查了解直角三角形的應用,利用這兩個直角三角形公共的直角邊解直角三角形是解答本題的關鍵．11．〔2011?XX圖1是安裝在斜屋面上的熱水器,圖2是安裝該熱水器的側(cè)面示意圖．已知,斜屋面的傾斜角為25°,長為2.1米的真空管AB與水平線AD的夾角為40°,安裝熱水器的鐵架水平橫管BC長0.2米,求〔1真空管上端B到AD的距離〔結(jié)果精確到0.01米；〔2鐵架垂直管CE的長〔結(jié)果精確到0.01米．[考點]解直角三角形的應用；矩形的判定與性質(zhì)．[專題]壓軸題；數(shù)形結(jié)合．[分析]〔1過B作BF⊥AD于F．構(gòu)建Rt△ABF中,根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值即可求出答案．〔2根據(jù)BF的長可求出AF的長,再判定出四邊形BFDC是矩形,可求出AD與ED的長,再用CD的長減去ED的長即可解答．[解答]解：〔1過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中,∵sin∠BAF=,∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距離約為1.35米．…〔4分〔2在Rt△ABF中,∵cos∠BAF=,∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．…〔6分∵BF⊥AD,CD⊥AD,又BC∥FD,∴四邊形BFDC是矩形．∴BF=CD,BC=FD．…〔7分在Rt△EAD中,∵tan∠EAD=,∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844．…〔9分∴CE=CD﹣ED=1.350﹣0.844=0.506≈0.51∴安裝鐵架上垂直管CE的長約為0.51米．…〔10分[點評]本題以常見的太陽能為背景,考查了學生運用三角函數(shù)知識解決實際問題的能力,又讓學生感受到生活處處有數(shù)學,數(shù)學在生產(chǎn)生活中有著廣泛的作用．12．〔2011?XX某校初三年級"數(shù)學興趣小組"實地測量操場旗桿的高度．旗桿的影子落在操場和操場邊的土坡上,如圖所示,測得在操場上的影長BC=20m,斜坡上的影長CD=8m,已知斜坡CD與操場平面的夾角為30°,同時測得身高l.65m的學生在操場上的影長為3.3m．求旗桿AB的高度．〔結(jié)果精確到1m〔提示：同一時刻物高與影長成正比．參考數(shù)據(jù)：≈1.414.≈1.732.≈2.236[考點]解直角三角形的應用．[專題]壓軸題．[分析]根據(jù)已知條件,過D分別作BC、AB的垂線,設垂足為E、F；在Rt△DCE中,已知斜邊CD的長,和∠DCE的度數(shù),滿足解直角三角形的條件,可求出DE、CE的長．即可求得DF、BF的長；在Rt△ADF中,根據(jù)同一時刻物高與影長成正比求出DF的長,即可求得AF的長,進而AB=AF+BF可求出．[解答]解：過D作DE垂直BC的延長線于E,且過D作DF⊥AB于F,∵在Rt△DEC中,CD=8米,∠DCE=30°∴DE=4米,CE=4米,∴BF=4米,DF=〔20+4米,∵身高l.65m的學生在操場上的影長為3.3m．∴=,則AF=〔10+2米,AB=AF+BF=10+2+4=〔14+2≈17米．∴電線桿的高度為17米．[點評]本題考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力,應用問題盡管題型千變?nèi)f化,但關鍵是設法化歸為解直角三角形問題,必要時應添加輔助線,構(gòu)造出直角三角形．13．〔2011?通州區(qū)二模某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓〔如圖,該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房．在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時．〔1問超市以上的居民住房采光是否有影響,為什么？〔2若要使超市采光不受影響,兩樓應相距多少米？〔結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：[考點]解直角三角形的應用．[專題]計算題；壓軸題．[分析]〔1利用三角函數(shù)算出陽光可能照到居民樓的什么高度,和6米進行比較．〔2超市不受影響,說明32°的陽光應照射到樓的底部,根據(jù)新樓的高度和32°的正切值即可計算．[解答]解：〔1如圖,設CE=x米,則AF=〔20﹣x米,,即20﹣x=15?tan32°,x≈11,∵11＞6,∴居民住房的采光有影響．〔2如圖：,=32〔米．故兩樓應相距32米．[點評]本題考查銳角三角函數(shù)的應用．需注意直角三角形的構(gòu)造是常用的輔助線方法．14．〔2015?XX如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,其對稱軸與x軸相交于點M．〔1求拋物線的解析式和對稱軸；〔2在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小？若存在,請求出點P的坐標；若不存在,請說明理由；〔3連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大？若存在,請求出點N的坐標；若不存在,請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1拋物線經(jīng)過點A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〔x﹣5,代入A〔0,4即可求得函數(shù)的解析式,則可求得拋物線的對稱軸；〔2點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為〔6,4,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,可求出直線BA′的解析式,即可得出點P的坐標．〔3在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t,此時點N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與△ACN的面積,由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．