自動控制第四章頻率響應(yīng)法

第四章頻率響應(yīng)法系統(tǒng)的動態(tài)性能用時域性能指標來描述是最直觀的，但是，一個控制系統(tǒng)，特別是高階系統(tǒng)的時域性能是很難用解析法來確定的。尤其是系統(tǒng)設(shè)計方面，到目前為止還沒有直接按時域性能指標進行設(shè)計的通用方法，而頻域中的一些圖解法則可以方便的用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。概述：本章主要討論頻率響應(yīng)法的基本概念，典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)頻率特性的求取，頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系，閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，頻率響應(yīng)法在工程研究中的應(yīng)用等。第六節(jié)頻域指標與時域指標的關(guān)系第四章頻率響應(yīng)法第一節(jié)頻率特性概述第二節(jié)極坐標圖第三節(jié)對數(shù)坐標圖第四節(jié)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析第五節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性第七節(jié)用實驗法確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第一節(jié)頻率特性概述

考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍信號輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時也用正弦信號輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率的正弦信號輸入時的暫態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦信號輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣能間接地表示系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。第一節(jié)頻率特性概述

(4)頻率響應(yīng)法的缺點是，三階及以上系統(tǒng)的頻率特性和時間響應(yīng)之間只有間接的聯(lián)系，而不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。一、頻率法的特點：

(1)不用求解系統(tǒng)的特征根，而用一些較為簡單的圖解方法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進而對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計；

(2)系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出；

(3)用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可使噪聲忽略或限制在規(guī)定的程度內(nèi)；二、對正弦輸入信號的響應(yīng)：解：RC電路的微分方程為式中，T=RC。網(wǎng)絡(luò)的傳函為：RC

r(t)c(t)

例：

RC線性電路，當輸入為正弦電壓r(t)=Asint時，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？如果輸入為正弦電壓r(t)=Asint，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出：css(t)1T8tr(t)css(t)t

③穩(wěn)態(tài)輸出電壓相角比輸入電壓相角遲后了arctanT，是頻率的函數(shù)，稱為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。④

上式完全地描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入電壓作用下，穩(wěn)態(tài)輸出電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓頻率變化的規(guī)律，稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。10⑤

即把傳函中的s用j

代替就可得到頻率特性?！l特性——相頻特性css(t)=A

G(j)

sin[t+G(j)]G(s)c(t)r(t)

c(s)r(s)

解:系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：

R(s)C(s)

+﹣解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的幅頻特性為：系統(tǒng)的相頻特性為：

三、頻率特性的定義：

1.頻率響應(yīng)－－在正弦輸入函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值稱為頻率響應(yīng)。

2.頻率特性－－頻率響應(yīng)c(t)與輸入正弦函數(shù)r(t)的復(fù)數(shù)比稱為頻率特性。

a.幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比，用A()表示。

四、頻率特性的表示法：（一）系統(tǒng)頻率特性的解析式表示

1.幅頻—相頻形式:2.

指數(shù)形式:

3.

三角函數(shù)形式:4.

實頻—虛頻形式:

（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖形形式

當ω=0→∞變化時,A(ω)和φ(ω)隨ω而變,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端點在s平面上形成的軌跡,稱Nyquist曲線。

1.

極坐標圖----Nyquist圖G(jω)H(jω)=|G(jω)H(jω)|∠G(jω)H(jω)=A(ω)∠φ(ω)=1

=

=0ImRe0G(j)

可以證明：

0.5

2.

對數(shù)坐標圖----Bode伯德圖

極坐標圖是ω變化時相量G(jω)H(jω)在復(fù)平面上畫出的軌跡。同樣，也可以將復(fù)數(shù)相量G(jω)H(jω)的幅值和相角分別用橫坐標（按對數(shù)分度）和縱坐標（線性分度）的半對數(shù)坐標畫出。對數(shù)幅頻特性：橫坐標是ω的對數(shù)分度,縱坐標是L(ω)和φ(ω)的線性分度L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω)(db)對數(shù)相頻特性：φ(ω)=∠G(jω)H(jω)(rad)20Friday,February3,2023[結(jié)論]：當傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用jw代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。

到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性等。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)第二節(jié)極坐標圖一、典型環(huán)節(jié)的極坐標圖：1.比例環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：

G(s)=K;頻率特性為：G(j

)=K幅相頻率特性為：A()=K()=

0

ImRe0K實頻特性：；虛頻特性：；比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為實軸上的K點。ImRe02.積分環(huán)節(jié)=0頻率特性：

