高中數(shù)學(xué)人教A版4本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)6

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(六)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝|sinθ|,y＝cosθ))(θ為參數(shù))的方程等價(jià)于()A．x＝eq\r(1－y2) B．y＝eq\r(1－x2)C．y＝±eq\r(1－x2) D．x2＋y2＝1【解析】由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故選A.【答案】A2．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t2＋2，,y＝t2－1))(0≤t≤5)表示的曲線是()A．線段 B．雙曲線的一支C．圓弧 D．射線【解析】消去t，得x－3y－5＝0.∵0≤t≤5，∴－1≤y≤24.【答案】A3．直線y＝2x＋1的參數(shù)方程是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2,y＝2t2＋1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－1,y＝4t＋1))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－1,y＝2t－1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ,y＝2sinθ＋1))【解析】由y＝2x＋1知x，y可取全體實(shí)數(shù)，故排除A、D，在B、C中消去參數(shù)t，知C正確．【答案】C4．若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋eq\r(3)y的最大值為()A．1B．2C．3D．4【解析】由于圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，則x＋eq\r(3)y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，故x＋eq\r(3)y的最大值為2.故選B.【答案】B5．能化為普通方程x2＋y－1＝0的參數(shù)方程為()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝cos2t)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tanφ,y＝1－tan2φ))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t),y＝t)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sin2θ))【解析】對(duì)A，可化為x2＋y＝1(y∈[0,1])；對(duì)B，可化為x2＋y－1＝0；對(duì)C，可化為x2＋y－1＝0(x≥0)；對(duì)D，可化為y2＝4x2－4x4(x∈[－1,1])．【答案】B二、填空題6．已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(5)cosα，,y＝2＋\r(5)sinα))(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91060020】【解析】曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(5)cosα,y＝2＋\r(5)sinα))(α為參數(shù))，它表示以點(diǎn)(1,2)為圓心，以eq\r(5)為半徑的圓，則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，化為一般方程即x2＋y2－2x－4y＝0，化為極坐標(biāo)方程得ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＝0，即ρ2＝2ρcosθ＋4ρsinθ，兩邊約去ρ得ρ＝2cosθ＋4sinθ.【答案】ρ＝2cosθ＋4sinθ7．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4的直線與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.【解析】由ρcosθ＝4，知x＝4.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))∴x3＝y(tǒng)2(x≥0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x3＝y(tǒng)2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8，))∴|AB|＝eq\r(4－42＋8＋82)＝16.【答案】168．點(diǎn)(x，y)是曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)上任意一點(diǎn)，則eq\f(y,x)的取值范圍是________．【解析】曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))是以(－2,0)為圓心，1為半徑的圓，即(x＋2)2＋y2＝1.設(shè)eq\f(y,x)＝k，∴y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，k取得最小值與最大值，∴eq\f(|－2k|,\r(k2＋1))＝1，k2＝eq\f(1,3)，∴eq\f(y,x)的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))三、解答題9．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，))(t為參數(shù)，t>0)，求曲線C的普通方程．【解】由x＝eq\r(t)－eq\f(1,\r(t))兩邊平方得x2＝t＋eq\f(1,t)－2，又y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，則t＋eq\f(1,t)＝eq\f(y,3)(y≥6)．代入x2＝t＋eq\f(1,t)－2，得x2＝eq\f(y,3)－2，∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6)．10．已知P(x，y)是圓x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求2x＋y的取值范圍；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【解】方程x2＋y2－2y＝0變形為x2＋(y－1)2＝1，其參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù))．(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝eq\r(5)sin(θ＋φ)＋1其中φ由tanφ＝2確定，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5).(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)對(duì)一切θ∈R恒成立．∵－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是eq\r(2)－1，∴當(dāng)且僅當(dāng)c≥eq\r(2)－1時(shí)，x＋y＋c≥0恒成立．[能力提升]1．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ為參數(shù))，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝0，則圓C截直線所得弦長(zhǎng)為()\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)【解析】圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ,y＝1＋3sinθ))的圓心為(eq\r(3)，1)，半徑為3，直線普通方程為ρcosθcoseq\f(π,6)－sinθsineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)y＝0，即eq\r(3)x－y＝0，圓心C(eq\r(3)，1)到直線eq\r(3)x－y＝0的距離為d＝eq\f(|\r(3)2－1|,\r(3＋1))＝1，所以圓C截直線所得弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).【答案】D2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為________．【解析】ρ＝2cosθ化為普通方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，則其參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋1，,y＝sinα))(α為參數(shù))．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋1，,y＝sinα))(α為參數(shù))3．若點(diǎn)(x，y)在圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2cosθ，,y＝－4＋2sinθ))(θ為參數(shù))上，則x2＋y2的最小值是________．【解析】法一：由題意可知，x2＋y2＝(3＋2cosθ)2＋(－4＋2sinθ)2＝29＋12cosθ－16sinθ＝29＋20cos(θ＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝－\f(3,4)))，當(dāng)cos(θ＋φ)＝－1時(shí)最小，因此可得最小值為9.法二：將原式轉(zhuǎn)化為普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圓．令t＝x2＋y2，則t可看做圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最近距離為該點(diǎn)與圓心的距離減去半徑，tmin＝(eq\r(0－32＋0＋42)－2)2＝9，所以x2＋y2的最小值為9.【答案】94．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ為參數(shù))．(1)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．【解】(1)由題意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).又P為線段MN的中點(diǎn)，從而點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\