[解答]解：〔1根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〔x﹣5,把點A〔0,4代入上式得：a=,∴y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,∴拋物線的對稱軸是：x=3；〔2P點坐標為〔3,．理由如下：∵點A〔0,4,拋物線的對稱軸是x=3,∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為〔6,4如圖1,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小．設直線BA′的解析式為y=kx+b,把A′〔6,4,B〔1,0代入得,解得,∴y=x﹣,∵點P的橫坐標為3,∴y=×3﹣=,∴P〔3,．〔3在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t,此時點N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,如圖2,過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D,由點A〔0,4和點C〔5,0可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4,把x=t代入得：y=﹣t+4,則G〔t,﹣t+4,此時：NG=﹣t+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AD+CF=CO=5,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG?OC=×〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴當t=時,△CAN面積的最大值為,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．[點評]本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用,解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應用．15．〔2015?XX如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A〔﹣3,0和點B,交y軸于點C〔0,3．〔1求拋物線的函數(shù)表達式；〔2若點P在拋物線上,且S△AOP=4SBOC,求點P的坐標；〔3如圖b,設點Q是線段AC上的一動點,作DQ⊥x軸,交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1把點A、C的坐標分別代入函數(shù)解析式,列出關于系數(shù)的方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值；〔2設P點坐標為〔x,﹣x2﹣2x+3,根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關于x的方程,解方程求出x的值,進而得到點P的坐標；〔3先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設Q點坐標為〔x,x+3,則D點坐標為〔x,x2+2x﹣3,然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．[解答]解：〔1把A〔﹣3,0,C〔0,3代入y=﹣x2+bx+c,得,解得．故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．〔2由〔1知,該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,則易得B〔1,0．∵S△AOP=4S△BOC,∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理,得〔x+12=0或x2+2x﹣7=0,解得x=﹣1或x=﹣1±2．則符合條件的點P的坐標為：〔﹣1,4或〔﹣1+2,﹣4或〔﹣1﹣2,﹣4；〔3設直線AC的解析式為y=kx+t,將A〔﹣3,0,C〔0,3代入,得,解得．即直線AC的解析式為y=x+3．設Q點坐標為〔x,x+3,〔﹣3≤x≤0,則D點坐標為〔x,﹣x2﹣2x+3,QD=〔﹣x2﹣2x+3﹣〔x+3=﹣x2﹣3x=﹣〔x+2+,∴當x=﹣時,QD有最大值．[點評]此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中,解題的關鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．16．〔2015?內(nèi)江如圖,拋物線與x軸交于點A〔﹣,0、點B〔2,0,與y軸交于點C〔0,1,連接BC．〔1求拋物線的函數(shù)關系式；〔2點N為拋物線上的一個動點,過點N作NP⊥x軸于點P,設點N的橫坐標為t〔﹣＜t＜2,求△ABN的面積S與t的函數(shù)關系式；〔3若﹣＜t＜2且t≠0時△OPN∽△COB,求點N的坐標．[考點]二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質(zhì)．[專題]壓軸題．[分析]〔1可設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,然后只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；〔2當﹣＜t＜2時,點N在x軸的上方,則NP等于點N的縱坐標,只需求出AB,就可得到S與t的函數(shù)關系式；〔3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=,需分﹣＜t＜0和0＜t＜2兩種情況討論,由PN=2PO得到關于t的方程,解這個方程,就可解決問題．[解答]解：〔1設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,由題可得：,解得：,∴拋物線的函數(shù)關系式為y=﹣x2+x+1；〔2當﹣＜t＜2時,yN＞0,∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1,∴S=AB?PN=×〔2+×〔﹣t2+t+1=〔﹣t2+t+1=﹣t2+t+；〔3∵△OPN∽△COB,∴=,∴=,∴PN=2PO．①當﹣＜t＜0時,PN==yN=﹣t2+t+1,PO==﹣t,∴﹣t2+t+1=﹣2t,整理得：3t2﹣9t﹣2=0,解得：t1=,t2=．