多媒體技術之dct

離散余弦變換1．一維DCT變換2/3/20231二維DCT變換(1)二維DCT變換公式 一個N×N像塊f(x,y)(x,y=0,1,…,N-1)的二維DCT定義為2/3/202324.5DCT變換編碼DCT變換的矩陣2/3/202334.5DCT變換編碼88DCT變換的矩陣2/3/202344.5DCT變換編碼88DCT變換的矩陣的頻譜特性2/3/202354.5DCT變換編碼44DCT變換的矩陣2/3/202364.5DCT變換編碼44DCT變換的矩陣的頻譜特性2/3/202374.5DCT變換編碼44和88DCT變換的多通道形式參考文獻:ChenJiazhong,Gaoyi,SunWeiping.FlexiblePredictionBlockDecompositionwithMulti-ChannelFilterbanksforVideoCoding.IETJournalofImageProcessing.已錄用2/3/20238JPEG標準中88DCT變換的量化矩陣4.5DCT變換編碼2/3/20239JPEG標準中的變換和量化舉例4.5DCT變換編碼原始圖像信號2/3/202310JPEG標準中的變換和量化舉例4.5DCT變換編碼經過變換的圖像信號,也叫做變換系數2/3/202311JPEG標準中的變換和量化舉例4.5DCT變換編碼經過量化的變換系數2/3/202312JPEG標準中的變換和量化舉例4.5DCT變換編碼經過反量化的變換系數2/3/202313JPEG標準中的變換和量化舉例4.5DCT變換編碼經過反變換得到的圖像重建信號2/3/202314原始信號和重建信號的比較4.5DCT變換編碼2/3/202315DCT的MATLAB實現(xiàn)

第一種方法是使用函數dct2，該函數使用一個基于FFT的快速算法來提高當輸入較大的輸入方陣時的計算速度。dct2函數的調用格式如下：B=dct2(A,[MN])或

B=dct2(A,M,N)

其中，A表示要變換的圖像,M和N是可選參數，表示填充后的圖像矩陣大小。B表示變換后得到的圖像矩陣。

2/3/202316DCT的MATLAB實現(xiàn)第二種方法使用由函數dctmtx返回的DCT變換矩陣，這種方法較適合于較小的輸入方陣（如或方陣）。dctmtx的調用格式如下：D=dctmtx(N)其中，N表示DCT變換矩陣的維數，D為DCT變換矩陣。2/3/202317分塊DCT繼而利用blkproc函數完成分塊操作。blkproc函數的調用格式入下：

B=blkproc(A,[mn],fun,P1,P2,...)

其中A為原始信號矩陣，[mn]為分塊的大小，fun為對每一個分塊x的操作規(guī)則，Pi是fun中調用的參數。對圖像進行8×8DCT分塊操作，得到的8×8分塊DCT系數矩陣如下圖。

2/3/202318K-L變換對于一般的線性變換Y=TX，如果變換矩陣T是正交矩陣，并且它是由原始圖像數據矩陣X的斜方差矩陣S的特征向量所組成，則此式的變換稱為K-L變換。這與我們以前介紹各種變換是不同的，它們的變換核是固定不變的。如JPEG中我們用的DCT變換，它的變換核是88DCT變換的矩陣。協(xié)方差是反映的變量之間的二階統(tǒng)計特性，如果隨機向量的不同分量之間的相關性很小，則所得的協(xié)方差矩陣幾乎是一個對角矩陣。2/3/202319也就是說，我們應該設法將協(xié)方差矩陣的非對稱元素化為零元素，就是設法將協(xié)方差矩陣對角化。也就是將原始數據集合變換到主分量空間(Y)使單一數據樣本的互相關性降低到最低點。如何做？？？

