長(zhǎng)沙市明達(dá)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題理高復(fù)部含解析

湖南省長(zhǎng)沙市明達(dá)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題理高復(fù)部含解析湖南省長(zhǎng)沙市明達(dá)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題理高復(fù)部含解析PAGE32-湖南省長(zhǎng)沙市明達(dá)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題理高復(fù)部含解析湖南省長(zhǎng)沙市明達(dá)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題理（高復(fù)部，含解析）一．選擇題（每小題5分，滿分60分)1。“”是的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】計(jì)算二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)的等價(jià)條件,根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)為正偶數(shù)為正偶數(shù)，n為正偶數(shù)推不出∴是的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)的充分不必要條件．故選A．【點(diǎn)睛】以簡(jiǎn)易邏輯為載體，考查了二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題．2.關(guān)于函數(shù)的下列判斷，其中正確的是(）A.函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形 B.函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形C.函數(shù)有最大值 D。當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)為偶函數(shù)得到A正確，B錯(cuò)誤，取特殊值，排除C和D得到答案?！驹斀狻慷x域?yàn)?，函數(shù)為偶函數(shù),故A正確,B錯(cuò)誤當(dāng)且時(shí),，C錯(cuò)誤,不滿足是減函數(shù)，D錯(cuò)誤故選A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.3.已知向量和的夾角為，且,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律直接展開(kāi),將向量的夾角與模代入數(shù)據(jù)，得到結(jié)果．【詳解】＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，故選D。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”,劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長(zhǎng)為2,則“牟合方蓋”的體積為A。16 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出正方體內(nèi)切球的體積,再由已知體積比求得“牟合方蓋"的體積．【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積的求法，理解題意是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題．5.關(guān)于三個(gè)不同平面與直線，下列命題中的假命題是（）A。若,則內(nèi)一定存在直線平行于B。若與不垂直，則內(nèi)一定不存在直線垂直于C。若，，,則D.若，則內(nèi)所有直線垂直于【答案】D【解析】【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)，利用正方體中的線和面的關(guān)系，逐一驗(yàn)證，由此得出是假命題的選項(xiàng)?！驹斀狻慨?huà)出一個(gè)正方體如下圖所示。平面平面，而,即平行于這兩個(gè)垂直平面的交線，有平面，故選項(xiàng)命題是真命題,且選項(xiàng)命題是假命題.根據(jù)面面垂直的判定定理可知，B選項(xiàng)命題是真命題.由下圖可知，平面和平面同時(shí)垂直于平面，它們的交線也垂直平面，故選項(xiàng)C命題是真命題。綜上所述，本題選D?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查空點(diǎn)點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查面面垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。6.已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A。 B。C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)來(lái)解決.為了便于討論，兩個(gè)函數(shù)都加上后,再畫(huà)出相應(yīng)的圖像。通過(guò)圖像求得的取值范圍?！驹斀狻苛睿D(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，如下圖，時(shí)，與相切于點(diǎn)，當(dāng)或時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。解法中有三次轉(zhuǎn)化，一次是的零點(diǎn)問(wèn)題，即,轉(zhuǎn)化為,即兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)；二次是為了便于作圖,兩個(gè)函數(shù)都加上，轉(zhuǎn)化新的兩個(gè)函數(shù)；三次是將函數(shù)的代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圖形的交點(diǎn)來(lái)解決。7。對(duì)于函數(shù)，如果其圖象上的任意一點(diǎn)都在平面區(qū)域內(nèi)，則稱函數(shù)為“蝶型函數(shù)”,已知函數(shù):;，下列結(jié)論正確的是A。、均不是“蝶型函數(shù)”B.、均是“蝶型函數(shù)”C。是“蝶型函數(shù)”;不是“蝶型函數(shù)"D.不是“蝶型函數(shù)”:是“蝶型函數(shù)”【答案】B【解析】【分析】由,，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,結(jié)合“蝶型函數(shù)”可判斷;由平方差公式，化簡(jiǎn)結(jié)合“蝶型函數(shù)”可判斷．【詳解】由,設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，即有，;時(shí)，；設(shè)，其導(dǎo)數(shù)為，時(shí),，時(shí)，，可得恒成立，即有為“蝶型函數(shù)"；由,可得為“蝶型函數(shù)”．