初中幾何知識點總結(jié)非常全

1、本套教材選用如下命題作為公理：

證明〔一〕

沒有學不好的數(shù)學系列之二：初中幾何學問點詳解 證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱：等邊對等角〕等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合〔三線合一。、兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同位角相等，那么這兩條直線平行。、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。、兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。、兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。、全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看做公理。2、平行線的判定定理公理兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同位角相等，那么這兩條直線平行。簡潔說成：同位角相等，兩直線平行。定理兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。簡潔說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。定理兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。簡潔說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。3、平行線的性質(zhì)定理公理兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡潔說成：兩直線平行，同位角相等。定理兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡潔說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。定理兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡潔說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。假設(shè)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行。4、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180 。5、三角形內(nèi)角和定理的推論三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。證明〔二〕〔〕三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔SS。兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔SA。兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔ASA。全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等?！睞AS二、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角〔或直角，但頂角可為鈍角〔或直角。b③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b2<a④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則180A∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 22、等腰三角形的判定方法(1)假設(shè)一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等〔簡稱：等角對等邊。(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三、等邊三角形1〕等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于6°?！?〕三線合一1〕三條邊都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。四、直角三角形〔一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個銳角互余2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、在直角三角形中，假設(shè)一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°4、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半5、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，bca2b2c2其它性質(zhì)：1、直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相像。2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積〔等面積法〕〔二、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、假設(shè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理假設(shè)三角形的三邊長a，b，ca2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。1〔三〕直角三角形全等的判定：

沒有學不好的數(shù)學系列之二：初中幾何學問點詳解 證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓〔2〕推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。對于特別的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理〔斜邊、直角邊定理和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等〔H〕五、角的平分線及其性質(zhì)與判定1、角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。2、角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理：三角形的三條角平分線相交于一點〔三角形的內(nèi)心相等。3、角的平分線的判定定理：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1線。線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點〔三角形的外心的距離相等。線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。七、反證法八、互逆命題、互逆定理1、在兩個命題中，假設(shè)一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。2、假設(shè)一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。證明〔三〕一、平行四邊形1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對邊平行且相等。平行四邊形相鄰的角互補，對角相等平行四邊形的對角線相互平分。平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點?！?〕段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

3、平行四邊形的判定定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形定理3：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、平行四邊形的面積S =底邊長×高=ah平行四邊形二、矩形1、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)矩形的對邊平行且相等矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等且相互平分矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點〔對稱中心到矩形四個頂點的距離相等；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的判定定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S =長×寬=ab矩形三、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)菱形的四條邊相等，對邊平行菱形的相鄰的角互補，對角相等菱形的對角線相互垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點〔對稱中心到菱形四條邊的距離相等；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形定理1：四邊都相等的四邊形是菱形定理2：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積2S =底邊長×高=兩條對角線乘積的一半菱形

沒有學不好的數(shù)學系列之二：初中幾何學問點詳解 證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線相互平分。四、正方形 〔3~10分〕1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)正方形四條邊都相等，對邊平行正方形的四個角都是直角正方形的兩條對角線相等，并且相互垂直平分，每一條對角線平分一組對角正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設(shè)正方形邊長為a，對角線長為bb22S =a22正方形

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。七、有關(guān)四邊形四邊中點問題的學問點：順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；順次連接對角線相互垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；順次連接對角線相互垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；考點一、直角三角形的性質(zhì) 〔3~5分〕1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半?！螦=30°可表示如下： BC=1AB2五、等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

∠C=90°3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°2、等腰梯形的性質(zhì)等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。等腰梯形的對角線相等。等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。

可表示如下： CD=12DAB4、勾股定理

AB=BD=AD3、等腰梯形的判定定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形對角線相等的梯形是等腰梯形〔選擇題和填空題可直接用〕六、三角形中的中位線1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。3、常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

直角三角形兩直角邊a，bca2b2c25、攝影定理項∠ACB=90° CD2ADBD AC2ADABCD⊥AB BC2BDAB6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC3考點二、直角三角形的判定 〔3~5分〕1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