2/3/202320線性代數證明，對于一個實對稱矩陣Σ（即ΣT=Σ）的矩陣，必存在一個正交矩陣Q，使得其中對角矩陣Λ中的λ1λ2…..λn是實對角矩陣Σ的N個特征根。這給我們一個重要啟示：2/3/202321通過正交變換能夠將協(xié)方差矩陣（實對稱矩陣）對角化，從而消除圖像的相關性?。?/p>

向量X通過正交變換后的向量Y的協(xié)方差矩陣為λ的對角矩陣，說明向量X的分量間的相關性已被消除，即正交變換能消除存在相關性的冗余度，這是采用正交變換消除圖像相關性的一個數學依據。通過正交矩陣T對向量X作正交變換Y=TX2/3/202322一維K-L變換2/3/202323K－L變換2/3/202324K－L變換2/3/202325K－L變換示例2/3/2023262/3/2023272/3/202328圖像的K-L變換我們知道真彩色圖像在matlab中是按三維矩陣來存儲的，所以對真彩色圖像的K-L變換我們要想辦法從三維矩陣變成二維矩陣來處理。2/3/202329其中，m和n分別為波段數（或稱變量數）和每幅圖像中的像元數；矩陣中每一行矢量表示一個波段的圖像。

2/3/202330K-L變換的具體過程

第一步，根據原始圖像數據矩陣X，求出它的協(xié)方差矩陣S，X的協(xié)方差矩陣為：

（即為第i個波段的均值）Mf=[X1,X2……,Xm]T2/3/202331

第二步，求S矩陣的特征值λ和特征向量，并且成變換矩陣T?？紤]特征方程：

式中，I為單位矩陣，U為特征向量。協(xié)方差矩陣為2/3/202332解上述的特征方程即可求出協(xié)方差矩陣S的各個特征值將其按

排列，求得各特征值對應的單位特征向量（經歸一化）Uj：2/3/202333若以各特征方量為列構成矩陣，即U矩陣滿足：UTU=UUT=I（單位矩陣），則U矩陣是正交矩陣。

U矩陣的轉置矩陣即為所求的K-L變換的變換矩陣A。

有了變換矩陣A，將其代入2/3/2023342/3/202335經過K-L變換后，得到一組（m個）新的變量（即Y的各個行向量），它們依次被稱為第一主成分、第二主成分、…第m主成分。這時若將Y矩陣的各行恢復為二維圖像時，即可以得到m個主成分圖像。K-L變換是一種線性變換，而且是當取Y的前p（p<m）個主成分經反變換而恢復的圖像和原圖像X在均方誤差最小意義上的最佳正交變換。2/3/202336K-L變換特點

（1）由于K-L變換是正交線性變換，所以變換前后的方差總和不變，變換只是把原來的方差不等量的再分配到新的主成分圖像中。

（2）第一主成分包含了總方差的絕大部分（一般在80%以上），其余各主成分的方差依次減小。

2/3/202337KL在matlab中的實現(xiàn)實例中要用到的函數reshape語法：

B=reshape(A,m,n)

按列優(yōu)先提取A中的m*n個元素，返回這m*n結構的B矩陣。

A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9,10,11,12]B=reshape(A,6,2)

2/3/202338mean函數mean函數是求均值，其調用格式為mean（x，dim）例：A=[123;336;468;477];mean(A)（默認dim=1）就會求每一列的均值ans=3.00004.50006.0000用mean(A,2)就會求每一行的均值ans=2.00004.00006.00006.00002/3/202339eig函數MATLAB中使用函數eig計算特征值和特征矢量，有兩種調用方法：e=eig(a),其中e是包含特征值的矢量；[v,d]=eig(a),其中v是一個與a相同的n×n階矩陣，它的每一列是矩陣a的一個特征值所對應的特征矢量，d為對角陣，其對角元素即為矩陣a的特征值。2/3/202340例：計算特征值和特征矢量。a=[34

