線性系統(tǒng)理論第六章

第六章線性反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合 已知受控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及期望的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式或特征，確定施加于受控系統(tǒng)的控制規(guī)律與參數(shù)，稱為綜合。當(dāng)系統(tǒng)以狀態(tài)空間描述以后，系統(tǒng)的狀態(tài)含有系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)信息，若將控制信號(hào)設(shè)計(jì)為狀態(tài)與參考信號(hào)的函數(shù)形成閉環(huán)控制，便可得到相當(dāng)好的控制效果。無(wú)論在抗擾動(dòng)或抗參數(shù)變動(dòng)方面，反饋系統(tǒng)的性能都遠(yuǎn)優(yōu)于非反饋系統(tǒng)。在本章中，將主要討論在不同形式的性能指標(biāo)下線性定常系統(tǒng)的反饋控制規(guī)律的綜合方法，包括建立可綜合的條件及建立控制規(guī)律及其算法。 綜合問(wèn)題中的性能指標(biāo)可區(qū)分為非優(yōu)化型性能指標(biāo)和優(yōu)化型性能指標(biāo)兩種類型，它們都規(guī)定著綜合所得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的期望性能。兩者的差別是：非優(yōu)化指標(biāo)是一類不等式型的指標(biāo)，即只要性能值達(dá)到或好于期望指標(biāo)就算實(shí)現(xiàn)了綜合的目標(biāo)；優(yōu)化型指標(biāo)則是一類極值型指標(biāo)，綜合目的是要使性能指標(biāo)在所有可能值中取極值。本章討論的綜合問(wèn)題主要涉及的是非優(yōu)化型指標(biāo)，它們可能以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)，討論極點(diǎn)配置問(wèn)題。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)也即其動(dòng)態(tài)性能，主要是由系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定。把閉環(huán)極點(diǎn)組配置到所希望的位置上，實(shí)際上等價(jià)于使綜合得到的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能達(dá)到期望的要求。 以漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)，主要討論各種反饋結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 以使一個(gè)“多輸入——多輸出”系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)“一個(gè)輸入只控制相應(yīng)的某個(gè)輸出”作為性能指標(biāo)，其相應(yīng)的綜合問(wèn)題即為解耦控制問(wèn)題。 還有在各種擾動(dòng)作用下無(wú)靜差地跟蹤參考指令的性能指標(biāo)，其相應(yīng)的綜合問(wèn)題為魯棒控制問(wèn)題（留在下一章專門討論）。 本章最后討論狀態(tài)觀測(cè)器。在狀態(tài)反饋中，假定所有狀態(tài)變量如輸出量一樣是可以得到的。實(shí)際上，這一假定通常是不成立的。因此，若我們要實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，則必須根據(jù)可利用的信息來(lái)產(chǎn)生狀態(tài)向量估值。這種建立近似狀態(tài)向量的裝置即為狀態(tài)觀測(cè)器。狀態(tài)觀測(cè)器理論的建立，拓寬了狀態(tài)反饋綜合方法的應(yīng)用范圍。§6.1 常用的反饋結(jié)構(gòu)及其對(duì)系統(tǒng)特性的影響§6.2 單輸入-單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置§6.3 多輸入-多輸出傳統(tǒng)的極點(diǎn)配置§6.4 解耦控制§6.5 狀態(tài)觀測(cè)器6.1常用的反饋結(jié)構(gòu)及其對(duì)系統(tǒng)特性的影響

無(wú)論是在經(jīng)典控制理論還是在現(xiàn)代控制理論中，反饋都是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方式。但由于經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來(lái)描述的，因此它只能以輸出量作為反饋量。而現(xiàn)代控制理論由于是采用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量來(lái)描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還可采用狀態(tài)反饋這種新的控制方式。 一、兩種反饋結(jié)構(gòu) 1.狀態(tài)反饋 設(shè)有n維線性定常系統(tǒng)(6.1)式中分別為n維、p維和q維向量，分別為 階實(shí)矩陣。 由式可畫(huà)出該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-1(a)所示。圖6-1(a)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 在這里，我們研究形如 的線性狀態(tài)反饋對(duì)原線性定常動(dòng)態(tài)方程的影響。其中v為p維系統(tǒng)參考輸入向量，K是 反饋增益矩陣。按要求，K應(yīng)為實(shí)矩陣。在研究狀態(tài)反饋時(shí)，我們默認(rèn)了這樣一個(gè)假定，即所有的狀態(tài)變量都是可以用來(lái)反饋的。 因此，當(dāng)將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量x的線性函數(shù)(6.2)時(shí)，稱其為線性的直接狀態(tài)反饋，簡(jiǎn)稱狀態(tài)反饋。由式(6.1)與式(6.2)可以得出加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-1(b)所示，將式代入式可得狀態(tài)反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為(6.3)其傳遞函數(shù)矩陣可表示為(6.4)圖6-1(b)加入狀態(tài)反饋后的結(jié)構(gòu)圖 因此可用系統(tǒng) 來(lái)表示引入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)。而從式可以看出輸出方程則沒(méi)有變化。 2.輸出反饋 系統(tǒng)的狀態(tài)常常不能全部測(cè)量到，狀態(tài)反饋方法就有一定的工程限制，在此情況下，人們常常采用輸出反饋方法。輸出反饋的目的首先是使閉環(huán)成為穩(wěn)定系統(tǒng)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改善閉環(huán)系統(tǒng)的性能。 當(dāng)把線性定常系統(tǒng)的控制量u取為輸出y的線性函數(shù)(6.5)時(shí)，相應(yīng)的稱為線性非動(dòng)態(tài)輸出反饋，簡(jiǎn)稱為輸出反饋。 加入輸出反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-2所示。圖6-2輸出反饋系統(tǒng)由式(6.1)和式(6.5)可導(dǎo)出輸出反饋的狀態(tài)空間描述為(6.6)其傳遞函數(shù)矩陣則為：(6.7) 不難看出，不管是狀態(tài)反饋還是輸出反饋，都可以改變狀態(tài)的系數(shù)矩陣。但這并不是說(shuō)，兩者具有等同的性能。由于狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，因而利用狀態(tài)反饋時(shí)，其信息量大而完整，可在不增加系統(tǒng)的維數(shù)的情況下，自由地支配響應(yīng)特性；而輸出反饋僅利用了狀態(tài)變量的線性組合來(lái)進(jìn)行反饋，其信息量便較小，所引入的串、并聯(lián)補(bǔ)償裝置將使系統(tǒng)維數(shù)增加，且難于得到任意期望的響應(yīng)特性。一個(gè)輸出反饋系統(tǒng)的性能，定有對(duì)應(yīng)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)與之等同，這時(shí)只需令 ，確定狀態(tài)反饋增益矩陣是方便的；但是，一個(gè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)的性能，卻不一定有對(duì)應(yīng)的輸出反饋系統(tǒng)與之等同，這是由于令 來(lái)確定的解時(shí)，或者形式上過(guò)于復(fù)雜而不易實(shí)現(xiàn)，或者陣含有高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)而不能實(shí)現(xiàn)，或?qū)τ诜亲钚∠辔坏氖芸貙?duì)象，如含有右極點(diǎn)，而選擇了右校正零點(diǎn)來(lái)加以對(duì)消時(shí)，便會(huì)潛藏有不穩(wěn)定的隱患。不過(guò)，輸出反饋所用的輸出變量總是容易測(cè)得的，因而實(shí)現(xiàn)是方便的；而有些狀態(tài)變量不便測(cè)量或不能測(cè)量，需要重構(gòu)，給實(shí)現(xiàn)帶來(lái)麻煩是需要克服的障礙。通過(guò)引入狀態(tài)觀測(cè)器，利用原系統(tǒng)的可測(cè)量變量和作為其輸入以獲得x的重構(gòu)量，并以此來(lái)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋（圖6-3）。有關(guān)狀態(tài)觀測(cè)器和帶有狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題，將在本章的最后幾節(jié)中研究。圖6-3利用觀測(cè)器來(lái)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋 二、反饋結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)特性的影響 由于反饋引入后，系統(tǒng)狀態(tài)的系數(shù)矩陣有了變化，對(duì)系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性、系統(tǒng)的穩(wěn)定性、系統(tǒng)的響應(yīng)等都有影響。本節(jié)我們將研究反饋對(duì)能控性、能觀測(cè)性，穩(wěn)定性的影響及對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)位置的影響問(wèn)題。1.對(duì)能控性與能觀測(cè)性的影響對(duì)此，有如下兩個(gè)結(jié)論。 結(jié)論1狀態(tài)反饋的引入，不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。 證設(shè)受控系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)方程為