∵＞0,﹣＜＜0,∴t=,此時點N的坐標為〔,；②當0＜t＜2時,PN==yN=﹣t2+t+1,PO==t,∴﹣t2+t+1=2t,整理得：3t2﹣t﹣2=0,解得：t3=﹣,t4=1．∵﹣＜0,0＜1＜2,∴t=1,此時點N的坐標為〔1,2．綜上所述：點N的坐標為〔,或〔1,2．[點評]本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識,需要注意的是：用點的坐標表示相關線段的長度時,應先用坐標的絕對值表示線段的長度,然后根據(jù)坐標的正負去絕對值；解方程后要檢驗,不符合條件的解要舍去．17．〔2015?XX已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,O是坐標原點,點A的坐標是〔﹣1,0,點C的坐標是〔0,﹣3．〔1求拋物線的函數(shù)表達式；〔2求直線BC的函數(shù)表達式和∠ABC的度數(shù)；〔3P為線段BC上一點,連接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求點P的坐標．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1直接將A,C點坐標代入拋物線解析式求出即可；〔2首先求出B點坐標,進而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,進而利用CO,BO的長求出∠ABC的度數(shù)；〔3利用∠ACB=∠PAB,結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出BP的長,進而得出P點坐標．[解答]解：〔1將點A的坐標〔﹣1,0,點C的坐標〔0,﹣3代入拋物線解析式得：,解得：,故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；〔2由〔1得：0=x2﹣2x﹣3,解得：x1=﹣1,x2=3,故B點坐標為：〔3,0,設直線BC的解析式為：y=kx+d,則,解得：,故直線BC的解析式為：y=x﹣3,∵B〔3,0,C〔0,﹣3,∴BO=OC=3,∴∠ABC=45°；〔3過點P作PD⊥x軸于點D,∵∠ACB=∠PAB,∠ABC=∠PBA,∴△ABP∽△CBA,∴=,∵BO=OC=3,∴BC=3,∵A〔﹣1,0,B〔3,0,∴AB=4,∴=,解得：BP=,由題意可得：PD∥OC,∴DB=DP=,∴OD=3﹣=,則P〔,﹣．[點評]此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識,熟練應用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解題關鍵．18．〔2015?德陽如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于點A〔1,0和點B〔﹣3,0,與y軸交于點C,且OC=OB．〔1求此拋物線的解析式；〔2若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時點E的坐標；〔3點P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,求點P的坐標．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1已知拋物線過A、B兩點,可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中,用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；〔2由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形,因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算,過E作EF⊥x軸于F,四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中,FO為E的橫坐標的絕對值,EF為E的縱坐標,已知C的縱坐標,就知道了OC的長．在三角形BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設出E的坐標,然后代入上面的線段中,即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數(shù)關系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標；〔3由P在拋物線的對稱軸上,設出P坐標為〔﹣1,m,如圖所示,過A′作A′N⊥對稱軸于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等,再由同角的余角相等得到一對角相等,根據(jù)一對直角相等,利用AAS得到△A′NP≌△PMA,由全等三角形的對應邊相等得到A′N=PM=|m|,PN=AM=2,表示出A′坐標,將A′坐標代入拋物線解析式中求出相應m的值,即可確定出P的坐標．[解答]解：〔1∵拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交于點A〔1,0和點B〔﹣3,0,∴OB=3,∵OC=OB,∴OC=3,∴c=3,∴,解得：,∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；〔2如圖2,過點E作EF⊥x軸于點F,設E〔a,﹣a2﹣2a+3〔﹣3＜a＜0,∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,∴S四邊形BOCE=BF?EF+〔OC+EF?OF,=〔a+3?〔﹣a2﹣2a+3+〔﹣a2﹣2a+6?〔﹣a,=﹣﹣a+,=﹣〔a+2+,∴當a=﹣時,S四邊形BOCE最大,且最大值為．此時,點E坐標為〔﹣,；〔3∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1,點P在拋物線的對稱軸上,∴設P〔﹣1,m,∵線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,①當m≥0時,∴PA=PA1,∠APA1=90°,如圖3,過A1作A1N⊥對稱軸于N,設對稱軸于x軸交于點M,∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°,∴∠NA1P=∠NPA,在△A1NP與△PMA中,,∴△A1NP≌△PMA,∴A1N=PM=m,PN=AM=2,∴A1〔m﹣1,m+2,代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣〔m﹣12﹣2〔m﹣1+3,解得：m=1,m=﹣2〔舍去,②當m＜0時,要使P2A=P2A,2,由圖可知A2點與B點重合,∵∠AP2A2=90°,∴MP2=MA=2,∴P2〔﹣1,﹣2,∴滿足條件的點P的坐標為P〔﹣1,1或〔﹣1,﹣2．