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題解法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．8。如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線異面且?jiàn)A角成的直線的條數(shù)為（）．A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形,利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案．【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線A1B異面且?jiàn)A角成60°的直線有：AD1，AC,D1B1,B1C,共4條．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．9.如圖，平面直角坐標(biāo)系中,曲線（實(shí)線部分）的方程可以是（)．A. B.C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】結(jié)合圖象，對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證，找到方程所表示的曲線的圖形滿足題意即可.【詳解】因?yàn)榍€表示折線段的一部分和雙曲線，A選項(xiàng)等價(jià)于或，表示折線的全部和雙曲線,故錯(cuò)誤;B選項(xiàng)，等價(jià)于或，又表示折線的全部，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，等價(jià)于或，∴表示折線在雙曲線外部（包含有原點(diǎn)）的部分，表示雙曲線-,符合題中的圖象,故C正確.D選項(xiàng)，等價(jià)于或，表示折線在雙曲線外部（包含有原點(diǎn))的部分,和表示雙曲線在x軸下方的部分，故錯(cuò)誤。故選C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的方程和方程的曲線概念，關(guān)鍵在于考慮問(wèn)題要周全，即在每個(gè)因式等于0時(shí)同時(shí)需保證另一個(gè)因式有意義，此題是中檔題,也是易錯(cuò)題．10。設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b,c，(a＋b＋c）（a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝，則角C=（)A。C＝15°或C＝45° B。C＝15°或C＝30°C.C＝60°或C＝45° D.C＝30°或C＝60°【答案】A【解析】【分析】直接利用關(guān)系式的恒等變換,把關(guān)系式變形成余弦定理的形式，求出的值。對(duì)sinAsinC＝進(jìn)行變換，最后求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?所以．由余弦定理得，，因此．所以，所以，故或，因此，或．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，考查余弦定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題型．11。設(shè)點(diǎn)、均在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為(）A。 B。4 C。 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算,化簡(jiǎn)得，結(jié)合雙曲線的性質(zhì),即可求解?！驹斀狻坑深}意，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得,又由為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，可得，所以,即的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中利用向量的運(yùn)算，合理化簡(jiǎn)，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題.12.已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上。在中，若，則的最大值為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)，求得的坐標(biāo)。利用拋物線的定義以及正弦定理，將題目所給等式轉(zhuǎn)化為的形式。根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可以求得的最大值.【詳解】由題意得，準(zhǔn)線，，，過(guò)作，垂足為，則由拋物線定義可知，于是，在上為減函數(shù)，當(dāng)取到最大值時(shí)（此時(shí)直線與拋物線相切）,計(jì)算可得直線的斜率為,從而,，故選C。【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，還考查了正弦定理.屬于中檔題。二．填空題（每小題分，滿分20分）13。設(shè)函數(shù)（），將圖像向左平移單位后所得函數(shù)圖像對(duì)稱軸與原函數(shù)圖像對(duì)稱軸重合,則．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)閷D像向左平移單位后所得函數(shù)圖像對(duì)稱軸與原函數(shù)圖像對(duì)稱軸重合，所以，由周期公式得：,所以,又因?yàn)椋裕键c(diǎn)：函數(shù)的周期公式；三角函數(shù)的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng):函數(shù)左右平移變換時(shí)，一是要注意平移方向：按“左加右減",如由f（x）的圖象變?yōu)閒(x＋a)（a〉0）的圖象，是由“x"變?yōu)椤皒＋a”,所以是向左平移a個(gè)單位;二是要注意x前面的系數(shù)是不是1，如果不是1，左右平移時(shí),要先提系數(shù)1，再來(lái)計(jì)算．14.天干地支紀(jì)年法,源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支。十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起,地支由“子"起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”,…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”,之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”,…，以此類推,已知2016年為丙申年，那么到改革開(kāi)放100年時(shí)，即2078年為_(kāi)_______年【答案】戊戌【解析】【分析】由題意可得數(shù)列天干是以10為公差的等差數(shù)列,地支是以12為公差的等差數(shù)列,以2017年的天干和地支分別為首項(xiàng),即可求解．