高中數(shù)學(xué)人教A版第三章三角恒等變換簡單的三角恒等變換 簡單的三角恒等變換

簡單的三角恒等變換（2）一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn):運(yùn)用三角恒等變換化簡函數(shù)表達(dá)式，分析其有關(guān)性質(zhì)，以及解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的思路、步驟和方法.難點(diǎn)：利用三角恒等變換化簡函數(shù)表達(dá)式，以及如何科學(xué)的把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式．知識點(diǎn)：利用三角公式進(jìn)行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式并利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.能力點(diǎn)：由特殊到一般,由具體到抽象,不斷提升學(xué)生的探究能力和數(shù)學(xué)思維能力.自主探究點(diǎn)：如何選擇三角公式進(jìn)行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式.考試點(diǎn)：利用三角公式進(jìn)行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式,并求解化簡后的三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).易錯易混點(diǎn)：對于求解化簡后的三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)時,學(xué)生易出現(xiàn)計算上的錯誤.拓展點(diǎn)：從具體問題中抽象出解決三角恒等變換和求解最值的一般性方法.二、引入新課同學(xué)們，在第一章我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的圖像、誘導(dǎo)公式及周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等一系列性質(zhì).這部分知識學(xué)習(xí)的時間較長了,可能有些同學(xué)已經(jīng)忘了,那么我們一起復(fù)習(xí)一下.【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)加深對正弦函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的理解,為更好的解決課本例3打下知識的基礎(chǔ).對于相關(guān)性質(zhì)通過復(fù)習(xí)我們已經(jīng)熟悉了,那么對于的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等一系列性質(zhì),我們怎樣求解呢?這就是我們這節(jié)課的主要任務(wù).【設(shè)計意圖】開篇點(diǎn)題，明確本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).三、探究新知例1已知,求該函數(shù)的周期，最大值和最小值.分析：不是正弦函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，那么第一步我們應(yīng)先把其化為標(biāo)準(zhǔn)式,才能利用正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)去求解.如何進(jìn)行恒等變形這是關(guān)鍵.通過配湊系數(shù)我們可以利用兩角和與差的正余弦公式去化簡.即:或所以,所求函數(shù)的周期是,最大值是,最小值是.【設(shè)計意圖】本題是三角變換的重要問題，先對三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變換，化簡成的形式.主要培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式，熟練進(jìn)行三角恒等變換的能力.思考：如果上述題目中的自變量的范圍變?yōu)?，如何求函?shù)的最大值和最小值？分析：結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，要求在上的最值,關(guān)鍵求的范圍.具體求解如下:由,得.又由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得:,所以,,,最大值為,最小值為.【設(shè)計意圖】主要是使學(xué)生掌握求有定義域限制的三角函數(shù)式最值的方法,明白求最值時,必須先考慮自變量的取值范圍,這一過程也可以用換元法.師生共同探究:對于怎么進(jìn)行三角恒等變換呢，是否有一般性的方法呢?分析:結(jié)合所學(xué)我們要想解決好此類問題,關(guān)鍵要充分利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行解決,這里要引入一個輔助角,這個輔助角在內(nèi)是唯一確定的,必須寫出輔助角的正弦值和余弦值.即:.其中.注：上述變形方法是解決合角問題的一般性方法.這里輔助角的引入既是重點(diǎn)又是難點(diǎn),教師在具體的教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行引入、解釋.【設(shè)計意圖】總結(jié)解決合角問題的一般性方法,便于學(xué)生更好的解決問題.ODQABPC例2如圖,已知是半徑為1,圓心角為的扇形,是扇形弧上的動點(diǎn),是扇形的內(nèi)接矩形.記,求角取何值時,矩形的面積最大?并求這個最大面積.ODQABPC分析：要求當(dāng)角取何值時，矩形的面積最大，可以這樣去解決：第一:首先根據(jù)已知條件找出與的函數(shù)關(guān)系;第二:有函數(shù)關(guān)系及角取值范圍,求的最大值.我們一起先完成第一步:在中,,.在中,,所以,,所以,.設(shè)矩形的面積為,則.對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍:由,得.所以當(dāng),即時,因此,當(dāng)時,矩形的面積最大,最大面積為.注：（1）在求解最大值時，要特別注意“”這一隱含條件;（2）應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最后要回歸到實(shí)際問題.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生了解三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生自主探究,獨(dú)立思考的數(shù)學(xué)品質(zhì),掌握解決實(shí)際問題的思路和方法,學(xué)會思考問題、分析問題和解決問題.思考：若上述條件去掉記“”，結(jié)論改成“求矩形的最大面積”，還有其它解決方法嗎？分析:我們可設(shè),根據(jù)已知條件可得,則轉(zhuǎn)換成函數(shù)在某區(qū)間求最值問題,但目前此函數(shù)還解決不了.【設(shè)計意圖】盡管對所得函數(shù)還暫時無法求最大值,但能促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)模型多樣性的理解,并能在對比中使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點(diǎn).