25

15;18

35

9;41

21

9]e=eig(a)[v,d]=eig(a)e=

68.5066

15.5122

-6.0187v=

-0.6227

-0.4409

-0.3105

-0.4969

0.6786

-0.0717

-0.6044

-0.5875

0.9479d=

68.5066

0

0

0

15.5122

0

0

0

-6.01872/3/202341Matlab中給一維向量排序是使用sort函數：sort（A），排序是按升序進行的，其中A為待排序的向量；若欲保留排列前的索引，則可用[sA,index]=sort(A)，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中對A的索引。索引使排列逆運算成為可能。

2/3/202342MATLAB函數flipud（X）表示把1*N矩陣元素逆序排列。diag函數diag(D)%取D陣的對角元

2/3/202343K-L變換的最大優(yōu)點是去相關性好，可用于數據壓縮和圖像旋轉主要困難是由于協(xié)方差矩陣CX求特征值λ和特征向量解方程的計算量大，同時K-L變換是非分離的，二維不可分，一般情況下，K-L變換沒有快速算法K-L變換優(yōu)缺點2/3/202344奇異值分解設K為矩陣A的秩，則通過奇異值分解，矩陣A可以被分成三個矩陣：其中矩陣U是左奇異矩陣，V是右奇異矩陣，S是對角矩陣，其對角元素是矩陣A的奇異值，且滿足s1≥s2≥…sK>0。在實際中一般保留前R個奇異值，從而達到降維去噪音的目的。

2/3/202345奇異值分解在matlab中的實現(xiàn)格式s=svd(X)%返回矩陣X的奇異值向量

[U,S,V]=svd(X)%返回一個與X同大小的對角矩陣S，兩個正交矩陣U和V，且滿足=U*S*V‘。若A為m×n陣，則U為m×m陣，V為n×n陣。奇異值在S的對角線上，非負且按降序排列。

[U,S,V]=svd(X,0)%得到一個“有效大小”的分解，只計算出矩陣U的前n

列，矩陣S的大小為n×n。2/3/202346K-L變換的具體過程如下：

第一步，根據原始圖像數據矩陣X，求出它的協(xié)方差矩陣S，X的協(xié)方差矩陣為：

式中：（即為第i個波段的均值）2/3/202347S是一個實對稱矩陣。

第二步，求S矩陣的特征值λ和特征向量，并且成變換矩陣T。考慮特征方程：

式中，I為單位矩陣，U為特征向量。2/3/202348解上述的特征方程即可求出協(xié)方差矩陣S的各個特征值將其按排列，求得各特征值對應的單位特征向量（經歸一化）Uj：2/3/202349若以各特征方量為列構成矩陣，即U矩陣滿足：UTU=UUT=I（單位矩陣），則U矩陣是正交矩陣。

U矩陣的轉置矩陣即為所求的K-L變換的變換矩陣T。

有了變換矩陣T，將其代入Y=TX，則：2/3/202350式中Y矩陣的行向量為第j主成分。2/3/202351經過K-L變換后，得到一組（m個）新的變量（即Y的各個行向量），它們依次被稱為第一主成分、第二主成分、…第m主成分。這時若將Y矩陣的各行恢復為二維圖像時，即可以得到m個主成分圖像。K-L變換是一種線性變換，而且是當取Y的前p（p<m）個主成分經反變換而恢復的圖像和原圖像X在均方誤差最小意義上的最佳正交變換。2/3/202352它具有以下性質和特點：

（1）由于K-L變換是正交線性變換，所以變換前后的方差總和不變，變換只是把原來的方差不等量的再分配到新的主成分圖像中。

（2）第一主成分包含了總方差的絕大部分（一般在80%以上），其余各主成分的方差依次減小。

2/3/202353K-L（Karhunen-Loeve）變換K-L（Karhunen-Loeve）變換也叫做主成分分析或主分量分析，是在統(tǒng)計特征基礎上的多維（如多波段）正交線性變換，它也是遙感數字圖像處理中最常用也是最有用的一種變換算法。

由于遙感圖像的不同波段之間往往存在著很高的相關性，從直觀上看，就是不同波段的圖像很相