[點評]本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì),四邊形的面積,綜合性較強,難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．19．〔2015?XX如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A〔﹣1,0,B〔3,0兩點,與y軸交于點C．該拋物線的頂點為M．〔1求該拋物線的解析式；〔2判斷△BCM的形狀,并說明理由；〔3探究坐標軸上是否存在點P,使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在,請直接寫出點P的坐標；若不存在,請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1已知了拋物線圖象上的三點坐標,可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；〔2根據(jù)B、C、M的坐標,可求得△BCM三邊的長,然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可；〔3假設存在符合條件的P點；首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標及〔2題所得△BDC三邊的比例關系,即可判斷出點O符合P點的要求,因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)〔或射影定理求得OP的長,也就得到了點P的坐標．[解答]解：〔1∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A〔﹣1,0,B〔3,0兩點,∴,解得：,則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；〔2△BCM為直角三角形,理由為：對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=〔x﹣12﹣4,即頂點M坐標為〔1,﹣4,令x=0,得到y(tǒng)=﹣3,即C〔0,﹣3,根據(jù)勾股定理得：BC=3,BM=2,CM=,∵BM2=BC2+CM2,∴△BCM為直角三角形；〔3若∠APC=90°,即P點和O點重合,如圖1,連接AC,∵∠AOC=∠MCB=90°,且,∴Rt△AOC∽Rt△MCB,∴此時P點坐標為〔0,0．若P點在y軸上,則∠PAC=90°,如圖2,過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1,∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM,∴=,即=,∴點P1〔0,．若P點在x軸上,則∠PCA=90°,如圖3,過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2,∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM,∴=,即=,AP2=10,∴點P2〔9,0．∴符合條件的點有三個：O〔0,0,P1〔0,,P2〔9,0．[點評]此題是二次函數(shù)的綜合題,涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,〔3題中能夠發(fā)現(xiàn)點O是符合要求的P點,是解決此題的突破口．20．〔2015?XX如圖,已知拋物線y=﹣〔x+2〔x﹣m〔m＞0與x軸相交于點A、B,與y軸相交于點C,且點A在點B的左側(cè)．〔1若拋物線過點G〔2,2,求實數(shù)m的值；〔2在〔1的條件下,解答下列問題：①求出△ABC的面積；②在拋物線的對稱軸上找一點H,使AH+CH最小,并求出點H的坐標；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上是否存在點M,使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在,求m的值；若不存在,請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1把C坐標代入拋物線解析式求出m的值即可；〔2①對于拋物線解析式,令y=0求出x的值,確定出A與B坐標；令x=0,求出y的值,確定出C坐標,求出三角形ABC面積即可；②如圖1,連接BC交對稱軸于點H,由對稱軸的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小,利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式,與拋物線對稱軸聯(lián)立求出H坐標即可；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上存在點M,使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似,分兩種情況考慮：〔i當△ACB∽△ABM時；〔ii當△ACB∽△MBA時,利用相似三角形的判定與性質(zhì),確定出m的值即可．