則由 狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為首先證明：狀態(tài)反饋系統(tǒng)為能控的充分必要條件是受控系統(tǒng)為能控。 表示和的能控性判別陣分別為

和由于式中為列向量。將K表為行向量組，即令式中 均為標(biāo)量，故該式表明 的列是的列的線性組合。同理有 的列是 的線性組合，如此等等。故的每一列均可表為的列的線性組合，由此可得（6.8）另一方面， 又可以看成為的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，即

所以，同理可得下式（6.9）由式（6.8）和式（6.9）可導(dǎo)出從而能控，當(dāng)且僅當(dāng)能控。 再來(lái)證明狀態(tài)反饋系統(tǒng)不一定能保持能觀測(cè)性。對(duì)此只需舉反例說(shuō)明，設(shè)為能觀測(cè)的，但不一定為能觀測(cè)。如考察系統(tǒng)其能觀測(cè)性判別陣

滿足 ，故 為能觀測(cè)?，F(xiàn)引入狀態(tài)反饋，取 ，則狀態(tài)反饋系統(tǒng)為

其能觀測(cè)性判別陣

顯然有 ，故為不完全能觀測(cè)。而若取 ，則通過(guò)計(jì)算可知，為能觀測(cè)的。從而表明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性，這是由于人為地使配置極點(diǎn)和零點(diǎn)相對(duì)消造成的。 結(jié)論2輸出反饋的引入能同時(shí)不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，即輸出反饋系統(tǒng) 為能控（能觀測(cè)）的充分必要條件是受控系統(tǒng)為能控（能觀測(cè)）。 證首先，由于對(duì)任一輸出反饋系統(tǒng)都可找到一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)反饋系統(tǒng) ,而已知狀態(tài)反饋可保持能控性，從而證明輸出反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性。 其次，表示和的能觀測(cè)判別陣分別為：

和由于， ,式中為行向量。將F表示為列向量組 ，即 則

令式中 ，為標(biāo)量，該式表明 的行是 的行的線性組合。同理有的行是 的行的線性組合，如此等等。故 的每一行均可表示為的行的線性組合，由此可得(6.10)進(jìn)而，可把看成的反饋系統(tǒng)，又有（6.11）從而，由式（6.10）和（6.11）即得

這表明輸出反饋克保持能觀測(cè)性。證畢。 2.穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定 狀態(tài)反饋和輸出反饋都能影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。加入反饋，使得通過(guò)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)成為穩(wěn)定系統(tǒng)，就稱為鎮(zhèn)定。鑒于狀態(tài)反饋的優(yōu)越性，這里只討論狀態(tài)反饋的鎮(zhèn)定問(wèn)題。對(duì)于線性定常受控系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律 為參考輸入使得通過(guò)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)

是漸近穩(wěn)定的，也即其特征值均具有負(fù)實(shí)部，則稱系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。在鎮(zhèn)定問(wèn)題中，綜合的目標(biāo)不是要是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)嚴(yán)格地配置到任意指定的一組位置上，而是使其配置于復(fù)數(shù)平面的左半開(kāi)平面上，因此這類問(wèn)題屬于極點(diǎn)區(qū)域配置問(wèn)題，是指定極點(diǎn)配置的一類特殊情況。利用這一點(diǎn)，可以很容易導(dǎo)出鎮(zhèn)定問(wèn)題的相應(yīng)結(jié)論。 依據(jù)極點(diǎn)配置的基本定理可知，如果系統(tǒng) 為能控，則必存在狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得 的全部特征值配置到任意指定的位置上。當(dāng)然，這也包含了使 。因此， 為能控是系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充分條件。狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的充分必要條件由下述結(jié)論給出。 結(jié)論線性定常系統(tǒng)是由主題反饋可鎮(zhèn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)其不能控部分是漸近穩(wěn)定的。 證明由 為不完全能控，則必可對(duì)其引入線性非奇異變換而進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解：

并且對(duì)任意 可導(dǎo)出但知 為能控，故必存在，使 的特征值具有負(fù)實(shí)部，而狀態(tài)反饋對(duì)不能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)毫無(wú)影響。從而即知，欲使的特征值均具有負(fù)實(shí)部，也就是上述系統(tǒng)由狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分必要條件是：不能控部分的特征值均具有負(fù)實(shí)部。證畢。 3.極點(diǎn)配置問(wèn)題 當(dāng)反饋形式確定以后，極點(diǎn)配置問(wèn)題就是依據(jù)希望的指定極點(diǎn)位置來(lái)計(jì)算反饋增益矩陣的問(wèn)題。對(duì)于狀態(tài)反饋而言，單輸入系統(tǒng)的、反饋增益是唯一的，而多輸入系統(tǒng)的反饋增益陣不唯一；但無(wú)論是單輸入或多輸入系統(tǒng)，只要系統(tǒng)完全能控，則系統(tǒng)的極點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)任意配置。關(guān)于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問(wèn)題將在6.2、6.3節(jié)中詳細(xì)介紹。6.2 單輸入-單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置