積分環(huán)節(jié)的極坐標圖為負虛軸。頻率w從0+→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點。3.慣性環(huán)節(jié)頻率特性：極坐標圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：整理得：下半個圓對應(yīng)于正頻率部分，而上半個圓對應(yīng)于負頻率部分。25Friday,February3,2023實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：當時，，曲線在3，4象限；當 時，與之對稱于實軸。實際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)。由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當時，有諧振峰值。⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：①純微分環(huán)節(jié)：ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為正虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由原點趨向虛軸的+∞。②一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為平行于虛軸的直線。頻率w從0→∞特性曲線相當于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：

由于(

)隨頻率的增長而線性滯后，將嚴重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性ImRe0=0由于幅值總是1，相角隨頻率而變化，其極坐標圖為一單位圓。6.滯后（延遲）環(huán)節(jié)頻率特性為：G(j)=ejT幅值為：A()=ejT=1()=T

(rad)相角為：二、開環(huán)控制系統(tǒng)的極坐標圖：(一)、用幅頻特性和相頻特性計算做圖設(shè)開環(huán)頻率特性為：式中

分別計算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計算出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標圖。34

解:

RC超前網(wǎng)絡(luò)的傳函為()=90

arctanT

例5-1

如圖所示RC超前網(wǎng)絡(luò),要求繪制它的幅相曲線。式中

T=RC。其頻率特性為RC

r(t)c(t)355.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲線如圖ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

10()=90

arctanT(二)、開環(huán)極坐標圖的近似繪制

(1)將開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解式中：

(2)根據(jù)幅相曲線確定起點(=0)：精確求出A(0)，(0)；確定終點(=)：求出A()，()；

由上式分析可得：

幅頻特性為：相頻特性為：起點的確定終點的確定

(3)確定曲線與坐標軸的交點及中頻段的其他特征點：曲線與實軸交點的求取令I(lǐng)m[G(jω)H(jω)]=0或∠G(jω)H(jω)=(2k+1)π,k=0,±1,±2,…求得ω代入Re[G(jω)H(jω)]中即可令Re[G(jω)H(jω)]=0或∠G(jω)H(jω)=π,k=0,±1,±2,…再取幾個ω點計算A(ω)和φ(ω),即可得Nyquist圖的大致形狀曲線與虛軸交點的求取中頻段的其他特征點【例4-4】繪制系統(tǒng)極坐標圖。

解：此系統(tǒng)m=0，n-m=3，ν=1，低頻段:

ω→0+時，G(jω)H(jω)=∞∠-90°

高頻段:ω→∞時，G(jω)H(jω)=0∠-90°×3；令I(lǐng)m[G(jω)H(jω)]=0，求得ω=±10，中頻段：取ω=10并代入Re[G(jω)H(jω)]=-0.4,即曲線與實軸交于(-0.4,j0)點。

第三節(jié)對數(shù)坐標圖一、對數(shù)坐標圖(Bode圖)及其特點：1.對數(shù)坐標圖的構(gòu)成包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標表示頻率，按對數(shù)分度，單位是rad/s。90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec橫坐標(稱為頻率軸)分度：它是以頻率w

的對數(shù)值logw

進行線性分度的。但為了便于觀察仍標以w

的值，因此對w

而言是非線性刻度。w

每變化十倍，橫坐標變化一個單位長度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率w

的數(shù)值變化一倍，橫坐標就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101=1=1023456789203040

對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是dB(分貝)。

L()=20lgA()

相頻曲線的縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。

()=∠G(j)L()/dB2020(rad/s)

123456102030100()/(°)90°90°(rad/s)

1234561020301002.對數(shù)坐標圖的優(yōu)點（1）頻率ω（橫坐標）按對數(shù)分度，低頻部分排列稀疏，分辨精細，而高頻部分排列密集，分辨粗略。這正適合工程實際的需要。（2）幅頻特性取對數(shù)[20lg∣G(s)H(s)∣]后，使各因子間的乘除運算轉(zhuǎn)化成加減運算，在Bode圖上則變成各因子曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使設(shè)計和分析變得容易。（3）采用由直線構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便，又能滿足工程需要，因而被廣泛應(yīng)用。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中，開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。二、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖：1.比例環(huán)節(jié)（K）L(

)=20lgK()=

0-90°()/(°)0°20lgKL()/dB0()=

0

對數(shù)幅相頻率特性分別是：

90°()/(°)0°20dB/decL()/dB020110-20dB/dec（每10倍頻程幅值下降20dB）的一條直線-90度定值水平線

對數(shù)幅相頻率特性分別是：斜率為20dB/dec（每10倍頻程幅值上升20dB）的一條直線90度定值水平線

90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec

對數(shù)幅頻率特性分別是：

〔1〕當

1/T時，L()