[解答]解：〔1∵拋物線過G〔2,2,∴把G坐標代入拋物線解析式得：2=﹣〔2+2〔2﹣m,解得：m=4；〔2①令y=0,得到﹣〔x+2〔x﹣m=0,解得：x1=﹣2,x2=m,∵m＞0,∴A〔﹣2,0,B〔m,0,把m=4代入得：B〔4,0,∴AB=6,令x=9,得到y(tǒng)=2,即C〔0,2,∴OC=2,則S△ABC=×6×2=6；②∵A〔﹣2,0,B〔4,0,∴拋物線解析式為y=﹣〔x+2〔x﹣4的對稱軸為x=1,如圖1,連接BC交對稱軸于點H,由對稱軸的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小,設直線BC的解析式為y=kx+b,把B與C坐標代入得：,解得：,∴直線BC解析式為y=﹣x+2,令x=1,得到y(tǒng)=,即H〔1,；〔3在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上存在點M,使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似,分兩種情況考慮：〔i當△ACB∽△ABM時,則有=,即AB2=AC?AM,∵A〔﹣2,0,C〔0,2,即OA=OC=2,∴∠CAB=45°,∠BAM=45°,如圖2,過M作MN⊥x軸,交x軸于點N,則AN=MN,∴OA+ON=2+ON=MN,設M〔x,﹣x﹣2〔x＞0,把M坐標代入拋物線解析式得：﹣x﹣2=﹣〔x+2〔x﹣m,∵x＞0,∴x+2＞0,∵m＞0,∴x=2m,即M〔2m,﹣2m﹣2,∴AM==2〔m+1,∵AB2=AC?AM,AC=2,AB=m+2,∴〔m+22=2?2〔m+1,解得：m=2±2,∵m＞0,∴m=2+2；〔ii當△ACB∽△MBA時,則=,即AB2=CB?MA,∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,∴△ANM∽△BOC,∴=,∵OB=m,設ON=x,∴=,即MN=〔x+2,令M〔x,﹣〔x+2〔x＞0,把M坐標代入拋物線解析式得：﹣〔x+2=﹣〔x+2〔x﹣m,∵x＞0,∴x+2＞0,∵m＞0,∴x=m+2,即M〔m+2,﹣〔m+4,∵AB2=CB?MA,CB=,AN=m+4,MN=〔m+4,∴〔m+22=?,整理得：=0,顯然不成立,綜上,在第四象限內(nèi),當m=2+2時,拋物線上存在點M,使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．[點評]此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,坐標與圖形性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及兩點之間線段最短,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．21．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A〔﹣1,0、C〔0,3,與x軸交于另一點B,拋物線的頂點為D．〔1求此二次函數(shù)解析式；〔2連接DC、BC、DB,求證：△BCD是直角三角形；〔3在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC為等腰三角形？若存在,求出符合條件的點P的坐標；若不存在,請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1將A〔﹣1,0、B〔3,0代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；〔2分別求得線段BC、CD、BD的長,利用勾股定理的逆定理進行判定即可；〔3分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系,再結(jié)合拋物線解析式即可求解．[解答]解：〔1∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A〔﹣1,0、C〔0,3,∴根據(jù)題意,得,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．〔2由y=﹣x2+2x+3得,D點坐標為〔1,4,∴CD==,BC==3,BD==2,∵CD2+BC2=〔2+〔32=20,BD2=〔22=20,∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD是直角三角形；〔3存在．y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．①若以CD為底邊,則P1D=P1C,設P1點坐標為〔x,y,根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+〔3﹣y2,P1D2=〔x﹣12+〔4﹣y2,因此2+〔3﹣y2=〔x﹣12+〔4﹣y2,即y=4﹣x．又P1點〔x,y在拋物線上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0,解得x1=,x2=＜1,應舍去,∴x=,∴y=4﹣x=,即點P1坐標為〔,．②若以CD為一腰,∵點P2在對稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對稱性知,點P2與點C關于直線x=1對稱,此時點P2坐標為〔2,3．∴符合條件的點P坐標為〔,或〔2,3．[點評]此題是一道典型的"存在性問題",結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、直角梯形的性質(zhì),考查了它們存在的條件,有一定的開放性．22．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B．〔1①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．〔2若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC．求△PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標．〔3拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標,然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a〔x+4〔x﹣1,然后將點C的坐標代入即可求得a的值；〔2設點P、Q的橫坐標為m,分別求得點P、Q的縱坐標,從而可得到線段PQ=m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的坐標；〔3首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合,即M〔0,2時,△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對稱性,當M〔﹣3,2時,△MAN∽△ABC；④當點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應關系．[解答]解：〔1①y=當x=0時,y=2,當y=0時,x=﹣4,∴C〔0,2,A〔﹣4,0,由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=﹣對稱,∴點B的坐標為1,0．