【詳解】由題意,可得數(shù)列天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從2017年到2078年經(jīng)過(guò)了61年，且2017年為丁茜年，以2017年的天干和地支分別為首項(xiàng)，則余，則2078年的天干為戊，余，則2078年的天干為戌,所以2078年為戊戌年．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,其中解答中得出數(shù)列天干是以10為公差的等差數(shù)列,地支是以12為公差的等差數(shù)列，以2017年的天干和地支分別為首項(xiàng)，利用等差數(shù)列求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．15。已知平面向量、、滿足，，且，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，,，根據(jù)向量減法的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求線段上的動(dòng)點(diǎn)與單位圓上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離的取值范圍。結(jié)合圖象觀察可得。【詳解】因?yàn)?，?所以可設(shè)，,,設(shè),因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上,因?yàn)?，所以點(diǎn)在單位圓上，如圖"所以,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段上的動(dòng)點(diǎn)與單位圓上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離的取值范圍.由圖可知:當(dāng)，且為線段與單位圓的交點(diǎn)時(shí),取得最小值,當(dāng)與或重合，為單位圓與或軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值2+1=3。所以的取值范圍是.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了平面向量減法的幾何意義,解題關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離。屬于難題。16。已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿足時(shí)，成立,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)____【答案】【解析】【分析】由題得，令,（），則,（，），構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值得解。【詳解】由,所以，令，（)，則,（，）,顯然，在單調(diào)遞減，∴(）令，（），，∵，∴，則，∴令在單調(diào)遞減，∴，∴實(shí)數(shù)的最大值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三:解答題(滿分70分)17.如圖，有一塊邊長(zhǎng)為1()的正方形區(qū)域,在點(diǎn)處裝有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的小攝像頭，其能夠捕捉到圖象的角始終為45°（其中點(diǎn)、分別在邊、上），設(shè)，記.（1)用表示的長(zhǎng)度，并研究的周長(zhǎng)是否為定值？(2）問(wèn)攝像頭能捕捉到正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為多少？【答案】（1），;(2）(）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用已知條件求出的關(guān)系式，進(jìn)一步求出周長(zhǎng)為定值(2）利用關(guān)系式的恒等變換和不等式的基本性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)，所以，則：,所以故所以的周長(zhǎng)是定值2.（2）,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,所以攝像頭能捕捉到正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)解析式，均值不等式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。‘18。如圖,在以A，B，C,D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的多面體中，四邊形是菱形，（1）求證：平面ABC⊥平面ACDF（2)求平面AEF與平面ACE所成的銳二面角的余弦值【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)是中點(diǎn),連結(jié)、、,推導(dǎo)出，，則是二面角的平面角，由此能證明平面平面；（2)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【詳解】證明:（1)設(shè)是中點(diǎn),連結(jié)、、，在中,，，四邊形是菱形，，是等邊三角形，,是二面角的平面角，在中，,，，，又,，，平面平面．解:（2）由（1）知、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，0,，，，,，0,，，，，，,，，，又平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面,，、、、四點(diǎn)共面，又平面平面，平面平面，，四邊形是平行四邊形，，,,，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得,設(shè)平面的法向量，，,則，取，得，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則．平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．19.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)10元;重量超過(guò)的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過(guò)的部分，每超出(不足，按計(jì)算）需再收5元．該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如表：包裹重量(單位:kg）12345包裹件數(shù)43301584公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表:包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理)50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率．