10lg1=0〔2〕當

1/T時，L()

20lgT慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條漸近線近似表示。頻率1/T

稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。1/TL()20dB/dec斜率為-20dB/dec的一條直線51如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB用漸近線近似表示L()，必然存在誤差ΔL()，ΔL()可按以下公式計算：

ΔL()=L()La()式中，L()表示準確值，La()表示近似值，有相頻特性為：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°

L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0T=1()=45°T

()=90°

對數(shù)幅相頻率特性分別是：

90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec

對數(shù)幅相頻率特性分別是：

根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。當T

<<1時，L()0；當T

>>1時，L()20lg2

/n2

=40lg

/n

。L()n

=1/T40dB/dec55誤差計算公式是：

這是一條斜率為40dB/dec直線，和零分貝線交于

=n的地方。故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為n。下圖為L(,)

的曲線0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8

=0.05=10.10.20.30.40.50.60.857相頻特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，(

)在

=n鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。580.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2

對數(shù)幅頻率特性分別是：

由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉(zhuǎn)畫出。

對數(shù)幅頻率特性分別是：

()/(°)0°L()/dB0

延遲環(huán)節(jié)的幅值恒為1，對數(shù)幅頻特性曲線為0dB的水平線

三、開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制方法：1.環(huán)節(jié)曲線疊加法【例4-5】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試繪制其開環(huán)對數(shù)頻率特性圖解（1）系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可寫成：

即開環(huán)頻率特性可看作由比例環(huán)節(jié)①﹑積分環(huán)節(jié)②﹑慣性環(huán)節(jié)③﹑一階微分環(huán)節(jié)④及二階振蕩環(huán)節(jié)⑤組成。其環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率如上所示。（2）分別將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線畫于對數(shù)紙上：

1）L1(ω)=20㏒4≈12(dB)是幅值為12dB的水平線。

2）L2(ω)是過ω=1﹑斜率為-20dB/dec的直線。

3）L3(ω)是轉(zhuǎn)角頻率為ω=0.5的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。

4）L4(ω)是轉(zhuǎn)角頻率為ω=2的一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。

5）L5(ω)是轉(zhuǎn)角頻率為ω=8的二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線。

6）繪制各環(huán)節(jié)相頻特性曲線1（）～5（）（3）將L1(ω)～L5(ω)疊加(在各轉(zhuǎn)角頻率處各環(huán)節(jié)幅值數(shù)相加)，求得開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（4）將1（）～5（）疊加(選取數(shù)個值，將各環(huán)節(jié)在各處的相角數(shù)值疊加)，得到開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線圖4-18

0.5822.順序斜率疊加法【例4-6】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的對數(shù)頻率特性：

解（1）先將傳遞函數(shù)化成Bode圖的標準式（即Ts+1形式），則原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

10-1100101-40-30-20-10010203040

1.423（3）

繪低頻漸近線，先找出基準點：ω=1及20㏒K=20㏒7.5(dB)。

以此為基準點繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線。本節(jié)有一個積分環(huán)節(jié)（=1），過此點作-20dB/dec直線。（4）由低頻到高頻順序畫出對數(shù)幅頻特性漸近線，在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個轉(zhuǎn)角頻率，便將其漸近線斜率與原漸近線進行疊加。具體地說，遇到環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加-20dB/dec;遇到TS+1環(huán)節(jié)似的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加+20dB/dec;遇到環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，斜率增加-40dB/dec等。（5）對漸近線進行修正，畫出精確的對數(shù)幅頻特性。通常在各轉(zhuǎn)角頻率左右一倍頻程內(nèi)加以修正即可。其修正值可按環(huán)節(jié)的誤差曲線求得。（6）相頻特性，畫出各環(huán)節(jié)的相頻特性，在選定的數(shù)個頻率ω處將各環(huán)節(jié)相應(yīng)的相角值相疊加，求出系統(tǒng)在該點的相角值，然后連點描線即得到系統(tǒng)的相頻特性。（三）計算法

根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)H(s),寫出相應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻特性表達式L(ω)和（），依次代入數(shù)個選定的ω值，計算出不同ω處的L（ω）和（）值，連點描線繪制出系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。

圖4-19四、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)：（1）定義:開環(huán)零點與開環(huán)極點全部位于s左半平面的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。