由于一個(gè)系統(tǒng)的性能和它的極點(diǎn)位置密切相關(guān)，因此極點(diǎn)配置問(wèn)題在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是很重要的。這里，需要解決兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是建立極點(diǎn)可配置條件，也就是給出受控系統(tǒng)可以利用雙腿反饋而任意配置其閉環(huán)極點(diǎn)所應(yīng)遵循的條件：另一個(gè)是確定滿足極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K的算法。 一.極點(diǎn)可配置條件 我們來(lái)給出利用狀態(tài)反饋的極點(diǎn)可配置條件，應(yīng)該說(shuō)明的是，該條件既適于單輸入-單輸出系統(tǒng)，又適于多輸入-多輸出系統(tǒng)。 定理設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為（6.12）要通過(guò)狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于預(yù)先規(guī)定的位置上，其充分必要條件是系統(tǒng)（6.12）完全能控。 證明下面就單輸入-多輸出系統(tǒng)的情況證明本定理。這時(shí)式（6.12）中B的為一列，記為b。 先證充分性?？紤]到一個(gè)單輸入能控系統(tǒng)通過(guò) 的坐標(biāo)變換可換成能控規(guī)范型式中

即,在單輸入情況下，引入下述狀態(tài)反饋，其中 ，則引入狀態(tài)反饋向量 后狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)陣為（6.13）對(duì)于式（6.13）這種特殊形式的矩陣，很容易寫出其閉環(huán)特征方程由上式可見(jiàn)，n階特征方程中的n個(gè)系數(shù)，可通過(guò) 來(lái)獨(dú)立地設(shè)置，也就是說(shuō)的特征值可以任意選擇，既系統(tǒng)的極點(diǎn)可以任意配合著。 再證必要性。如果系統(tǒng) 不能控，就數(shù)碼系統(tǒng)的有些狀態(tài)將不受u的控制。顯然引入反饋時(shí)，企圖通過(guò)控制量u來(lái)影響不能控的極點(diǎn)將是不可能的。至此，證明完畢。 考慮到實(shí)際問(wèn)題中幾乎所有的系統(tǒng)都是能控的，因此通常總可以利用狀態(tài)反饋來(lái)控制系統(tǒng)的特征值即振型，而這正是狀態(tài)反饋的重要特征之一。 二.單輸入-單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法 需要解決的是狀態(tài)反饋增益矩陣的問(wèn)題。這里給出一種規(guī)范算法。 給定能控矩陣對(duì)和一組期望的閉環(huán)特征值 ,要確定維的反饋增益矩陣，使 成立。 第1步：計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，即 第2步：計(jì)算由 所決定的希望特征多項(xiàng)式，即

第3步：計(jì)算 第4步：計(jì)算變換矩陣

第5步：求P；第6步：所求的增益陣 應(yīng)說(shuō)明的是，以上規(guī)范算法也適于單輸入-多輸出系統(tǒng)；求解具體問(wèn)題也不一定化為能控規(guī)范型，可直接計(jì)算狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，式中系數(shù)均為的函數(shù)。 例6.1給定單輸入線性定常系統(tǒng)為： 再給定一組閉環(huán)特征值為： 易知系統(tǒng)為完全能控，故滿足可配置條件?，F(xiàn)計(jì)算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：

進(jìn)而計(jì)算于是，可求得

再來(lái)計(jì)算變換陣或令于是同樣可得 三.狀態(tài)反饋對(duì)傳遞函數(shù)零點(diǎn)的影響狀態(tài)反饋在改變系統(tǒng)極點(diǎn)的同時(shí)，是否對(duì)系統(tǒng)零點(diǎn)有影響，下面對(duì)此問(wèn)題作出具體分析。已知對(duì)于完全能控的單輸入-單輸出線性定常受控系統(tǒng)，經(jīng)適當(dāng)?shù)木€性非奇異變換可化為能控規(guī)范型

受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為引入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（6.15） 上述推導(dǎo)表明，由于與的第n列相同，故與的分子多項(xiàng)式相同，即閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)與受控系統(tǒng)零點(diǎn)相同，狀態(tài)反饋對(duì)的零點(diǎn)沒(méi)影響，唯使的極點(diǎn)改變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。然而可能由這種情況，引入狀態(tài)反饋后恰巧使某些極點(diǎn)轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)處而構(gòu)成極、零點(diǎn)對(duì)消，這時(shí)既失去了一個(gè)系統(tǒng)零點(diǎn)，由失去了一個(gè)系統(tǒng)極點(diǎn)，并且造成了對(duì)消掉的那些極點(diǎn)（即振型）稱為不能觀測(cè)。這也是對(duì)狀態(tài)反饋可能使系統(tǒng)失去能觀測(cè)性的一個(gè)直觀解釋。6.3 多輸入-多輸出傳統(tǒng)的極點(diǎn)配置 設(shè)能控的多輸入-多輸出受控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為（6.16）引入狀態(tài)反饋控制規(guī)律 ，式中K為矩陣，則閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程為（6.17）適當(dāng)選擇K陣的個(gè)元素，為任意配置n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)提供了很大的自由，但通常包含大量的數(shù)值計(jì)算，K陣選擇不唯一，導(dǎo)致傳遞函數(shù)矩陣不唯一系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性并不相同。這些是多變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置問(wèn)題的特點(diǎn)。其中一種能顯著降低K陣的計(jì)算量，它是人為地對(duì)K陣的結(jié)構(gòu)加以限制，即不采用滿秩結(jié)構(gòu)（），而采用單位秩結(jié)構(gòu)（），這時(shí)可將多輸入-多輸出系統(tǒng)化為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)，于是可進(jìn)而采用單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法。另一種是化為龍伯格能控規(guī)范型的極點(diǎn)配置方法，依該法所選的K陣，可使系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。下面來(lái)分別介紹這兩種方法。 一.化多輸入-多輸出系統(tǒng)為等價(jià)單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法 當(dāng)K陣取為單位秩結(jié)構(gòu)，則K陣只有一個(gè)獨(dú)立的行或列，即令，式中為向量，為向量，于是，閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程為。 再來(lái)看單輸入-多輸出受控系統(tǒng)，設(shè)能控的動(dòng)態(tài)方程為，，引入狀態(tài)反饋，則閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程為。顯見(jiàn)二者的閉環(huán)狀態(tài)陣全同，具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)，故K取單位秩結(jié)構(gòu)的實(shí)質(zhì)就是化多輸入-多輸出系統(tǒng)為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)，這里等價(jià)的含意是指閉環(huán)極點(diǎn)配置等價(jià)。 K陣取單位秩結(jié)構(gòu)以后，其中含個(gè)待定元素，通常由設(shè)計(jì)者任意規(guī)定的p個(gè)元素，只待確定k的n個(gè)元素以配置n個(gè)極點(diǎn)。然而，化成的等價(jià)單輸入系統(tǒng)必須滿足能控的條件，才能以來(lái)任意配置極點(diǎn)，即要求

