非參數(shù)假設(shè)檢驗

二、似然比檢驗樣本容量n的確定

原假設(shè)和備擇假設(shè)都是簡單假設(shè)(即參數(shù)只取參數(shù)空間的一個點)時,尋找最小的樣本容量,使得兩類錯誤的概率控制在預(yù)制范圍內(nèi).

1.總體方差已知時,正態(tài)總體均值的右邊檢驗2.總體方差未知時,正態(tài)總體均值的右邊檢驗3.總體期望未知時,正態(tài)總體方差的右邊檢驗非正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗設(shè)總體X服從參數(shù)為p的(0—1)分布,即

設(shè)為X

的樣本,

檢驗假設(shè)1．(0—1)分布參數(shù)的假設(shè)檢驗由于因此由中心極限定理可知,當(dāng)成立且樣本容量n充分大時，統(tǒng)計量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).=>該假設(shè)檢驗問題的拒絕域為近似地例1

某種產(chǎn)品在通常情況下次品率為5%.現(xiàn)在從生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品中隨機地抽取50件進(jìn)行檢驗,發(fā)現(xiàn)有4件次品.問能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的次品率為5%?(α=0.05)解設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為p.在這批產(chǎn)品中任任意取一件產(chǎn)品，定義隨機變量X如下

檢驗假設(shè)該假設(shè)檢驗問題的拒絕域為現(xiàn)在統(tǒng)計量U的值為=>接受假設(shè)=>可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的次品率為5%2.總體均值的假設(shè)檢驗假設(shè)總體X的均值為μ,方差為為X的樣本,檢驗假設(shè)由中心極限定理知，當(dāng)樣本容量n充分大時，近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)由于樣本方差為的無偏估計量，=>可以用近似代替，并且當(dāng)為真且樣本容量n充分大時，統(tǒng)計量仍近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)=>該假設(shè)檢驗問題的拒絕域為例2

某電器元件的平均電阻一直保持在2.64Ω.

改變加工工藝后,測得100個元件的電阻,計算得平均電阻為2.58Ω,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.04Ω.在顯著性水平α=0.05下,判斷新工藝對此元件的平均電阻有無顯著影響.解設(shè)該電器元件的電阻為X,其均值為μ

檢驗假設(shè)拒絕域為現(xiàn)在統(tǒng)計量U的值為

=>拒絕假設(shè)接受假設(shè)=>新工藝對電子元件的平均電阻有顯著影響.3.兩個總體均值的假設(shè)檢驗設(shè)總體和相互獨立，的樣本,是是Y的樣本.記設(shè)總體X的均值為

，方差為總體Y的均值為，方差為的拒絕域.由中心極限定理知，當(dāng)樣本容量和都充分大時，近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．由于樣本方差和分別為和的無偏估計量，因此可以分別用和近似代替和，并且當(dāng)求假設(shè)檢驗問題和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而當(dāng)原假設(shè)成立時，統(tǒng)計量仍近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.都充分大時，=>當(dāng)成立且都充分大時，統(tǒng)計量U的值應(yīng)該在零附近擺動，當(dāng)過大時就認(rèn)為不成立.=>該假設(shè)檢驗問題的拒絕域為例3

兩臺機床加工同一中軸承，現(xiàn)在從他們加工的軸承中分別隨機地抽取200根和100根，測量其橢圓度（單位：mm），經(jīng)計算得能否認(rèn)為這兩臺機床加工的軸承的平均橢圓度是相同的(α=0.05)解設(shè)這兩臺機床加工的軸承的橢圓度分別為X,Y

且檢驗假設(shè)由于題目給出的兩個樣本都是大樣本，因此該假設(shè)檢驗問題的拒絕域為現(xiàn)在=>拒絕原假設(shè)即認(rèn)為這兩臺機床加工的軸承的平均橢圓度是不相同的.§2分布擬合檢驗設(shè)總體X的實際分布函數(shù)為F(x),它是未知的.