（3）具有相同幅值的兩個系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最小。0j10.5j

00.51其對應(yīng)的零—極點分布圖如下:L()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/(°)0-180-90()/(°)01()=arctanarctan22()=arctanarctan272(4).最小相位系統(tǒng),當ω→∞時,相角為(n-m)(-900)。

(5).非最小相位一般由兩種情況產(chǎn)生：一是系統(tǒng)內(nèi)包含有非最小相位元件（如延遲因子），另外是不穩(wěn)定的小回環(huán)。

(6).最小相位系統(tǒng)的幅值特性和相角特性有一一對應(yīng)關(guān)系,所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性由幅值特性來確定即可。五、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系：1--0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：

其對數(shù)幅頻特性式為：

L()/dB-20dB/dec

2--I型系統(tǒng)I型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：

其對數(shù)幅頻特性式為：

L()/dB-20dB/dec

-40dB/decL()/dB-20dB/dec

-40dB/dec

113--II型系統(tǒng)II型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性式為：

其對數(shù)幅頻特性式為：

L()/dB-40dB/dec

-60dB/decL()/dB-40dB/dec

-60dB/dec

11【例4-7】有I型系統(tǒng)如圖所示。試證明：

L()/dB-20dB/dec-40dB/dec

證明：

兩邊取對數(shù)，

(2)與0dB線交點處:

幅值為1，即

(3)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

頻率特性：

轉(zhuǎn)角頻率的求取：

時，轉(zhuǎn)角頻率為

因為：

用對數(shù)表示：

【例4-8】有II型系統(tǒng)如圖所示。試證明：L()/dB-40dB/dec

-60dB/dec-20dB/dec0

證明：(1)在II型系統(tǒng)低頻段

(2)與0dB線交點處，幅值為1

第四節(jié)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

主要內(nèi)容映射原理理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析Bode（伯德）圖的穩(wěn)定性分析

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本原理（一）映射原理構(gòu)建輔助函數(shù)F(s)G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)為

如圖示的控制系統(tǒng)，G(s)和H(s)是兩個多項式之比閉環(huán)傳遞函數(shù)為

把閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比稱之為輔助函數(shù)，記作F(s)，

F(s)仍是復(fù)變量s的函數(shù)。=1+Gk(s)

顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：

F(s)具有如下特征：

1）其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；

2）零點和極點個數(shù)相同；

3）F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。

F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點都可以在F(s)平面上找到一個相應(yīng)的點，稱為在F(s)平面上的映射。

s平面

F(s)平面

F(s)的零點原點

F(s)的極點無限遠點

s平面上的其他點原點外的有限點

同樣，對于s平面上任意一條封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應(yīng)的封閉曲線（為的映射）。[例]輔助方程為：，則s平面上點（-1，j1），映射到F(s)平面上的點為（0，-j1）,見下圖：j0sziAF(s)ImRe0fB在s平面上任選一點A

通過映射F(s)平面上F(A)。設(shè)s只包圍zi

，不包圍也不通過任何極點和其他零點。

從A點出發(fā)順時針轉(zhuǎn)一周回到A

再進一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時針包圍F(s)的一個極點和一個零點，則不包圍原點順時針運動；若順時針只包圍F(s)的一個極點，則包圍原點且逆時針運動。映射原理（柯西幅角定理）

s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線移動一周時，在F(s)平面上相對應(yīng)的封閉曲線將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為若N為正，表示逆時針運動，包圍原點；若N為負，表示順時針運動，包圍原點。若N為0，表示順時針運動，不包圍原點；

或者（二）特征函數(shù)F(s)與G(s)H(s)的關(guān)系

由前面分析可知：

對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程，其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的，輔助方程也已知。設(shè)想：

如果s平面有一個封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應(yīng)為：當已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù)（三）Nyquist軌線

N=F(s)的右半極點數(shù)－F(s)的右半零點數(shù)

=開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)－閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)0js+1932年，Nyquist將映射原理用于自控理論的研究，成功解決了經(jīng)典設(shè)計中穩(wěn)定性分析的問題。

穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)特征根F(s)繞原點的圈數(shù)(Nyquist軌線)G(s)H(s)繞(-1,j0)點的圈數(shù)Nyquist包圍了F(s)=1+G(s)H(s)的全部正的零、極點二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1.第一種情況(開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的原點及虛軸沒有極點時)90

奈氏判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面根的個數(shù)為P，開環(huán)奈氏曲線（:0）包圍(1，j0)點的圈數(shù)為N，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面根的個數(shù)為Z，且有