（1）計(jì)算該公司未來(lái)3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101～400之間的概率；(2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取快遞費(fèi)的平均值；②公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn),剩余的用作其他費(fèi)用．目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不超過(guò)150件，工資100元．公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人,試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？【答案】(1);(2)（i）15元；（ii）答案見(jiàn)解析.【解析】試題分析：先計(jì)算出包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，然后得到頻率，估計(jì)出概率，運(yùn)用二項(xiàng)分布求出結(jié)果(2)運(yùn)用公式求出每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值(3)先將天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，分別計(jì)算出不裁員和裁員兩種情況的利潤(rùn),從而作出比較解析：（1）樣本包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，頻率，故可估計(jì)概率為,顯然未來(lái)天中，包裹件數(shù)在之間的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即,故所求概率為.(2）（i）樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表:包裹重量（單位：）快遞費(fèi)(單位：元）包裹件數(shù)故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為（元）,故該公司對(duì)每件快遞收取費(fèi)用的平均值可估計(jì)為元.(ii）根據(jù)題意及(2）（i),攬件數(shù)每增加，可使前臺(tái)工資和公司利潤(rùn)增加(元），將題目中天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）天數(shù)頻率若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)（近似處理）實(shí)際攬件數(shù)頻率故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為(元）；若裁員人,則每天可攬件的上限為件,公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)（近似處理）實(shí)際攬件數(shù)頻率故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）.因,故公司將前臺(tái)工作人員裁員人對(duì)提高公司利潤(rùn)不利.點(diǎn)睛:本題考查了頻率和概率、平均值的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算出頻率來(lái)估計(jì)概率的取值，運(yùn)用二項(xiàng)分布求出事件概率，在比較裁員與不裁員的情況下分別算出期望值，來(lái)比較利潤(rùn)的大小，從而為作出決策提供依據(jù)．20。已知橢圓：，，分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，若的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；當(dāng)直線的一個(gè)方向向量是時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點(diǎn)R滿足:，，求證：與的面積之比為定值．【答案】(1）;（2）；（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】由是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形得，進(jìn)一步求得，則橢圓方程可求；由直線的一個(gè)方向向量是,可得直線所在直線的斜率，得到直線的方程，由橢圓方程聯(lián)立,求得P點(diǎn)坐標(biāo)，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出，可得以為直徑的圓的半徑,則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;方法一、設(shè)，求出直線的斜率，進(jìn)一步得到直線的斜率，得到直線的方程，同理求得直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求得R的橫坐標(biāo)，再結(jié)合在橢圓上可得與的關(guān)系，由求解；方法二、設(shè)直線，的斜率為k，得直線的方程為結(jié)合，可得直線的方程為，把與橢圓方程聯(lián)立可得，再由在橢圓上,得到，從而得到，得結(jié)合，可得直線的方程為與線的方程聯(lián)立求得再由求解．【詳解】解：如圖,由的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,得，且．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；解：直線的一個(gè)方向向量是，直線所在直線的斜率，則直線的方程為，聯(lián)立，得，解得，．則的中點(diǎn)坐標(biāo)為,．則以為直徑的圓的半徑．以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;證明：方法一、設(shè)，直線的斜率為，由，得直線的斜率為．于是直線的方程為：．同理，的方程為：．聯(lián)立兩直線方程,消去y，得．在橢圓上，,從而．,．方法二、設(shè)直線，斜率為k，，則直線的方程為．由，直線的方程為，將代入，得，是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，，從而．在橢圓上，，從而．，得．,直線的方程為．聯(lián)立，解得，即．．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．21.已知數(shù)列,均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列，為的前n項(xiàng)和,．若，求的值；若是公比為的等比數(shù)列,求證：數(shù)列為等比數(shù)列；若的各項(xiàng)都不為零，是公差為d的等差數(shù)列