為來自總體X的樣本.根據(jù)這個樣本來檢驗總體X的分布函數(shù)F(x)

是否等于某個給定的分布函數(shù)F0(x),即檢驗假設(shè):注意:

若總體X為離散型的,則相當(dāng)于總體X的分布律為若總體X為連續(xù)型的,則相當(dāng)于總體X的

概率密度為f(x).（1）若中的分布函數(shù)不含未知參數(shù).記為的所有可能取值的全體，將分為k個兩兩互不相交的子集以表示樣本觀察值中落入的個數(shù),=>在n次試驗中,事件Ai發(fā)生的頻率為fi/n另一方面,當(dāng)H0為真時,

可以根據(jù)H0所假設(shè)的X的分布函數(shù)來計算選取統(tǒng)計量來度量樣本與H0中所假設(shè)的分布的吻合程度，hi是給定的常數(shù)。

一般選取則上述統(tǒng)計量變成定理1（皮爾遜）當(dāng)H0為真且n充分大時,統(tǒng)計量

近似服從分布.由定理1,若給定顯著性水平α,則前述假設(shè)檢驗問題的拒絕域為（2）若H0中X的的分布函數(shù)含有未知參數(shù).此時,首先在假設(shè)下利用樣本求出未知參數(shù)的最大似然估計,以估計值作為參數(shù)值,然后再根據(jù)H0中所假設(shè)的X的分布函數(shù)F(x)求出

pi的估計值并在中以代替,得到統(tǒng)計量為真且充分大時,統(tǒng)計量定理2

（皮爾遜）當(dāng)

近似服從分布,其中r是X的分布函數(shù)F(x)包含的未知參數(shù)的個數(shù).若給定顯著性水平α,則前述假設(shè)檢驗問題的拒絕域為注意：運用檢驗法檢驗總體分布,把樣本數(shù)據(jù)進(jìn)（1）大樣本,通常?。?）要求各組的理論頻數(shù)或（3）一般數(shù)據(jù)分成7到14組.有時為了保證各組行分類時,組數(shù)可以少于7組例1

孟德爾在著名的豌豆雜交實驗中,用結(jié)黃色圓形種子與結(jié)綠色皺形種子的純種豌豆作為親本進(jìn)行雜交,將子一代進(jìn)行自交得到子二代共556株豌豆,發(fā)現(xiàn)其中有四種類型植株（黃圓）（黃皺）（綠圓）（綠皺）

總計315株101株108株32株556株試問這些植株是否符合孟德爾所提出的的理論比例解

檢驗假設(shè)

這些植株符合的理論比例.這些植株不符合的理論比例.由由的理論比例可知由n=556,得而計算得由α=0.05,自由度查分布表得=>在α=0.05下接受=>這些植株是符合孟德爾所提出的的理論比例例2

某農(nóng)科站為了考察某種大麥穗長的分布情況,在一塊實驗地里隨機抽取了100個麥穗測量其長度,

得到數(shù)據(jù)如下（單位:cm)6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.65.85.56.06.55.16.55.35.95.55.86.25.45.05.06.86.05.05.76.05.56.86.06.35.55.06.35.26.07.06.46.45.85.95.76.86.66.06.45.77.46.05.46.56.06.85.86.36.06.35.65.36.45.76.76.25.66.06.76.76.05.56.26.15.36.26.86.64.75.75.75.85.37.06.06.05.95.46.05.26.05.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3試檢驗大麥穗長是否服從正態(tài)分布?(α=0.05)解檢驗假設(shè)X的概率密度為是未知的,所以應(yīng)首先估計的最大似然估計為把X可能取值的全體劃分為k=12個互不重疊的小區(qū)間:=>大麥穗長的頻數(shù)、頻率分布表3.95~4.254.25~4.554.55~4.854.85~5.155.15~5.455.45~5.755.75~6.056.05~6.356.35~6.656.65~6.956.95~7.257.25~7.55合計頻率頻數(shù)累計頻率0.09

11152813110.110.150.280.130.110.200.350.630.760.871.00

1001.00由由此可計算

若則的值見下表的計算表

組號分組

頻數(shù)

13.95~5.1590.099769.9760.0954925.15~5.45110.117411.740.0466435.45~5.75150.17217.20.281445.75~6.05280.193519.353.866856.05~6.35130.177917.791.2897266.35~6.65110.125812.580.1984476.65~7.55130.1096310.9630.37849合計1000.9959999.5996.15698由

k=7,r=2,得自由度

k-r-1=4,查表得而=>接受原假設(shè),即在檢驗水平α=0.05下，下可認(rèn)為大麥的穗長服從正態(tài)分布經(jīng)驗分布的基本理論經(jīng)驗分布函數(shù)的性質(zhì)K-檢驗法設(shè)總體分布為F(x),對一個給定的的分布F0(x),考慮如下假設(shè)

H0:F(x)=F0(x),由格列汶科定理若Fn(x)為經(jīng)驗分布函數(shù),則有因此,當(dāng)H0為真時,Fn(x)和F0(x)的偏