Z

=PN

若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

或當開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線不包圍(1，j0)點時，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線包圍(1，j0)點P圈時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。91例5-10

判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（2）

p=0，N

2

z

pN

20

閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Rep=0

Im0

=0

解：由圖知（1）p=0

且N=0

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01p=0

=0

（3）p=0，N0

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01

=0

p=093試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例5-11

一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函當

=0，Gk(j0)=k180

當

，Gk(j)=090

ReIm0

=0k

解：已知p=1頻率特性94

當k<1時，k>1，N=1

z=pN

=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當k>1，k<1，N=0，z=pN

=1

閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。ReIm0

=0k12.第二種情況(開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的原點及虛軸有極點時)95

相應(yīng)地，在GH平面上開環(huán)極坐標圖在

=0時，小半圓映射到GH平面上是一個半徑為無窮大，從=0到=0+順時針旋轉(zhuǎn)v?180°的大圓弧。如此處理之后，就可以根據(jù)奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。0+

由于開環(huán)極點因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在這種情況下，不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。j0

如果要應(yīng)用奈氏判據(jù)，可把零根視為穩(wěn)定根。因此，在數(shù)學(xué)上作如下處理：在平面上的s=0鄰域作一半徑無窮小的半圓，繞過原點。0

960js+ImRe0=0+增補線=0-97用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)，知p=0

（2）作開環(huán)極坐標圖起點：Gk(j0)=90

終點：Gk(j)=0270

與坐標軸交點：例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為令虛部=0，得，系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖如圖示：N=2

z=pN

=2∴閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當N=0

z=pN=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當所作的增補線如虛線所示。>198ImRe0=0+增補線1=0-用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制從0時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍(-1，j0)點的圈數(shù)R（逆時針為正，順時針為負）和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面根的個數(shù)P，根據(jù)公式

Z

=P

2R來確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)，如果Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個數(shù)為v，則繪制開環(huán)極坐標圖后，應(yīng)從

=0+對應(yīng)的點開始，補作一個半徑為，逆時針方向旋轉(zhuǎn)v90的大圓弧增補線，把它視為奈氏曲線的一部分。然后再利用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.由奈氏判據(jù)判穩(wěn)的實際方100

例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為起點：Gk(j0)=270

終點：Gk(j)=090

與坐標軸交點：x=101/2

Re(x)=0.1k

用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。（2）作開環(huán)極坐標圖解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)知

p=10j-101(3)穩(wěn)定性判別:因為是1型系統(tǒng)，需作增補線如圖

當0.1k<

1，k>10時，

R=1/2，z=p2R

=0

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ImRe0=0增補線10.1k三、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析在工程控制系統(tǒng)中，首先要求系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的（絕對穩(wěn)定性），并且還要求有一定的穩(wěn)定安全系數(shù)，即穩(wěn)定裕度。系統(tǒng)穩(wěn)定裕度表明系統(tǒng)相對穩(wěn)定的程度。(一)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的表述

系統(tǒng)的Nyquist曲線越接近(-1,j0)點，其振蕩性越大。

ReIm0-1A(g)c

或

(三)系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系

180()/(°)0L()/dBcg

四、伯德圖上的穩(wěn)定性判據(jù)

由圖可知，幅相曲線不包圍(1，j0)點。此結(jié)果也可以根據(jù)增加時幅相曲線自下向上(幅角減小)和自上向下(幅角增加)穿越實軸區(qū)間(，1)的次數(shù)決定。

R=N

N

自實軸區(qū)間（，1）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實軸區(qū)間（，1）開始向上的穿越為半次負穿越。ReIm01(+)()對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)s右半平面極點數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線與1802k

線的正負穿越次數(shù)之差R=N

N確定

Z=P2RZ為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。-180()/(°)0L()/dB()(+)例

一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)

解：由開環(huán)傳遞函數(shù)知P=0，作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

180()/(°)0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270輔助線顯見N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié)

=2，故補畫了0到180的輔助線。例

一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)

解：①由開環(huán)傳遞函數(shù)知P=1。②作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。()=90+arctanT2(180arctanT1)

（T1>T2）當()=180時，g

=(1/T1T2)1/2，A(g)=kT2③穩(wěn)定性判別。G(s)H(s)有一個積分環(huán)節(jié)

=1，故補畫了180到270的輔助線。用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。（T1>T2）L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc(ⅰ)當g<c時，即A(g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系統(tǒng)穩(wěn)定。(ⅱ)當g>c時，即A(g