第十三章 電流與磁場(chǎng)

第13章電流和磁場(chǎng)

在靜止電荷周圍空間存在靜電場(chǎng)；在運(yùn)動(dòng)電荷周圍，不但存在電場(chǎng)，而且還存在磁場(chǎng)。穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的，稱為穩(wěn)恒磁場(chǎng)。磁場(chǎng)和電流之間有什么關(guān)系，相互作用如何呢？數(shù)理系黃海波編

主要內(nèi)容13.1電流和電流密度13.2電流的微觀模型歐姆定律13.3磁場(chǎng)及起源13.4畢奧－薩伐爾定律13.5磁場(chǎng)的高斯定律13.6安培環(huán)路定理及應(yīng)用§13.1電流和電流密度一、電流current數(shù)值：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)單位垂直面積的電量。方向：正電荷運(yùn)動(dòng)的方向單位：1安培=1C/s電流—帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)。載流子—電子、質(zhì)子、正負(fù)離子、空穴。二、電流強(qiáng)度Uv三、電流密度currentdensity1.電流密度大小：導(dǎo)體中某點(diǎn)的電流密度，數(shù)值上等于和該點(diǎn)正電荷定性移動(dòng)方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度。方向：該點(diǎn)正電荷定向移動(dòng)的方向。單位：電流密度的單位是Am-2。電流的空間分布電流密度vDt

=nqDS1）、單一載流子2）、多種載流子3）、金屬—自由電子導(dǎo)電漂移速度：熱運(yùn)動(dòng)的漂移速度為零。的電子數(shù)密度：速度dSJS四.電流的連續(xù)性方程dSJ由電荷守恒2.電流密度和電流強(qiáng)度的關(guān)系§13.2電流的微觀模型歐姆定律一、歐姆定律(Ohm’slaw)二、電阻和電導(dǎo)在溫度一定的情況下,流過(guò)導(dǎo)體的電流I與導(dǎo)體兩端的電壓U成正比，即:G稱為電導(dǎo)，R稱為電阻。在國(guó)際單位制中,電導(dǎo)的單位：西門子(S),電阻的單位：歐姆()。1S=1-1電阻率電導(dǎo)率四、電流的經(jīng)典微觀模型三、歐姆定律(Ohm’slaw)的微分形式

取長(zhǎng)l截面積S的細(xì)電流管，根據(jù)歐姆定律I=U/R，其中I=jS，U=El，R=l/S，五、穩(wěn)恒電流和穩(wěn)恒電場(chǎng)穩(wěn)恒電流：電流密度僅是空間位置的函數(shù),而與時(shí)間t無(wú)關(guān)。穩(wěn)恒電場(chǎng)：有電流而保持不隨時(shí)間改變的電場(chǎng)。穩(wěn)恒電場(chǎng)和靜電場(chǎng)的區(qū)別及聯(lián)系六、電源和電動(dòng)勢(shì)——穩(wěn)恒電流的產(chǎn)生

電源：能提供非靜電力的裝置。能不斷地把其它形式的能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N裝置。如：電池、發(fā)電機(jī)等。電動(dòng)勢(shì)ε：定量地描述電源轉(zhuǎn)換能量本領(lǐng)大小的物理量。定義：將單位正電荷繞閉合回路一周，非靜電力所作的功。電動(dòng)勢(shì)是標(biāo)量，單位、量綱與電勢(shì)一樣，為方便，規(guī)定：自負(fù)極經(jīng)過(guò)電源內(nèi)部到正極的方向?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)的方向。一、基本的磁現(xiàn)象