但怎樣才能使一個(gè)能控的多輸入-多輸出受控系統(tǒng)，化成一個(gè)能控的等價(jià)單輸入受控系統(tǒng)呢？這里要用到循環(huán)矩陣的概念。 1.循環(huán)矩陣及其屬性 如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式等同于其最小多項(xiàng)式，則稱其為循環(huán)矩陣?；蛘哒f(shuō)，預(yù)解矩陣 不可簡(jiǎn)約，即與之間無(wú)公因子，則為循環(huán)矩陣。它有如下一些特征： 1).將循環(huán)矩陣化為約當(dāng)規(guī)范型后，每一個(gè)不同的特征值僅有一個(gè)約當(dāng)塊； 2).如果的所有特征值兩兩相等，則必定是循環(huán)矩陣； 3).若A為循環(huán)矩陣，其循環(huán)性是指：必存在一個(gè)向量b，使向量組可張成一個(gè)n維空間，即能控； 4).若能控，且A為循環(huán)陣，則對(duì)幾乎任意的 維實(shí)向量，使單輸入系統(tǒng)的矩陣對(duì)為能控（這也是可化為等價(jià)單輸入系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件）； 5).若A為非循環(huán)陣，但能控，則對(duì)幾乎任意的實(shí)矩陣K，為循環(huán)陣。 下面我們僅對(duì)特性1)作一證明。其余特性可由讀者自行推導(dǎo)。 證明設(shè)為A的兩兩相異的特征值，其重?cái)?shù)分別為，則可知A的特征多項(xiàng)式：(6.18)再表A的約當(dāng)規(guī)范型為：(6.19)且有 ， 現(xiàn)令 ，則由矩陣?yán)碚摽芍ㄒ布碅）的最小多項(xiàng)式為(6.20) 于是，利用循環(huán)矩陣的定義，并由（6.16）和（6.18）即知：A為循環(huán)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)，也即A的約當(dāng)規(guī)范型中每一個(gè)不同的特征值僅有一個(gè)約當(dāng)塊。至此，證明完畢。 下面通過(guò)舉例來(lái)補(bǔ)充說(shuō)明。設(shè) ，則 ，故A為循環(huán)矩陣。此時(shí) 顯見(jiàn)與 之間無(wú)公因子。有則A則為循環(huán)矩陣。設(shè)則這里，，故A為非循環(huán)矩陣。 已知多輸入-多輸出系統(tǒng)A、B分別為易知能控且A為循環(huán)矩陣。其等價(jià)的單輸入系統(tǒng) 其只需滿足及便能保證能控。唯有或/和時(shí)，不能控，故有屬性4。 設(shè)A、B分別為，易知能控，但A為非循環(huán)矩陣。引入任意的狀態(tài)反饋矩陣如 ，其中為任意非零值，其閉環(huán)狀態(tài)陣為，其特征值兩兩相異，故為循環(huán)矩陣，可以此修正的受控對(duì)象來(lái)進(jìn)一步化為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)，即保障了的能控性，故有屬性5。通常的結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，數(shù)值盡可能小，便可滿足循環(huán)性要求。于是對(duì)非循環(huán)的受控對(duì)象的極點(diǎn)配置問(wèn)題需分兩步進(jìn)行：第一步引入消去A的非循環(huán)性，顯然這不會(huì)改變受控對(duì)象的能控性， 是能控矩陣對(duì)；第二步再引入單位秩狀態(tài)反饋矩陣來(lái)配置極點(diǎn)。對(duì)原受控對(duì)象來(lái)說(shuō)，總的狀態(tài)反饋矩陣K為 2.多輸入-多輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置定理 若（6.16）所示受控對(duì)象能控，則通過(guò)線性狀態(tài)反饋 可對(duì)的特征值任意配置，式中K為實(shí)常矩陣。 證若A為非循環(huán)矩陣，現(xiàn)引入使得(6.21)式中是循環(huán)的。因?yàn)槟芸?，所?能控。因而存在一個(gè)維實(shí)向量使得也能控。 現(xiàn)引入另一狀態(tài)反饋，且取，其中k是實(shí)向量。于是式(6.21)成為由于能控，則借助于選擇k，就能任意配置 的特征值。將狀態(tài)反饋與狀態(tài)反饋合起來(lái)，便得 （為K反饋矩陣）于是定理得證。見(jiàn)圖6-4。若不能控，則將它們變換成，這時(shí)任何狀態(tài)反饋向量都不能影響的特征值。因此我們判定，能夠任意配置的特征值之充分必要條件是能控。圖6-4多變量動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)反饋 3.極點(diǎn)配置算法步驟 給定能控矩陣對(duì)和一組期望的閉環(huán)特征值 要確定維反饋增益矩陣K，是式 成立。 第1步：判斷A是否為循環(huán)矩陣。若不是，消去一個(gè)階常陣使為循環(huán)，并定義；若是，則直接選取 ； 第2步：對(duì)于循環(huán)矩陣，通過(guò)適當(dāng)選取一個(gè)維實(shí)常向量，使得也能控； 第3步：對(duì)于等價(jià)單輸入問(wèn)題，利用單輸入極點(diǎn)配置問(wèn)題的算法，求出增益向量k； 第4步：當(dāng)A為循環(huán)時(shí)，所求增益矩陣；當(dāng)A為非循環(huán)時(shí)，所求增益矩陣則為；

