高中數(shù)學北師大版1第四章導數(shù)應用第4章

第四章§1一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下面對于函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)的判斷正確的是()A．極大值為5，極小值為－27B．極大值為5，極小值為－11C．極大值為5，無極小值D．極小值為－27，無極大值解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)，令y′＝0，可得x＝3或x＝－1.當－2<x<－1時，y′>0；當－1<x<2時，y′<0，故當x＝－1時y取得極大值．答案：C2．若函數(shù)f(x)＝x·2x在x0處有極小值，則x0等于()\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)C．－ln2 D．ln2解析：∵y＝x·2x，∴y′＝2x＋x·2x·ln2＝2x·(1＋x·ln2)．令y′＝0可得：x＝－eq\f(1,ln2).當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,ln2)))時，y′<0，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,ln2)，＋∞))時，y′>0.∴x＝－eq\f(1,ln2)為極小值點．故選B.答案：B3．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸切于點(1,0)，則f(x)的極值為()A．極大值為eq\f(4,27)，極小值為0B．極大值為0，極小值為eq\f(4,27)C．極小值為－eq\f(4,27)，極大值為0D．極大值為－eq\f(4,27)，極小值為0解析：f′(x)＝3x2－2px－q，根據(jù)題意，x＝1是函數(shù)的一個極值點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))所以f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＝0，得x＝1或x＝eq\f(1,3).易判斷x＝eq\f(1,3)時，f(x)有極大值為eq\f(4,27)，當x＝1時，f(x)有極小值為0，故選A.答案：A4．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：函數(shù)在極小值點附近的圖像應有先減后增的特點，因此應該從左到右找在導函數(shù)的圖像上從x軸下方變?yōu)閤軸上方的點，這樣的點只有1個，所以函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內只有1個極小值點，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．設a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的極值點，則a的取值范圍為________．解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由題意知ln(－a)＞0，∴a＜－1.答案：(－∞，－1)6．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是________．①當x＝eq\f(3,2)時函數(shù)取得極小值；②函數(shù)有兩個極值點；③當x＝2時函數(shù)取得極小值；④當x＝1時函數(shù)取得極大值．解析：從圖像上可以看到：當x∈(－∞，1)時，f′(x)＞0；當x∈(1,2)時，f′(x)＜0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)有兩個極值點1和2，當x＝2時，函數(shù)取得極小值．當x＝1時，函數(shù)取得極大值．所以只有①不正確．答案：①三、解答題(每小題10分，共20分)7．求函數(shù)f(x)＝x2e－x的極值．解析：函數(shù)的定義域為R，f′(x)＝2xe－x＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，當x＝0時，函數(shù)有極小值，且f(0)＝0.當x＝2時，函數(shù)有極大值，且f(2)＝4e－2.8．已知函數(shù)y＝ax3＋bx2，當x＝1時函數(shù)有極大值3.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)y的極小值．解析：(1)y′＝3ax2＋2bx，當x＝1時，y′＝3a＋2b＝0，又y＝a＋b即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝0，,a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9.))(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴當x＝0時，函數(shù)y取得極小值0.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)求a為何值時，使方程x3－3x2－a＝0恰有一個實根，兩個不等實根，三個不等實根，無實根．解析：令f(x)＝x3－3x2，則f(x)的定義域為R.由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.∴當x＜0或x＞2時，f′(x)＞0；當0＜x＜2時，f′(x)＜0.函數(shù)f(x)在x＝0處有極大值0，在x＝2處有極小值－4.如圖所示．方程x3－3x2－a＝0的根即