高中數(shù)學北師大版第二章平面向量2從位移的合成到向量的加法

課時提升作業(yè)向量的加法一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2023·長春高一檢測)向量(AB→+MB→)+(BO→+BC→)+OMA.BC→B.AB→C.AC→【解析】選C.原式=AB→+BO→+OM→+MB→+2.如圖所示,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,則OA→+BC→+AB→=A.CD→ B.OC→ C.DA→ 【解題指南】根據圖形,由向量加法的三角形法則依次求和,即可得到和向量的表達式,從圖形中找出相對應的有向線段即可.【解析】選B.由題圖可得,OA→+BC→+AB→=OB→+BC→3.(2023·合肥高一檢測)P為四邊形ABCD所在平面上一點,PA→+PB→+PC→+PD→=AB→+CD→,A.四邊形ABCD對角線交點 中點中點 邊上一點【解題指南】利用向量的三角形法則可得:AB→=AP→+PB→,CD→=CP→+PD→.由于PA→+PB→+可得PA→+PC→=AP→+CP→,即PA→+PC【解析】選B.因為AB→=AP→+PB→,CD→=又PA→+PB→+PC→+PD→=所以PA→+PC→=AP→所以PA→+PC→=所以點P為線段AC的中點.故選B.4.在平行四邊形ABCD中,CA→+AB→+BD→等于A.AB→ B.BC→ C.CD→ 【解析】選C.CA→+AB→+BD→=CB→+BD→5.(2023·青島高一檢測)如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則OP→+OQ→=(A.OH→ B.OG→ C.EO→ 【解析】選D.設圖中H左側的點為I,連接OPIQ,易知四邊形OPIQ為平行四邊形,故OP→+OQ→=OI→,又OI→=【誤區(qū)警示】本題容易出現(xiàn)誤選A的錯誤,原因是誤認為OPHQ為平行四邊形,因此觀察圖形時應仔細.6.若|a|=3,|b|=4,且a,b方向相反,則|a+b|=() 【解析】選D.由題意可知|a+b|=|b|-|a|=1.二、填空題(每小題4分,共12分)7.在矩形ABCD中,AB→+BC→=,AB→+BA→=,AB→【解析】由向量加法的三角形法則可知,AB→+BC→=AC→,AB→+由向量加法的平行四邊形法則可知,AB→+AD→=答案:AC→08.若a表示“向東走8km”,b表示“向北走8km”,則|a+b|=,a+b的方向是.【解析】在平面內任意取一點O(如圖),作OA→=a,AB→=b,則OB→=a+b,|OA→|=|AB→|=8,所以82+8向量OB→的方向是東北方向答案:82km東北方向9.根據圖示填空:(1)c+d=.(2)f+e=.(3)a+b+d=.(4)c+d+e=.【解析】(1)c+d=AC→+CD→=(2)f+e=AD→+DE→=(3)a+b+d=(AB→+BC→)+CD→=AC→+(4)c+d+e=(AC→+CD→)+DE→=AD→+答案:(1)f(2)g(3)f(4)g三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2023·沈陽高一檢測)如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:(1)DG→+EA→+(2)EG→+CG→+DA→【解析】(1)DG→+EA→+CB→=GC→+BE→+CB→=GC→+CB→+(2)EG→+CG→+DA→+EB→=EG→+GD→+DA→+AE→=ED→11.在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸,求船行進的方向.【解析】作出圖形如圖:船速v船與岸的方向成α角,由圖可知v水+v船=v實際,結合已知條件,可知四邊形ABCD為平行四邊形.在Rt△ACD中,|CD→|=|AB→|=|v|AD→|=|v船所以cosα=|CD→||AD所以α=60°,即船行進的方向與水流方向成120°角.【變式訓練】一條小船要渡過一條兩岸平行的小河,河的寬度d=100m,船的靜水航行速度為4m/s,水流的速度為2m/s,試問當船頭與水流方向的夾角為多大時,小船行駛到對岸所用的時間最少?此時小船的實際航行速度與水流速度的夾角的正切值是多大?【解析】設小船行駛到對岸所用的時間為ts,如圖(1),設AB→表示水流的速度,AD→表示船的航行速度,以AD,AB為鄰邊作?ABCD,則AC→就是船實際航行的速度.設∠BAC=α,∠BAD=θ,則AC→相對于垂直對岸的速度為v=AD→sinθ,小船行駛到對岸所用的時間為t=QUOTEd|v|=d|AD→|sinθ=故當sinθ=1,即θ=90°時,小船行駛到對岸所用的時間最少,為25s.當θ=90°,如圖(2),在Rt△ABC中,|AB→|=2,|BC→|=|AD→|=4,所以答:當船頭與水流方向的夾角為90°時,小船行駛到對岸所用的時間最少,為25s,此時小船的實際航行速度與水流速度的夾角的正切值是2.