容易看出，在這一算法中，和的選取不是唯一的，有著一定的任意性。從工程實(shí)現(xiàn)的角度而言，通?？偸窍Ｍ沟煤偷倪x取以達(dá)到K的各個(gè)元素為盡可能地小。但是總的來(lái)說(shuō)，由這種算法得到的K的各反饋增益值往往偏大。 二.化多輸入-多輸出系統(tǒng)為龍伯格能控規(guī)范型的極點(diǎn)配置算法 由第3章可知，能控的多輸入-多輸出系統(tǒng)可化為龍伯格能控規(guī)范型，其的對(duì)角線上的塊陣，均為維數(shù)由能控性指數(shù)集確定的友矩陣，當(dāng)引入狀態(tài)反饋陣以后，其仍為結(jié)構(gòu)形式相同的龍伯格能控規(guī)范型。若將希望閉環(huán)極點(diǎn)按該規(guī)范型對(duì)角線上塊陣的維數(shù)進(jìn)行分組，分別確定各組的多項(xiàng)式，便可構(gòu)造僅含友矩陣的對(duì)角線分塊矩陣 ,它作為希望的閉環(huán)狀態(tài)陣，經(jīng)與相比較便能確定陣諸元。為了敘述簡(jiǎn)便，結(jié)合一個(gè)的一般性例子來(lái)說(shuō)明算法步驟。 第1步：把能控矩陣對(duì)化成龍伯格能控規(guī)范型，例如

其中S為線性變換矩陣 第2步：把給定的期望閉環(huán)特征值按龍伯格能控規(guī)范型的對(duì)角線塊陣的維數(shù)，相應(yīng)地計(jì)算構(gòu)造希望的閉環(huán)狀態(tài)陣：希望特征多項(xiàng)式為第3步：由與相比較確定，其中令 ，故為 第4步：據(jù)下列各式計(jì)算化為龍伯格能控規(guī)范型的變換矩陣：

式中為能控性指數(shù)集。求并按行分塊，第1行塊含行，…，第m行塊含行；再由各行塊的末行按規(guī)則構(gòu)造變換矩陣。其中、記為第5步：所求的狀態(tài)反饋增益矩陣即為

這種計(jì)算過(guò)程是很規(guī)范化的。計(jì)算過(guò)程中，主要的計(jì)算工作為計(jì)算變換陣和導(dǎo)出龍伯格能控規(guī)范型。而且，由這一算法所求得的K陣諸元的數(shù)值常比由算法Ⅰ定出的結(jié)果要小得多。這時(shí)這種算法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。并且，如果龍伯格規(guī)范型中對(duì)角線塊陣的個(gè)數(shù)愈多，即子塊的維數(shù)愈小，則這個(gè)優(yōu)點(diǎn)就愈明顯。 例6.2給定多輸入定常系統(tǒng)為規(guī)范型：

再給定期望的一組閉環(huán)特征值為 方案1：利用算法Ⅰ，先求出再根據(jù)反饋陣的算式，即得并且，容易定出，希望的反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為：而其特征多項(xiàng)式就是：從而滿足極點(diǎn)配置要求。 方案2：先求出可知期望的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣應(yīng)為：于是，利用給出的陣A和上述得到的矩陣，可得：由此可定出所要求的反饋增益矩陣為上述計(jì)算方法實(shí)質(zhì)上即為算法1。 并且，通過(guò)比較由兩種方案所得到的增益矩陣K可以看出，一般地說(shuō)，按算法II導(dǎo)出的中元的值從整體上要小于按算法I導(dǎo)出的K中的元。

狀態(tài)反饋對(duì)多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的零點(diǎn)的影響已知單變量系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后，通常不改變傳遞函數(shù)零點(diǎn)，該結(jié)論對(duì)于多輸入-多輸出系統(tǒng)也是適用的，即狀態(tài)反饋通常不改變傳遞函數(shù)矩陣的零點(diǎn)。注意到在第三章中關(guān)于傳遞函數(shù)矩陣的零點(diǎn)的定義，便可將單變量系統(tǒng)的上述結(jié)論推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)。但是，傳遞函數(shù)矩陣的諸元的分子多項(xiàng)式是受狀態(tài)反饋影響而改變的，詳見(jiàn)下面舉例。 例6.3考慮一個(gè)雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣為：容易算出，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： 的極點(diǎn)是的零點(diǎn)是?，F(xiàn)引入狀態(tài)反饋控制，其狀態(tài)反饋增益陣為：則可導(dǎo)出狀態(tài)反饋系統(tǒng)的各系數(shù)矩陣為：并且，相應(yīng)地，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：比較和不難看出，狀態(tài)反饋的引入，使的極點(diǎn)移動(dòng)到但的零點(diǎn)仍為，的大部分元傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與的元傳遞函數(shù)的零點(diǎn)很不相同。利用狀態(tài)反饋可以影響受控系統(tǒng)的的元傳遞函數(shù)的零點(diǎn)這一事實(shí)，并注意到極點(diǎn)配置問(wèn)題中反饋增益矩陣的不唯一性，我們不難得出結(jié)論：對(duì)于可實(shí)現(xiàn)相同極點(diǎn)配置的兩個(gè)不同的反饋增益矩陣和，其相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和一般是不相同的，從而也就有不同的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。顯然，在極點(diǎn)配置問(wèn)題的綜合中，應(yīng)當(dāng)選取同時(shí)使元增益值較小且瞬態(tài)響應(yīng)較好的反饋增益矩陣解。通常按算法II導(dǎo)出的反饋增益矩陣K，較優(yōu)于其它算法導(dǎo)出的結(jié)果。6.4解耦控制 問(wèn)題描述設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為。其中輸入向量和輸出向量有相同的維數(shù)m。如果 ，則輸入與輸出之間的關(guān)系可用傳遞矩陣表示：上式可展開(kāi)成 我們稱這些方程是耦合的，因?yàn)槊恳粋€(gè)輸入都影響所有的輸出。如果要在其它輸出都不改變的情況下去調(diào)整某個(gè)輸出，通常是十分困難的。 定義設(shè)如果系統(tǒng) 的傳遞矩陣是對(duì)角化的非奇異矩陣，則稱系統(tǒng)是解耦的。這樣一個(gè)系統(tǒng)可以看作是由個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)所組成。如圖6-5所示。 因此尋求一些控制規(guī)律使耦合的多變量系統(tǒng)變成解耦的系統(tǒng)，可以使每一個(gè)輸入僅控制一個(gè)輸出，即每一個(gè)輸出僅受一個(gè)輸入控制。圖6-5解耦系統(tǒng)輸入–圖6-6包含輸入變換的狀態(tài)反饋 考慮多輸入-多輸出的線性定常系統(tǒng)：（6.22）其中：x為n維狀態(tài)向量，u為p維控制向量，y為q維輸出向量。引入三個(gè)基本假定： （1），即輸入和輸出具有相同的變量個(gè)數(shù)； （2）控制律采用狀態(tài)反饋結(jié)合輸入變換，即 其中K為維反饋增益陣，L為維輸入變換陣，v為參考輸入。相應(yīng)的反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如–圖6-6包含輸入變換的狀態(tài)反饋圖6-6所示； （3）輸入變換陣L為非奇異，即有 。 由圖6-6可看出包含輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為（6.23）而其傳遞函數(shù)為（6.24）由已知假定，可知為維有理分式矩陣。 于是所謂解耦問(wèn)題就是：對(duì)由（6.22）式給出的多變量受控系統(tǒng)，尋找一個(gè)輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣對(duì)使得狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為非奇異對(duì)角線有理分式矩陣，即 其中 容易看出，為了綜合解耦控制問(wèn)題，將面臨兩個(gè)有待研究的命題。一個(gè)是研究受控系統(tǒng)的可解耦性，即建立使受控系統(tǒng)可通過(guò)狀態(tài)反饋和輸入變換而實(shí)現(xiàn)解耦所應(yīng)遵循的條件；另一個(gè)是給出解耦控制問(wèn)題的綜合算法，以便對(duì)于可解耦的系統(tǒng)，確定出所要求的矩陣對(duì)。這些命題的解決，都涉及受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的某些結(jié)構(gòu)特征參數(shù)。 傳遞函數(shù)矩陣的兩個(gè)特征量設(shè)為維受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，為它的第個(gè)行傳遞函數(shù)向量，即有式中均為嚴(yán)格有理真分式。 再設(shè)為的分母多項(xiàng)式的次數(shù)和的分子多項(xiàng)式的次數(shù)之差，則的第一個(gè)特征向量定義為（6.25a）顯然必為非負(fù)整數(shù)。當(dāng)給定后，為唯一確定。 設(shè)的分母多項(xiàng)式至多為n次，當(dāng)中有一元的分子多項(xiàng)式階次為時(shí)，便有；當(dāng)?shù)乃性姆肿佣囗?xiàng)式階次均為零且分母多項(xiàng)式階次均為n時(shí)，才有。故有，且諸元分子多項(xiàng)式的最高階數(shù)為。用表示有式中表示C的第i行。由于分子多項(xiàng)式的最高階數(shù)為，故不存在，…，等階次更高的項(xiàng)，即有考慮，將其展開(kāi)，由同冪項(xiàng)系數(shù)相等的條件可導(dǎo)出諸R矩陣為于是又可導(dǎo)出 （6.25b）該式意味著是使的最小正整數(shù)k，而 當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)有，則由式（6.25b）顯見(jiàn)，特征量也可由受控系統(tǒng)的（A，B，C）來(lái)確定。 的第二個(gè)特征量定義為（6.26a） 為（）向量，計(jì)算可知（6.26b）式（6.26b）表明，特征量也可由（A,B,C）確定。 以上確定的兩個(gè)特征量的方法，也可用來(lái)確定引入{LK}矩陣對(duì)以后的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的特征量、。這時(shí)，的第行為

