大學(xué)物理 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體的定軸轉(zhuǎn)動第五章轉(zhuǎn)軸5.1剛體的運(yùn)動的描述

5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算5.4轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用5.5角動量守恒5.6定軸轉(zhuǎn)動中的功和能5.1剛體的運(yùn)動的描述剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系。剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成,每一個質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個質(zhì)元,剛體這個質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是,在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。剛體（rigidbody）（或任意兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變）任何情況下形狀和體積都不改變的物體(理想化模型)。（只討論定軸轉(zhuǎn)動）各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動，其圓心都在一條固定不動的直線（轉(zhuǎn)軸）上。各質(zhì)元的線量一般不同（因為半徑不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。定軸轉(zhuǎn)動：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動。轉(zhuǎn)軸∴描述剛體整體的運(yùn)動用角量最方便。5.1.3

剛體的運(yùn)動及描述角位移:描寫剛體位置變化的物理量。參考方向剛體初始角坐標(biāo)末態(tài)角坐標(biāo)剛體的角位移角位移較大時是標(biāo)量；角位移很小時是矢量。明確：時是矢量。剛體運(yùn)動學(xué)中所用的角量關(guān)系如下：角量方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。角速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向只有兩個，在表示角速度時只用角速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角速度的方向。加速轉(zhuǎn)動方向一致減速轉(zhuǎn)動方向相反線速度與角速度的關(guān)系：角速度角加速度在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動（角加速度是常量）時，相應(yīng)公式:非勻變速轉(zhuǎn)動時：類似于勻變速直線運(yùn)動但是線量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量與線量的關(guān)系一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，其上各質(zhì)點(diǎn)的角量都相同；各點(diǎn)的線速度v與各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離r成正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)處，其切向加速度和法向加速度也越大。⑶

t=6·0s時轉(zhuǎn)過的角度為則t=6·0s時電動機(jī)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)⑵角加速度隨時間變化的規(guī)律為：例：某種電動機(jī)啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化的關(guān)系為：式中解：⑴根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時間的變化關(guān)系，將t=6·0s代入，即得：求：⑴t=6·0s時的轉(zhuǎn)速；

⑵角加速隨時間變化的規(guī)律；⑶啟動后6·0s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。5.2.1力對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面方向：右手螺旋法則任意方向的力對轉(zhuǎn)軸的力矩5.25.4剛體的轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用(1)力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)(2)力在轉(zhuǎn)動平面外取其在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力產(chǎn)生力矩。力矩F1rF2F3如果是定軸轉(zhuǎn)動:是各分力產(chǎn)生的力矩的代數(shù)和.（4）一對內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩r1F1F2r2由于成對內(nèi)力大小相等,方向相反則其力臂必相同.故力矩大小相等.d一對內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零.由于剛體中的內(nèi)力都是成對出現(xiàn)的.故整個剛體的合內(nèi)力矩為零.（3）幾個外力產(chǎn)生的合力矩rimi?Fifi

設(shè)剛體中質(zhì)元mi受外力Fi,內(nèi)力fi作用由牛頓定律在自然坐標(biāo)中,切向分量為:其中即變形有對所有質(zhì)元求和:這里定義叫轉(zhuǎn)動慣量則剛體轉(zhuǎn)動定律為上式表明:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比.剛體轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。

M＝J與地位相當(dāng)m反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力F是使物體平動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生加速度的原因。細(xì)桿受的阻力矩由細(xì)桿質(zhì)量有例：一勻質(zhì)細(xì)桿，長為l質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同。細(xì)桿的質(zhì)量密度質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元受阻力矩第一類問題：已知運(yùn)動情況和J，確定運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系----，從而求出M或F。m2m1aaMR如圖，一細(xì)而輕的繩索跨過一定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，且m1＞m2。設(shè)定滑輪是一質(zhì)量為M，半徑為R的圓盤。繩的質(zhì)量略去不計，且繩與滑輪無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。如果略去滑輪的運(yùn)動，將會得到什么結(jié)果？解：分別作出滑輪M、物體m1和m2的受力圖。m1gT1m2gT2T1T2應(yīng)用牛頓第二定律對M：（T1–T2）R=J⑶應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律對m1：m1g–T1=m1a⑴對m2：T2–m2g=m2a⑵NP故m1和m2兩物體運(yùn)動的加速度大小相等，但方向相反。由于繩索質(zhì)量不計，且長度不變，第二類問題：已知J和力矩M：求出運(yùn)動情況a和及F。且由角量與線量的關(guān)系，有：a=R⑷解聯(lián)立方程組⑴、⑵、⑶和⑷，可得：如果略去滑輪的運(yùn)動，即T1=T2=T、J=0，有：上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置。5.2.2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的角動量為：剛體上的一個質(zhì)元△mi