沒有學不好的數(shù)學系列之二：初中幾何學問點詳解 證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓〔3〕倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=12、假設(shè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理假設(shè)三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形?？键c三、銳角三角函數(shù)的概念 〔3~8分〕1、如圖，在△ABCC=90°AAsinA，即A的對邊 a

弦切關(guān)系sinAtanA=cosA5、銳角三角函數(shù)的增減性0°~90°之間變化時，正弦值隨著角度的增大〔或減小〕而增大〔或減小〕余弦值隨著角度的增大〔或減小〕而減小〔或增大〕正切值隨著角度的增大〔或減小〕而增大〔或減小〕sinA

斜邊 c

考點四、解直角三角形 〔3~5〕1、解直角三角形的概念A(yù)AcosA，即A的鄰邊 b

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的元素求出全部未知元素的過程叫做解直角三角形。cosA

斜邊 c

2、解直角三角形的理論依據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c③銳角AA的正切，記為tanA，即tanA

Aa

a2b2c2〔勾股定理〕2、銳角三角函數(shù)的概念

A的鄰邊 b

銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°邊角之間的關(guān)系：AA

asinA

b

a

b

a b,tanB3、一些特別角的三角函數(shù)值

c c b c c a三角函數(shù)

30° 45° 60°

<圓>學問點總結(jié)1 2 3sinα 2 2 23 2 1cosα2 2 23tanα 1 334、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)平方關(guān)系sin2Acos2A1

圓與三角形、四邊形一樣都是爭論相關(guān)圖形中的線、角、周長、面積等學問。包括性質(zhì)定理與判定定理及公式。集合：圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡：1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；4線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線4點與圓的位置關(guān)系:點在圓內(nèi) d<r 點C在圓內(nèi)點在圓上 d=r 點B在圓上點在此圓外 d>r 點A在圓外直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓相離 d>r 無交點直線與圓相切 d=r 有一個交點直線與圓相交 d<r 有兩個交點

沒有學不好的數(shù)學系列之二：初中幾何學問點詳解 證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓OABdrOBdC2OABdrOBdCC DA圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對E 的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等13定理，即上述四個結(jié)論中，只F13個Od=rD 結(jié)論也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DEd=rrdrdBA rdrdA C ③OC=OF ④B C圓與圓的位置關(guān)系:

圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半 B OdrR即：∵∠AOB和∠ACBdrR∴∠AOB=2∠ACB A圓周角定理的推論： D C推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧外離〔1〕無交點d>R+r外切〔2〕有一個交點d=R+r相交〔外離〔1〕無交點d>R+r外切〔2〕有一個交點d=R+r相交〔3〕有兩個交點R-r<d<R+r內(nèi)切〔4〕有一個交點d=R-r內(nèi)含〔5〕無交點d<R-r圖4rRd∴∠C=∠D AdRrdRrdRrdRr

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弧是 CdRr圖3圖dRr圖3即：在⊙O中，∵AB是直徑 或∵∠C=90°B A∴∠C=90° ∴AB是直徑 O推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個 C三角形是直角三角形OECDA 即：在△ABCOECD垂徑定理:垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧推論〔〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。幌业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 B4個定理，簡稱23定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可

B A∴△ABC是直角三角形或∠C=90° OCOB注此推論實是初二年級幾何中矩形的推論在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。弦切角定理COB切角也相等。3個結(jié)論，即：①AB是直徑 ②AB⊥CD ③CE=DE ④

BCBD

⑤ACAD

即：∵MN是切線，AB是弦∴∠BAM=∠BCA

N A M5沒有學不好的數(shù)學系列之二：初中幾何學問點詳解 證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°

D 〔4〕割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的C積相等〔如上圖〕即：在⊙O中，∵PB、PE是割線 A∴PC PB PD PE EDO∠DAE=∠C B切線的性質(zhì)定理與判定定理即：∵MN⊥OA且MN過半徑OA外端 O∴MN是⊙O的切線〔如上圖〕推論1：過圓心垂直于