（6.27）式中且可導(dǎo)出(6.28)（6.29）式（6.28）和式（6.29）給出了和的定義式?？紤]式（6.25），可驗(yàn)證存在下列恒等式則對(duì)于任意{LK}均成立。考慮 有故 （6.30） 與的關(guān)系有下列恒等式 （6.31）證由于即故式（6.31）得證。 可解耦條件線性定常受控系統(tǒng)（6.22）可采用狀態(tài)反饋和輸入變換即存在矩陣對(duì){LK}進(jìn)行解耦的充分必要條件，是如下的維常陣

（6.32）為非奇異。 證明： 必要性：已知對(duì){ABC}存在{LK}可實(shí)現(xiàn)解耦，即閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為由此并利用的定義，可得這表明為對(duì)角線非奇異陣。再知，且L為非奇異，從而即知為非奇異陣。由此必要性得證。 充分性：采用構(gòu)造性證明，取{LK}為 （6.33）其中，由已知E為非奇異，故存在，而常陣F定義為： （6.34）由考慮式（6.25），有故為對(duì)角陣且非奇異，即實(shí)現(xiàn)了解耦。充分性得證 上述分析研究說(shuō)明： （1）受控系統(tǒng)（6.22）能否采用狀態(tài)反饋和輸入變換來(lái)實(shí)現(xiàn)解耦，唯一地決定于其傳遞函數(shù)矩陣的兩個(gè)特征量和。從表面上看，系統(tǒng)的能控性和能鎮(zhèn)定性在這里是無(wú)關(guān)緊要的。但是，從解耦合后的系統(tǒng)要能正常地運(yùn)行并具有良好的動(dòng)態(tài)性能而言，仍需要求受控系統(tǒng)是能控的，或至少是能鎮(zhèn)定的。否則，甚至不能保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，此時(shí)解耦控制也就失去了意義。 （2）判斷受控系統(tǒng)（6.22）能否采用狀態(tài)反饋和輸入變換來(lái)實(shí)現(xiàn)解耦，即可從傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣描述來(lái)組成判別矩陣E，也可從系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述來(lái)組成判別矩陣E。 （3）用式（6.33）所示的，對(duì)可解耦受控系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)積分型解耦，解耦后諸單變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為多重積分器，但是這種解耦系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能不能令人滿意，故本身并無(wú)實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，它僅是解耦控制的一個(gè)中間步驟。由式（6.35）可知，子系統(tǒng)含有個(gè)積分器，積分型解耦控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為（6.36） （4）能控時(shí)，一定能控，這是由于與有相同的秩，則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)能控性。當(dāng)能控，且和都能觀測(cè)時(shí)，必有，其中子系統(tǒng)維數(shù)為。當(dāng)能控，或不能觀測(cè)時(shí)，必有 時(shí)，子系統(tǒng)的維數(shù)，記至于，可根據(jù)的能觀測(cè)性指數(shù)集來(lái)確定。