②∵拋物線y=ax2+bx+c過A〔﹣4,0,B〔1,0,∴可設拋物線解析式為y=a〔x+4〔x﹣1,又∵拋物線過點C〔0,2,∴2=﹣4a∴a=∴y=x2x+2．〔2設P〔m,m2m+2．過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,∴Q〔m,m+2,∴PQ=m2m+2﹣〔m+2=m2﹣2m,∵S△PAC=×PQ×4,=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣〔m+22+4,∴當m=﹣2時,△PAC的面積有最大值是4,此時P〔﹣2,3．〔3在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,∴∠CAO=∠BCO,∵∠BCO+∠OBC=90°,∴∠CAO+∠OBC=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如下圖：①當M點與C點重合,即M〔0,2時,△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對稱性,當M〔﹣3,2時,△MAN∽△ABC；③當點M在第四象限時,設M〔n,n2n+2,則N〔n,0∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4當時,MN=AN,即n2+n﹣2=〔n+4整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4〔舍,n2=2∴M〔2,﹣3；當時,MN=2AN,即n2+n﹣2=2〔n+4,整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4〔舍,n2=5,∴M〔5,﹣18．綜上所述：存在M1〔0,2,M2〔﹣3,2,M3〔2,﹣3,M4〔5,﹣18,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．[點評]本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應用,難度較大,解答本題需要同學們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關性質(zhì)．23．〔2015?XX已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點為C,與x軸正半軸的交點為A,且tan∠ACO=〔1求二次函數(shù)的解析式；〔2P為二次函數(shù)圖象的頂點,Q為其對稱軸上的一點,QC平分∠PQO,求Q點坐標；〔3是否存在實數(shù)x1、x2〔x1＜x2,當x1≤x≤x2時,y的取值范圍為≤y≤？若存在,直接寫在x1,x2的值；若不存在,說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1首先根據(jù)tan∠ACO=,求出OA的值,即可判斷出A點的坐標；然后把A點的坐標代入y=x2+bx﹣4,求出b的值,即可判斷出二次函數(shù)的解析式．〔2首先根據(jù)Q為拋物線對稱軸上的一點,設點Q的坐標為〔﹣,n；然后根據(jù)∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ,可得∠OQC=∠OCQ,所以OQ=OC,據(jù)此求出n的值,進而判斷出Q點坐標即可．〔3根據(jù)題意,分3種情況：①當x1≤x2≤﹣時；②當x1≤﹣≤x2時；③當﹣＜x1≤x2時；然后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法,求出滿足題意的實數(shù)x1、x2〔x1＜x2,使得當x1≤x≤x2時,y的取值范圍為≤y≤即可．[解答]解：〔1如圖1,連接AC,,∵二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點為C,∴C點的坐標為〔0,﹣4,∵tan∠ACO=,∴,又∵OC=4,∴OA=1,∴A點的坐標為〔1,0,把A〔1,0代入y=x2+bx﹣4,可得0=1+b﹣4,解得b=3,∴二次函數(shù)的解析式是：y=x2+3x﹣4．〔2如圖2,,∵y=x2+3x﹣4,∴拋物線的對稱軸是：x=﹣,∵Q為拋物線對稱軸上的一點,∴設點Q的坐標為〔﹣,n,∵拋物線的對稱軸平行于y軸,∴∠CQP=∠OCQ,又∵∠OQC=∠CQP,∴∠OQC=∠OCQ,∴OQ=OC,∴,∴,解得n=±,∴Q點坐標是〔﹣,或〔﹣,﹣．〔3①當x1≤x2≤﹣時,二次函數(shù)y=x2+3x﹣4單調(diào)遞減,∵y的取值范圍為≤y≤,∴由+3x1﹣4=,解得x1=﹣3,﹣2,2,由+3x2﹣4=,解得x2=﹣3,﹣2,2,∵x1≤x2≤﹣,∴②當x1≤﹣≤x2時,Ⅰ、當﹣時,可得x1+x2≤﹣3,∵y的取值范圍為≤y≤,∴由〔1,可得,由〔2,可得x1=﹣3,﹣2,2,∵x1≤﹣＜x2,,∴沒有滿足題意的x1、x2．Ⅱ、當﹣時,可得x1+x2＞﹣3,∵y的取值范圍為≤y≤,∴解得∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3,∴沒有滿足題意的x1、x2．③當﹣＜x1≤x2時,二次函數(shù)y=x2+3x﹣4單調(diào)遞增,∵y的取值范圍為≤y≤,∴〔1×x2﹣〔2×x1,可得〔x1﹣x2〔x1x2+4=0,∵x1﹣x2≠0,∴x1x2+4=0,∴…〔1,把〔3代入〔1,可得,∵,∴,∴,∵,∴沒有滿足題意的x1、x2．綜上,可得x1=﹣3,x2=﹣2時,當x1≤x≤x2時,y的取值范圍為≤y≤．[點評]〔1此題主要考查了二次函數(shù)綜合題,考查了分析推理能力,考查了分類討論思想的應用,考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息,并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．〔2此題還考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法,以及二次函數(shù)的最值的求法,要熟練掌握．24．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l⊥y軸于點B〔0,﹣2,A為OB的中點,以A為頂點的拋物線y=ax2+c與x軸交于C、D兩點,且CD=4,點P為拋物線上的一個動點,以P為圓心,PO為半徑畫圓．