一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2023·濟寧高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運算的結果與向量AC1→共線的有①(AB→+BC→)+②(AA1→+A③(AB→+BB1④(AA1→+A個 個 個 個【解題指南】由向量的運算可得4個結果均為向量AC1→【解析】選D.由向量的運算可得①(AB→+BC→)+CC1→=AC→+CC②(AA1→+A1D1→)+D1C1→③(AB→+BB1→)+B1C1→=AB④(AA1→+A1B1→)+B1C1→=A2.河水的流速為5m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向對岸,則小船的靜水速度大小為()s s s s【解析】選A.設河水的流速|v2|=5m/s,靜水速度與河水速度的合速度|v|=12m/s,小船的靜水速度為|v1|,因為為了使航向垂直河岸,船頭必須斜向上游方向,即:靜水速度v1斜向上游方向,河水速度|v2|=5m/s平行于河岸,靜水速度與河水速度的合速度|v|=12m/s指向對岸,所以靜水速度|v1|=QUOTEv2+v22=13.在平行四邊形ABCD中,若|BC→+BA→|=|BC→+AB→|,A.平行四邊形ABCD為菱形B.平行四邊形ABCD為矩形C.平行四邊形ABCD為正方形D.以上都不正確【解析】選B.因為BC→+BA→=BD→,BC所以BC→+AB→=AD→+AB由|BC→+BA→|=|BC→+AB→|可知|所以四邊形ABCD是矩形.4.設a=(AB→+CD→)+(BC→+DA→),b是任一非零向量,則在下列結論中,①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|;⑥|a+b|>|a|+|b|.A.①②⑥ B.①③⑥C.①③⑤ D.③④⑤⑥【解析】選C.因為a=(AB→+CD→)+(BC→+DA→)=AB→+BC→+CD→+DA→=二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2023·青州高一檢測)已知O是平行四邊形ABCD的對角線的交點,則下列說法正確的是(填序號)(1)AB→+CB→(2)BA→+DA→(3)AD→+CD→(4)AO→+CO→+OB→+【解析】根據題意可得:(1)AB→+CB→=DC→+CB→=DB→≠AC(2)BA→+DA→=CD→+DA→=CA→≠AC(3)AD→+CD→=AD→+BA→=BD→(4)AO→+CO→+OB→+OD→=0+0=0,答案:(3)6.當非零向量a,b(a,b不共線)滿足時,能使a+b平分a與b的夾角.【解析】菱形的對角線平分對角,由平行四邊形法則可得,當|a|=|b|時,a+b平分a與b的夾角.答案:|a|=|b|三、解答題(每小題12分,共24分)7.(2023·合肥高一檢測)如圖,點D,E,F分別是△ABC三邊AB,BC,CA的中點,求證:(1)AB→+BE→=AC→(2)EA→+FB→+DC→【證明】(1)因為AB→+BE→=AC→+CE→=AE→,所以AB→+BE→(2)由向量加法的平行四邊形法則可得:EA→+FB→+DC→=(EF→+ED→)+(FD→+FE→)+(DF→+DE→)=(EF→+FE→【拓展延伸】用向量證明幾何問題的一般步驟(1)要把幾何問題中的邊轉化成相應的向量.(2)通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關系.(3)還原成幾何問題.【變式訓練】設E是平行四邊形ABCD外一點,如圖所示,化簡下列各式:(1)DE→+EA(2)BE→+AB→+(3)DE→+CB→+(4)BA→+DB→+EC→【解析】(1)DE→+EA→=(2)BE→+AB→+EA→=EA→+AB→(3)DE→+CB→+EC→=DE→=DC→+CB→=(4)BA→+DB→+EC=DB→+BA→+AE→+EC8.重為|G|的物體系在OA,OB兩根等長的輕繩上,輕繩掛在半圓形支架上.如圖所示,若A端位置固定不變,將OB繩的B端沿半圓支架從水平位置逐漸移至豎直的位置C的過程中.OA繩和OB繩的拉力如何變化?【解題指南】OB繩的B端沿半圓支架從水平位置逐漸移至豎直的位置C的過程中,物體始終處于平衡狀態(tài),找出不變的物理量,畫出平行四邊形進行分析.【解析】對結點O受力分析如圖:結點O始終處于平衡狀態(tài),所以OB繩和OA繩上的拉力的合力大小保持不變,方向始終是豎直向上的.所以OA繩和OB繩的拉力變化為:OA繩受力大小變化情況:變小;OB繩受力大小變化情況是:先變小后變大.【變式訓練】如圖,在重300N的物體上拴兩根繩子,這兩根繩子在鉛垂線的兩側,與鉛垂線的夾角分別為30°,60°,當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,求兩