對(duì)積分型解耦系統(tǒng)附加狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置問(wèn)題 為解決積分型解耦系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能問(wèn)題，需采用附加反饋以配置所需極點(diǎn)，但引入該反饋后仍應(yīng)保證閉環(huán)系統(tǒng)是解耦系統(tǒng)。為此，將積分型解耦系統(tǒng)首先變換為解耦規(guī)范系統(tǒng)，在解耦規(guī)范系統(tǒng)中引入附加狀態(tài)反饋，可使閉環(huán)系統(tǒng)仍然解耦。 現(xiàn)引入一個(gè)非奇異線性變換，其中（6.37）式中，；符號(hào)×為使非奇異的任意行向量；，為矩陣，為矩陣；為任取的個(gè)線性無(wú)關(guān)行向量，為的不能觀測(cè)狀態(tài)。以上變換實(shí)為對(duì)積分型解耦系統(tǒng)進(jìn)行按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解?？梢宰C明（略），對(duì)能控的積分型解耦系統(tǒng)，經(jīng)以上變換可以化為下列解耦規(guī)范型（6.38）式中，其中，虛線分塊化表示按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解形式，當(dāng) 為能觀測(cè)時(shí)，則中不出現(xiàn)不能觀測(cè)部分，也無(wú)需進(jìn)行按能觀測(cè)性分解；此時(shí)。其中的子系統(tǒng)的形式為式中是能控子系統(tǒng)，階矩陣塊是不能觀測(cè)，（由能觀測(cè)但引入了后不能觀測(cè)生成）。還應(yīng)注意到階矩陣塊也是不能觀測(cè)的（由不能觀測(cè)）。 對(duì)解耦規(guī)范型中的諸子系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋，式中用以實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。而對(duì)整個(gè)解耦規(guī)范系統(tǒng) 所引入的狀態(tài)反饋控制規(guī)律為，式中（6.39）可得閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

（6.40）還可導(dǎo)出閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣（6.41）和這表明，的結(jié)構(gòu)形式保證了解耦控制的實(shí)現(xiàn)，而 的元?jiǎng)t由解耦后的第個(gè)單輸入-單輸出控制系統(tǒng)的期望極點(diǎn)組所決定。而且，不難看出，由于需保證實(shí)現(xiàn)解耦，狀態(tài)反饋所能控制的不是的全部特征值。對(duì)于不能觀測(cè)的狀態(tài)變量必須是穩(wěn)定的，否則，表示不存在穩(wěn)定的解耦控制規(guī)律。 利用，可得原閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為故原受控對(duì)象為實(shí)現(xiàn)解耦以及配置極點(diǎn)的矩陣對(duì)應(yīng)分別為（6.42） 例6.4 給定輸入雙-輸出的線性定常受控系統(tǒng)為：試設(shè)計(jì)解耦控制規(guī)律。解易知受控系統(tǒng)能控并且能觀測(cè)①計(jì)算和由此，即可定出②判斷可解耦性顯然，可解耦性判別陣為非奇異，因此可進(jìn)行解耦。③導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng)定出再取則有容易看出，保持為能觀測(cè)，且已處于解耦規(guī)范型。所以，無(wú)需進(jìn)一步引入變換，也即。④相對(duì)于解耦規(guī)范型確定狀態(tài)反饋增益矩陣將取為：則可得再來(lái)指定解耦后的單輸入-單輸出系統(tǒng)的期望特征值，分別為：于是，通過(guò)求得從而⑤給出給定受控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦控制和極點(diǎn)配置的控制矩陣對(duì)解耦控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：而其傳遞函數(shù)矩陣則為：

由以上介紹可以看出，解耦控制大大簡(jiǎn)化了控制過(guò)程，使得對(duì)各個(gè)輸入變量的控制都可以單獨(dú)地運(yùn)行。在許多工程問(wèn)題中，特別是過(guò)程控制中，解耦控制有著重要意義。6.5 狀態(tài)觀測(cè)器 狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題前面各節(jié)對(duì)各種綜合問(wèn)題的討論中已經(jīng)充分顯示了狀態(tài)反饋的優(yōu)越性。不管是系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、鎮(zhèn)定以及解耦控制，都有賴于引入恰當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋才能實(shí)現(xiàn)。我們把所有的狀態(tài)變量都假設(shè)為同輸出一樣是可以得到的，但是實(shí)際上由于不易直接測(cè)量，或者由于測(cè)量設(shè)備在經(jīng)濟(jì)上和使用性上的限制，使得不可能實(shí)際獲得系統(tǒng)的狀態(tài)變量，從而使?fàn)顟B(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)成為不可能。因此，為了應(yīng)用狀態(tài)反饋達(dá)到鎮(zhèn)定、最優(yōu)化或解耦的目的，必須先找到狀態(tài)變量的合理替代者。在本節(jié)中，我們將指出如何用動(dòng)態(tài)方程的輸入和輸出去驅(qū)動(dòng)一個(gè)裝置，使得該裝置的輸出逼近狀態(tài)變量。這種建立近似狀態(tài)變量的裝置稱為狀態(tài)觀測(cè)器。一.開(kāi)環(huán)形式的狀態(tài)觀測(cè)器 設(shè)有一個(gè)受控系統(tǒng)，其狀態(tài)變量不一定能取得，因此可以人為地建立一個(gè)模擬系統(tǒng)，并要求。兩個(gè)系統(tǒng)由同一輸入，如圖6-7所示。圖6-7開(kāi)環(huán)形式狀態(tài)觀測(cè)器分別寫出原系統(tǒng)和模擬系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：原系統(tǒng)，模擬系統(tǒng)，根據(jù)假設(shè)，并設(shè)表示兩系統(tǒng)狀態(tài)變量間的偏差，則有（6.43）由上式可以看出兩系統(tǒng)狀態(tài)變量偏差的動(dòng)態(tài)特性完全由狀態(tài)A所決定。 求出式（6.43）的時(shí)域解：(6.44)由式(6.44)可以看出只要置狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)變量的初值 等于原系統(tǒng)的初值，則，但實(shí)際上做不到這一點(diǎn)，所以一般情況下按式(6.44)變化與初始狀態(tài)偏差成比例。如果(6.44)中A含有較理想的特征值，如特征值的實(shí)部都為負(fù)，則衰減速度快，能使很快趨近于0，實(shí)現(xiàn)→；如果A含有不穩(wěn)定特征值，在那么即使和間偏差很小，也會(huì)導(dǎo)致隨著t的增加而使越來(lái)越大。受控對(duì)象的A陣往往不夠理想，各類擾動(dòng)因素又難以重構(gòu)，開(kāi)環(huán)形式的狀態(tài)觀測(cè)器沒(méi)有應(yīng)用價(jià)值，使用的狀態(tài)觀測(cè)器都是閉環(huán)形式的。本節(jié)將介紹兩類閉環(huán)形式的狀態(tài)觀測(cè)器：全維的和降維的。維數(shù)等同于受控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器，維數(shù)小于受控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器成為降維狀態(tài)觀測(cè)器。利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)如圖6-8所示。 二、閉環(huán)形式的狀態(tài)觀測(cè)器 全維狀態(tài)觀測(cè)器 考慮n維線性定常系統(tǒng)