〔1求拋物線的解析式；〔2若⊙P與y軸的另一交點為E,且OE=2,求點P的坐標；〔3判斷直線l與⊙P的位置關系,并說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1根據(jù)題意可知A〔0,﹣1,C〔﹣2,0,D〔2,0,從而可求得拋物線的解析式；〔2根據(jù)OE=2可知點E的坐標為〔0,2或〔0,﹣2,從而可確定出點P的縱坐標為1或﹣1；〔3設點P的坐標為〔m,,然后求得圓P的半徑OP和點P到直線l的距離,根據(jù)d=r,可知直線和圓相切．[解答]解：〔1∵點A為OB的中點,∴點A的坐標為〔0,﹣1．∵CD=4,由拋物線的對稱性可知：點C〔﹣2,0,D〔2,0,將點A〔0,﹣1,C〔﹣2,0,D〔2,0代入拋物線的解析式得：,解得：,∴拋物線得解析式為y=．〔2如下圖：過點P1作P1F⊥OE．∵OE=2,∴點E的坐標為〔0,2．∵P1F⊥OE．∴EF=OF．∴點P1的縱坐標為1．同理點P2的縱坐標為1．將y=1代入拋物線的解析式得：x1=,x2=2．∴點P1〔﹣2,1,P2〔2,1．如下圖：當點E與點B重合時,點P3與點A重合,∴點P3的坐標為〔0,﹣1．綜上所述點P的坐標為〔﹣2,1或〔2,1或〔0,﹣1．〔3設點P的坐標為〔m,,∴圓的半徑OP==,點P到直線l的距離=﹣〔﹣2=+1．∴d=r．∴直線l與圓P相切．[點評]本題主要考查的是二次函數(shù)與圓的綜合應用,根據(jù)題意確定出點E的坐標,然后再得出點P的縱坐標是解題的關鍵．25．〔2015?XX如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．〔1求拋物線的解析式；〔2如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當△BEC面積最大時,請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？〔3在〔2的結(jié)論下,過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在,請直接寫出點P的坐標；如果不存在,請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1首先根據(jù)直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,求出點B的坐標是〔0,3,點C的坐標是〔4,0；然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點,求出a\c的值是多少,即可求出拋物線的解析式．〔2首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M,EF交x軸于點F,然后設點E的坐標是〔x,﹣x2+x+3,則點M的坐標是〔x,﹣x+3,求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法,求出S△ABC,進而判斷出當△BEC面積最大時,點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可．〔3在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論,根據(jù)平行四邊形的特征,求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可．[解答]解：〔1∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,∴點B的坐標是〔0,3,點C的坐標是〔4,0,∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點,∴解得∴y=﹣x2+x+3．〔2如圖1,過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M,EF交x軸于點F,,∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點,∴設點E的坐標是〔x,﹣x2+x+3,則點M的坐標是〔x,﹣x+3,∴EM=﹣x2+x+3﹣〔﹣x+3=﹣x2+x,∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×〔﹣x2+x×4=﹣x2+3x=﹣〔x﹣22+3,∴當x=2時,即點E的坐標是〔2,3時,△BEC的面積最大,最大面積是3．〔3在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．①如圖2,,由〔2,可得點M的橫坐標是2,∵點M在直線y=﹣x+3上,∴點M的坐標是〔2,,又∵點A的坐標是〔﹣2,0,∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,∴設點Q的坐標是〔1,m,點P的坐標是〔x,﹣x2+x+3,則解得或,∵x＜0,∴點P的坐標是〔﹣3,﹣．②如圖3,,由〔2,可得點M的橫坐標是2,∵點M在直線y=﹣x+3上,∴點M的坐標是〔2,,又∵點A的坐標是〔﹣2,0,∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,∴設點Q的坐標是〔1,m,點P的坐標是〔x,﹣x2+x+3,則解得或,∵x＞0,∴點P的坐標是〔5,﹣．③如圖4,,由〔2,可得點M的橫坐標是2,∵點M在直線y=﹣x+3上,∴點M的坐標是〔2,,又∵點A的坐標是〔﹣2,0,∴AM==,∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,∴設點Q的坐標是〔1,m,點P的坐標是〔x,﹣x2+x+3,則解得,∴點P的坐標是〔﹣1,．綜上,可得在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標是〔﹣3,﹣、〔5,﹣、〔﹣1,．[點評]〔1此題主要考查了二次函數(shù)綜合題,考查了分析推理能力,考查了分類討論思想的應用,考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用,考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息,并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．〔2此題還考查了函數(shù)解析式的求法,以及二次函數(shù)的最值的求法,要熟練掌握．〔3此題還考查了三角形的面積的求法,要熟練掌握．26．