,繞固定軸做圓周運(yùn)動角動量為：所以整個剛體繞此軸的角動量為：Z5.2.3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理轉(zhuǎn)動定律沖量矩（角沖量）表示合外力矩在t0t時間內(nèi)的累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的增量。角動量定理單位：牛頓·米·秒J改變時質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量國際單位制中轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克·米2（kg·m2）5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀(質(zhì)量的分布)實質(zhì)上與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的只有前兩個因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個質(zhì)元的矢徑。單個質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量—質(zhì)元的質(zhì)量—質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解:I是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。ROdm注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動慣量與厚度l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。例3、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡?.3.2平行軸定理推廣：若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：J＝JC＋md2。這個結(jié)論稱為平行軸定理。證明：如右圖示，剛體的二軸分別為z和z’軸，由此可知：剛體對各平行軸的不同轉(zhuǎn)動慣量中，對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。lR圓柱體(沿幾何軸)R薄圓環(huán)(沿幾何軸)R球(沿直徑)R1R2圓筒l幾種剛體的轉(zhuǎn)動慣量1.轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量類似,它是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度;2.轉(zhuǎn)動慣量與剛體的幾何形狀(及體密度的分布)有關(guān).(幾何形狀簡單,則與質(zhì)量m有關(guān))，還與轉(zhuǎn)軸的位置及轉(zhuǎn)軸的取向有關(guān).3.轉(zhuǎn)動慣量具有相對性：同一剛體,轉(zhuǎn)軸不同,質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布不同,因而轉(zhuǎn)動慣量不同。4.轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性：如圖,如果三個剛體繞同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1,J2,J3,則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=J1+J2+J35.平行軸定理：剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘積。關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動慣量的說明:Z5.5、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律M=0的原因，可能F＝0；r=0;F∥r；在定軸轉(zhuǎn)動中還有M≠0，但力與軸平行，即Mz=0,對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時，物體的角動量保持不變?！莿恿渴睾愣山莿恿渴睾愕臈l件b.若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成,當(dāng)合外力矩為零時,系統(tǒng)的角動量依然守恒。J大→

小,J小→大。c.角動量守恒定律，不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域，而且通過相應(yīng)的擴(kuò)展和修正后也適用于微觀、高速（接近光速）的領(lǐng)域，是比牛頓力學(xué)理論更為普適的物理定律a.對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J保持不變，當(dāng)合外力矩為零時，其角速度恒定。

即剛體在受合外力矩為0時，原來靜止則永遠(yuǎn)保持靜止，原來轉(zhuǎn)動的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動下去。例如：花樣滑冰運(yùn)動員的“旋”動作，當(dāng)運(yùn)動員旋轉(zhuǎn)時伸臂時轉(zhuǎn)動慣量較大，轉(zhuǎn)速較慢；收臂時轉(zhuǎn)動慣量減小，轉(zhuǎn)速加快。再如：跳水例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質(zhì)量為M.解:

以f代表棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：v0vmM因，由兩式得請問:子彈和棒的總動量守恒嗎?不守恒—上端有水平阻力總角動量守恒嗎?解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度AACBACB例2工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA，B的轉(zhuǎn)動慣量為JB

。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為nA，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？力矩為零，后者對轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為5.5.1轉(zhuǎn)動動能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半。第i個質(zhì)元的動能整個剛體的動能—稱剛體的轉(zhuǎn)動動能定義：----對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量§5.5轉(zhuǎn)動中的功和能5.5.2、力矩的功ZMdfdFO

rdFd

dm

dFn轉(zhuǎn)動平面vvvvvvz式中對i求和，得：當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由θ1到θ2時,力矩的功為力矩對轉(zhuǎn)動物體作的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。當(dāng)力矩為常量時,功為對于同一轉(zhuǎn)軸,剛體中所有內(nèi)力矩功的總和為零。二、力矩的功率單位時間內(nèi)力矩所做的功。注意:1.當(dāng)額定功率一定時,力矩與轉(zhuǎn)速成反比;2.當(dāng)力矩與與角速度同向時,功和功率皆為正值;反之為負(fù)。5.5.3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理:即合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所作的功,等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。設(shè)剛體上某質(zhì)元初始時的角位置和角速度分別為θ1和ω1，末態(tài)的角位置和角速度分別為θ2和ω2,則在該過程中力矩的功為：對于系統(tǒng)的動能，除了考慮它的平動動能，還要考慮它的轉(zhuǎn)動動能。m5.5.4、剛體的重力勢能質(zhì)量為m的不太大的整個剛體的重力勢能ydmycC

一個不太大的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能。結(jié)論：六、剛體系統(tǒng)的功能原理A外力+A非保守內(nèi)力=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）

當(dāng)含剛體的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有保守力內(nèi)力做功時,在該過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒。XYOz解:在物體m下落過程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機(jī)械能守恒。選擇彈簧原長為彈性0勢點(diǎn)，物體下落h時為重力0勢點(diǎn)。例1：如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為k的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為R、轉(zhuǎn)動慣