師生共同總結(jié)解決問題的一般性方法:(1)根據(jù)已知條件,選擇變量并確定變量的取值范圍;(2)建立所求值與變量的函數(shù)關(guān)系;(3)在變量所取值的范圍內(nèi)(體現(xiàn)實(shí)際問題的實(shí)際意義)求解函數(shù)的最值;(4)把計算結(jié)果回歸到實(shí)際問題.【設(shè)計意圖】總結(jié)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟,便于學(xué)生更好的解決問題.四、理解新知：1、對于變形應(yīng)注意的問題:(1)常數(shù)應(yīng)為不同時為零的實(shí)數(shù),即.(2)輔助角滿足,在唯一確定的,若把滿足的條件只寫成,這導(dǎo)致在內(nèi)可能有兩個值,其中一個值是增根,應(yīng)根據(jù)的符號進(jìn)行取舍.2、對于合角后,求三角函數(shù)在某一區(qū)間上的最值應(yīng)先清楚的取值范圍,下一步可以利用換元法,也可以直接求解.3、三角變換的基本思想：⑴降冪(化次數(shù)較高的三角函數(shù)為次數(shù)較低的三角函數(shù)，一般運(yùn)用公式，，這必然會引起角的倍數(shù)的增大(單角化為倍角)；⑵統(tǒng)一函數(shù)名稱(化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù))；⑶統(tǒng)一角(化多角為單一角，減少角的種類)．五、運(yùn)用新知1、求函數(shù)的周期、最大值和最小值.分析：根據(jù)已知條件要想求相關(guān)性質(zhì)應(yīng)先把上式進(jìn)行合角,因此應(yīng)先借助于平方關(guān)系與二倍角公式對降冪,然后引入輔助角.解：由題意可得所以,所求函數(shù)的周期為,最大值為，最小值為.注:引入輔助角“”是進(jìn)行三角變換的關(guān)鍵.另外,降冪化簡也是常用的一種變換.【設(shè)計意圖】引用此例題是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固三角函數(shù)的恒等變換的思路和方法,提高學(xué)生的邏輯推理和應(yīng)變能力.變式訓(xùn)練1:已知函數(shù)求函數(shù)的最小正周期；求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.分析:觀察的形式,各自展開為相加后可以進(jìn)一步化簡,而是標(biāo)準(zhǔn)的二倍角余弦公式.解:所以的最小正周期為；由則所以即:函數(shù)在區(qū)間上的最大值為和最小值為.【設(shè)計意圖】引入此例題一是讓學(xué)生進(jìn)一步熟練恒等變換;二是明確合角情況的多變性.2、如圖,四邊形是一個邊長為100米的正方形地皮,其中是一半徑為90米的扇形小山,其余部分都是平地,是弧上一點(diǎn)，現(xiàn)有一位開發(fā)商想在平地上建造一個兩邊落在與上的長方形停車場.求長方形停車場面積的最大值和最小值.分析:要想求停車場面積的最值,首先應(yīng)建立長方形面積的函數(shù)關(guān)系式,而建立關(guān)系式的關(guān)鍵是選取自變量.結(jié)合本題具體情況可設(shè),則,這時此法易列式但不好求.因此不妨設(shè)作為自變量,然后延長交與,則,則.解：設(shè)延長交與,AMTAMTBSDRCQP,則設(shè)所以，當(dāng)時,有最小值950.當(dāng)時,有最大值.即.長方形停車場面積的最大值為,最小值為950.【設(shè)計意圖】本變式訓(xùn)練是進(jìn)一步鞏固三角函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,在講解時應(yīng)注重自然語言與數(shù)學(xué)語言的結(jié)合.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型,首先應(yīng)選準(zhǔn)角作為自變量,其次要明確角的范圍,利用三角函數(shù)恒等變換求解.六、課堂小結(jié)1．知識：如何采用兩角和或差的正余弦公式進(jìn)行合角,借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問題是對三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和(差)角公式的綜合應(yīng)用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).如何科學(xué)的把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題．2．思想：本節(jié)課通過由特殊到一般方式把關(guān)系式化成的形式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生探究、歸納、類比的能力.通過探究如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識．【師生活動】在總結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，相互補(bǔ)充后進(jìn)行回答，老師最后總結(jié)、板書.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅能總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.七、布置作業(yè)必做題：1.設(shè),,滿足求函數(shù)在的最大值和最小值.2.如圖，在一塊半徑為的半圓形的鐵板中截取一個內(nèi)接矩形，使其一邊落在圓的直徑上，問應(yīng)該怎樣截取，能使矩形的面積最大？并求出這個矩形的最大面積。選做題：1.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.某公司位于兩條大道之間的處,且到兩道的距離分別為.今公司想在兩道上分別設(shè)置一個產(chǎn)品銷售點(diǎn)和,使,試問如何設(shè)置使的面積最小?此時最小值為多少?EECDBA【設(shè)計意圖】設(shè)置必做題的目的是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果,同時進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；設(shè)置選做題是鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)一步加深本節(jié)內(nèi)容的理解．八、教后反思1.本節(jié)課的亮點(diǎn)：教學(xué)過程中教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生通過課本中的例3為出發(fā)點(diǎn)，研究函數(shù)的恒等變換問題(主要是拆、合角)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并推廣到一般情況.這個過程中既讓學(xué)生獲得了關(guān)于新知的內(nèi)容，更可貴的是讓學(xué)生體會到如何研究一個新問題，即探究方法的體驗(yàn)與感知.同時也滲透了歸納、類比推理的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)了