高二物理競賽動力學(xué)方程課件

動力學(xué)方程

nk

inkimk

nk

i

nn

Wii

u

nk

nkidt

2 u

kk d

2u 2U第

n個晶胞中第

k

個原子的動力學(xué)方程為：n,

n

1,2,N; i,

i

1,2,3; k,

k

1,2,P;共

3PN

個齊次微分方程動力學(xué)方程的一般解滿足動力學(xué)方程的一般解為：kiknkinA (q)emt

)i

(qR

u 1 kikknnmmt

iqR

Rt

iq

G

A (q)e1A (q

)eki G1u (q

)

nki G由于G Rn

2m

，得到：

q與表示同一格波的波矢。q

GA (q)emmnkit

kikt

kiknkinn1 1

u (q)A (q)eu (q)

iqR

iqR

由于波矢為

q

的正向傳播的格波和波矢為q的負(fù)向傳播的格波的性質(zhì)相同。而且在同一溫度下，引起的原子的振幅相同，得到：即：unki

(q)

unki

(q)1k

iiink

iiimkkkkt

)i

(

qR

A

(q)ek

nki

nkin

nnu

W

nn

W

2k kikikknkikmdtd

2dt

2d

2um

eRnt

)Rnt

)

m A q

1

m2 i(q

i(q

A qe方程右邊：色散關(guān)系將一般解帶入動力學(xué)方程，得到：方程左邊：12kkm miikiAki

(q)(

R R

)nk kkieW

n

nn

n

iq

A (q)

得到：112kkiiii

kk(

R R

)iqn(mk

mk

)

C

(q)e

n

nn

nW

恢復(fù)力系數(shù)由于晶格的平移對稱性，恢復(fù)力系數(shù)只依賴于兩個原胞的相對位置

，Rn

Rn對于任意指定的原胞

n，121iikk

iqn(

Rn

Rn

)e

n

nW

(mk

mk

)與

n

無關(guān)，令：得到：2kikikiCkk

(q)

A (q)kik

iCkk

(q)

A

ii

ii(q)

A (q)

i,

i

1,2,3;

k,

k

1,2,P;共3P個線性齊次方程k,

k

1;

i,

i

1,2,3;13

212

211

2(q)

C11(q)

A (q)33 13

(q)

C11(q)

A (q)23 13

(q)

C11(q)

A (q)

C11(q)

A21 11 22 12

(q)

C11(q)

A (q)13 13

C11(q)

A (q)

C11(q)

A (q)

C11(q)

AiC11

(q)

A (q)

C11(q)

A (q)

C11(q)

A3i

1i

31 11 32 12

i1i

11 11 12 12

iC11

(q)

A2i

1i

1i

A (q)

A (q)

A (q)

如：i,

i

1,2,3;

k,

k

1,2,P;使

Aki

(q)

有非零解的條件是：3P個色散關(guān)系式：bi

qi

bi2 2

j

j

(q),

j

1,2,

3P并且：

j

(q

G)

j

(q)

j

(q)

j

(q)1 1 2 2 3 3

對一個格波波矢

q

q

a

q

a

q

a

，有bi

為與晶格對應(yīng)的倒格子基矢第

i

個分量聲學(xué)支格波、光學(xué)支格波每個色散關(guān)系代表一支格波，共3P支。其中3支描述原胞與原胞之間的相對運動，稱為聲學(xué)支。其余3P-3支描述原胞內(nèi)各原子之間的相對運動，稱為光學(xué)支。周期性邊界條件i

1,2,3kiknkiki

immRn

tnki

Ni ki

u

iq

A (q)e1u

A (q)e1(

Rn

N

a

)t

]i[q

1eiqi

Niaiqi

Niai

li

2

,

li

0,1,2

Niaiqi

li

2

q

q

a

q

a

q

a1 1 2 2 3 3iiNiai aia將

qi

取值限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，對于簡單立方晶格有：

l

2

iqi

可以取

N

個不同的值。

Ni

li

Ni,i

1,2,32 2q

取值的個數(shù)：N

N1N2

N3個獨立振動模式的線性疊加：3PN結(jié)論1、晶格振動波矢個數(shù)等于晶體原胞數(shù)

N，晶體原子的自由度等于3，晶體原胞中包含

P

個原子的獨立振動模式數(shù)（狀態(tài)數(shù)）等于晶體原子的總自由度數(shù)

3PN。2、晶體獨立的格波分成

3P支，每支有

N個格波。其中3支是聲學(xué)波，其余3P

3支是光學(xué)波。3、3支聲學(xué)波中有一支是縱波（原子振動方向與波傳播方向相同）LA，其余兩支是橫波（原子振動方向與波傳播方向垂直）TA。4、3P

3

支光學(xué)波分為橫光學(xué)波TO和縱光學(xué)波LO兩種。Rnk5、位于平衡位置

的原子三維振動方程的通解是kiknk mu 3PNA (q)eqi

(

qRn

t

)

1

聲學(xué)波橫波1橫波2光學(xué)波金剛石結(jié)構(gòu)晶體的格波原胞包含2個同種原子，具有相同波矢的格波個數(shù)等于6。橫波1橫波2縱波格波縱波由N個原胞構(gòu)成的金剛石型晶體，共有6N個不同波矢的格波。6N個格波分為6支，3支為光學(xué)波，3支為聲學(xué)波。金剛石晶格振動沿[110]方向