(6.45)其中，A、B、C分別為，和實(shí)常陣。所謂全維狀態(tài)觀測(cè)器，就是以y和u為輸入，且其輸出滿足如下關(guān)系式(6.46)的一個(gè)n維線性定常系統(tǒng)。設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器的步驟：首先，根據(jù)已知的系數(shù)矩陣A、B和C，按和原系統(tǒng)相同的結(jié)構(gòu)形式，復(fù)制出一個(gè)基本系統(tǒng)，并與原系統(tǒng)共用同一個(gè)輸入量u。其次，取原系統(tǒng)輸出y和復(fù)制系統(tǒng)輸出之差值信號(hào)作為修正變量，并將其經(jīng)增益矩陣L反饋到復(fù)制系統(tǒng)中積分器的輸入端而構(gòu)成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，如圖6-9所示。顯然，這個(gè)重構(gòu)系統(tǒng)是以原系統(tǒng)的可測(cè)量變量u和y為輸入的一個(gè)n維線性系統(tǒng)，其中待確定的系數(shù)矩陣只有L。從圖6-9可導(dǎo)出全維狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為 (6.47)

其中修正項(xiàng)起反饋?zhàn)饔?，它利用?lái)消除從而使，故有閉環(huán)形式的狀態(tài)觀測(cè)器之稱，該項(xiàng)是為了克服開(kāi)環(huán)形式狀態(tài)觀測(cè)器的上述問(wèn)題而引入的。圖6-8閉環(huán)形式的狀態(tài)觀測(cè)器圖6-9全維狀態(tài)觀測(cè)器 考慮到并將其帶入式(6.47)，則此種全維狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程可表為

(6.48)相應(yīng)地觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖可表為圖6-10所示。圖6-10全維狀態(tài)觀測(cè)器再設(shè)為真實(shí)狀態(tài)和估計(jì)狀態(tài)間的誤差，則可導(dǎo)出 (6.49)該式表明，不管初始誤差為多大，只要使矩陣的特征值(i=1，2，…，n)均具有負(fù)實(shí)部，那么一定可做到下式成立即實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的漸進(jìn)重構(gòu)。進(jìn)而，如果可通過(guò)選擇增益陣L而使(i=1，2，…，n)任意配置，則的衰減快慢是可被控制的。顯然，若均具有小于-的負(fù)實(shí)部，則可斷言的所有分量將以比要快的速度衰減至零，即可使重構(gòu)很快趨于真實(shí)狀態(tài) 。不難理解，在趨于的過(guò)渡過(guò)程中，使用或作為反饋，系統(tǒng)將有不同的瞬態(tài)響應(yīng)。通常系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的響應(yīng)速度要比狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)速度要快些。 可任意配置極點(diǎn)的條件 設(shè)由式(6.45)所給出的n維線性定常系統(tǒng)是能觀測(cè)的，即若{AC}為能觀測(cè)，則比可采用由(6.48)所表述的全維觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)其狀態(tài)，并且必可通過(guò)選擇增益陣L而任意配置(A-LC)的全部特征值。 證明：利用對(duì)偶原理，{AC}能觀測(cè)意味著能控。再利用極點(diǎn)配置問(wèn)題的基本理論可知，對(duì)任意給定的n個(gè)實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)特征值，必可找到一個(gè)實(shí)常陣K，使式成立。進(jìn)而由于與其轉(zhuǎn)置矩陣具有等同的特征值，故當(dāng)取時(shí)就能使式成立，也即可任意配置的全部特征值。于是，證明完畢。 由上述結(jié)論及其證明過(guò)程，我們可歸納出設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器的算法。 算法 給定被估計(jì)系統(tǒng)，設(shè)為能觀測(cè)，再對(duì)所要設(shè)計(jì)的全維觀測(cè)器指定一組期望的極點(diǎn)，則設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器的步驟為： 第一步：導(dǎo)出對(duì)偶系統(tǒng) ； 第二步：利用極點(diǎn)配置問(wèn)題的算法，由矩陣對(duì)來(lái)確定使的反饋增益陣K； 第三步：取 ；第四步：計(jì)算，則所要設(shè)計(jì)的全維狀態(tài)觀測(cè)器就為而即為的估計(jì)狀態(tài)。 值得說(shuō)明的是，當(dāng)不完全能觀測(cè)但不能觀測(cè)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則稱受控系統(tǒng)是可檢測(cè)的，這時(shí)觀測(cè)器可鎮(zhèn)定，觀測(cè)器仍存在，為不能觀測(cè)子系統(tǒng)的特征值不再能任意配置。 例6.5 試求下屬系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的兩個(gè)極點(diǎn)，使解 ①

系統(tǒng)能觀測(cè) ②確定K陣，使令得 ③取

④計(jì)算得到全維狀態(tài)觀測(cè)器為觀測(cè)器如圖6-11所示。圖6-11降維狀態(tài)觀測(cè)器 降維狀態(tài)觀測(cè)器 q維輸出系統(tǒng)有q個(gè)輸出變量總是可由傳感器測(cè)得的，該q個(gè)信息能作為測(cè)得的狀態(tài)，該部分狀態(tài)便便無(wú)需狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)，而可直接加以利用，帶有狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)數(shù)目可以降低，稱這類狀態(tài)觀測(cè)器為降維觀測(cè)器。降維觀測(cè)器的最小維數(shù)為(n-q)，這時(shí)只需用較少的積分器，簡(jiǎn)化了狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)。 由于輸出變量通常是狀態(tài)變量的線性組合，并不是用于狀態(tài)反饋所需要的狀態(tài)變量。為了使所測(cè)得的輸出變量能當(dāng)作狀態(tài)反饋所使用的狀態(tài)變量，需選擇一個(gè)特定的非奇異線性變換，將受控對(duì)象的狀態(tài)向量經(jīng)過(guò)該特定變換，使其中部分狀態(tài)正是受控系統(tǒng)的輸出向量，而其余(n-q)個(gè)狀態(tài)向量則由降維狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)。因此，降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)關(guān)鍵便是：選擇特定的非奇異線性變換，使原受控對(duì)象的狀態(tài)變量變成輸出向量及(n-q)維向量?jī)蓚€(gè)子向量，并獲得(n-q)維子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。根據(jù)(n-q)維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，便可構(gòu)造(n-q)維狀態(tài)觀測(cè)器，其基本的設(shè)計(jì)步驟便于全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)類同了。狀態(tài)反饋需用的狀態(tài)信息則由輸出量傳感器及降維狀態(tài)觀測(cè)器聯(lián)合提供

(n-q)維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立