〔2015?XX如圖,拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A〔﹣1,0,B〔4,,點D是拋物線A,B兩點間部分上的一個動點〔不與點A,B重合,直線CD與y軸平行,交直線AB于點C,連接AD,BD．〔1求拋物線的解析式；〔2設點D的橫坐標為m,△ADB的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式,并求出當S取最大值時的點C的坐標．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]綜合題；壓軸題．[分析]〔1將A、B兩點坐標代入,可得a、b的值,繼而可得拋物線的解析式；〔2先確定直線AB的解析式,然后可得出點C、D的坐標,表示出△ADB的面積,根據(jù)二次函數(shù)的最值確定點C的坐標．[解答]解：〔1由題意得,解得：,∴y=﹣x2+2x+．〔2設直線AB解析式為：y=kx+b,則有,解得：,∴y=x+,則D〔m,﹣m2+2m+,C〔m,m+,CD=〔﹣m2+2m+﹣〔m+=﹣m2+m+2,∴S=〔m+1?CD+〔4﹣m?CD=×5×CD=×5×〔﹣m2+m+2=﹣m2+m+5∵﹣＜0,∴當m=時,S有最大值,當m=時,m+=×+=,∴點C〔,．[點評]本題考查了二次函數(shù)的綜合,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值及三角形的面積,關鍵是掌握配方法求最值的運用,難度一般．27．〔2015?XX如圖1,關于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A〔﹣3,0,點C〔0,3,點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,E在x軸上．〔1求拋物線的解析式；〔2DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P,若不存在請說明理由；〔3如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點F的坐標,若不存在請說明理由．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1把A、C兩點坐標代入可求得b、c,可求得拋物線解析式；〔2當點P在∠DAB的平分線上時,過P作PM⊥AD,設出P點坐標,可表示出PM、PE,由角平分線的性質(zhì)可得到PM=PE,可求得P點坐標；當點P在∠DAB外角平分線上時,同理可求得P點坐標；〔3可先求得△FBC的面積,過F作FQ⊥x軸,交BC的延長線于Q,可求得FQ的長,可設出F點坐標,表示出B點坐標,從而可表示出FQ的長,可求得F點坐標．[解答]解：〔1∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A〔﹣3,0,點C〔0,3,∴,解得,∴拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2﹣2x+3,〔2存在,當P在∠DAB的平分線上時,如圖1,作PM⊥AD,設P〔﹣1,m,則PM=PD?sin∠ADE=〔4﹣m,PE=m,∵PM=PE,∴〔4﹣m=m,m=﹣1,∴P點坐標為〔﹣1,﹣1；當P在∠DAB的外角平分線上時,如圖2,作PN⊥AD,設P〔﹣1,n,則PN=PD?sin∠ADE=〔4﹣n,PE=﹣n,∵PN=PE,∴〔4﹣n=﹣n,n=﹣﹣1,∴P點坐標為〔﹣1,﹣﹣1；綜上可知存在滿足條件的P點,其坐標為〔﹣1,﹣1或〔﹣1,﹣﹣1；〔3解法1：∵拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2﹣2x+3,∴B〔1,0,∴S△EBC=EB?OC=3,∵2S△FBC=3S△EBC,∴S△FBC=,過F作FQ⊥x軸于點H,交BC的延長線于Q,過F作FM⊥y軸于點M,如圖3,∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB?HQ﹣BH?HF﹣QF?FM=BH〔HQ﹣HF﹣QF?FM=BH?QF﹣QF?FM=QF?〔BH﹣FM=FQ?OB=FQ=,∴FQ=9,∵BC的解析式為y=﹣3x+3,設F〔x0,﹣x02﹣2x0+3,∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9,解得：x0=或〔舍去,∴點F的坐標是〔,．解法2：設點F的坐標為〔x,﹣x2﹣2x﹣3,過點F作FM垂直y軸于點M,并與BC交于點N,如圖4,CM=CO﹣MO=3﹣〔﹣x2﹣2x﹣3=x2+2x,易得MN=CM=x2+x,∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x,同解法1可求得S△FBC=,即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FN?CM+FN?MO=FN?CO=〔x2﹣x=,解得：x0=或〔舍去,∴點F的坐標是〔,．[點評]本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用,涉及待定系數(shù)法、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積等知識點．在〔1中注意待定系數(shù)法的應用步驟,在〔2中注意分點P在∠DAB的角平分線上和在外角的平分線上兩種情況,在〔3中求得FQ的長是解題的關鍵．本題所考查知識點較多,綜合性很強,難度適中．28．〔2015?濰坊二模已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的兩個實數(shù)根,且m＜n,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A〔m,0、B〔0,n．〔1求這個拋物線的解析式；〔2設〔1中拋物線與x軸的另一交點為C,拋物線的頂點為D,試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；〔注：拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的頂點坐標為〔3P是線段OC上的一點,過點P作PH⊥x軸,與拋物線交于H點,若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分,請求出P點的坐標．[考點]二次函數(shù)綜合題．[專題]壓軸題．[分析]〔1通過解方程即可求出m、n的值,那么