從鐵屑堆中提出后的棍形永磁體的照片，鐵屑主要密集在棍的端部。§13.3磁場(chǎng)及磁場(chǎng)的起源兩塊磁鐵同名磁極相互排斥，異名磁極相互吸引。1820年,丹麥物理學(xué)家?jiàn)W斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)INSNSNS問(wèn)題：磁鐵和電流是否在本源上是一致的?十九世紀(jì)杰出的法國(guó)科學(xué)家安培提出了這樣一種假說(shuō)，組成磁鐵的最小單元即磁分子就是環(huán)形電流。若這樣的一些分子環(huán)流定向地排列起來(lái)，在宏觀上就顯示出N、S極來(lái)。這就是安培分子環(huán)流假說(shuō)。SN1、磁場(chǎng)的起源—分子電流假說(shuō)INS二、磁場(chǎng)及起源螺線管和磁鐵的相似性至今沒(méi)發(fā)現(xiàn)磁單極子靜止電荷靜止電荷靜止電荷之間的作用力——電力運(yùn)動(dòng)電荷之間的作用力——電力+磁力運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷說(shuō)明1、磁場(chǎng)由運(yùn)動(dòng)電荷(或電流)產(chǎn)生;3、磁場(chǎng)有能量、…

電場(chǎng)磁場(chǎng)傳遞磁相互作用2、磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷(或電流)有力的作用;2、概念在運(yùn)動(dòng)電荷（或電流）周圍空間存在的一種特殊形式的物質(zhì)。三、磁感應(yīng)強(qiáng)度1、引入需要一個(gè)既具有大小又有方向的物理量來(lái)定量描述磁場(chǎng)。2、洛侖茲力電場(chǎng)力磁場(chǎng)力帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中所受的力洛侖茲力的方向垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度和磁感應(yīng)強(qiáng)度所組成的平面，且符合右手螺旋定則。3、磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義為了描述磁場(chǎng)的性質(zhì)，可據(jù)此定義一個(gè)矢量函數(shù)B，規(guī)定它的大小為4、單位特斯拉T;1T=1N/(A.m)=104Gs磁場(chǎng)服從疊加原理*的方向——利用小磁針探測(cè)磁場(chǎng)的方向。*的大小——研究運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受力。思路:仿照電場(chǎng)的計(jì)算1、內(nèi)容電流元Idl在空間P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)B為：§13.4畢奧－薩伐爾定律真空磁導(dǎo)率疊加原理P*運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)2、說(shuō)明該定律是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上抽象出來(lái)的，不能由實(shí)驗(yàn)直接加以證明。電流元Idl

的方向即為電流的方向。dB的方向由Idl

確定，即用右手螺旋法則確定。3、畢奧－薩伐爾定律應(yīng)用舉例：解題步驟1.根據(jù)已知電流的分布選取合適的電流元；2.根據(jù)電流的分布與磁場(chǎng)分布的的特點(diǎn)來(lái)選取坐標(biāo)系，其目的是要使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)單；3.按照畢奧－薩伐爾定律寫出電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度；4.由疊加原理求磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布，將磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，選取合適的積分變量，統(tǒng)一積分變量。例1:長(zhǎng)度為L(zhǎng)的載流直導(dǎo)線在距離它為a的P點(diǎn)的磁場(chǎng)解：在距點(diǎn)O為l處取電流元Idl，Idl在點(diǎn)P產(chǎn)生B，方向垂直于紙面向里ldlI0arPAB12l=acot()=-acot

，r=acsc

，dl=acsc2

d無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，θ1=0，θ

2=，距離導(dǎo)線a處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為a<<lIBIBX半無(wú)限長(zhǎng)載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)解：其磁場(chǎng)方向只有沿x軸的分量而垂直于x軸的分量求和為零。例2：求載流圓線圈在其軸上的磁場(chǎng)。IdlIRO×PB的方向沿著軸線，與分量dBx

的方向一致。

圓電流環(huán)，在其軸上一點(diǎn)的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與電流滿足右手螺旋法則。*兩種特殊的情況：軸上無(wú)窮遠(yuǎn)的磁感強(qiáng)度x=0時(shí)圓電流環(huán)中心磁感強(qiáng)度PIS磁偶極矩IS說(shuō)明：當(dāng)載流線圈極小時(shí),就稱磁偶極子,故磁矩也稱磁偶極矩.與電偶極子的電矩對(duì)應(yīng).例2中圓電流磁感強(qiáng)度公式也可寫成圓形電流磁場(chǎng)與條形磁鐵或磁針的行為相似。引入磁矩描述圓形電流或載流平面線圈磁行為。S是圓形電流包圍平面面積，指向與電流的方向滿足右螺旋關(guān)系。I1例3載流直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)繞在圓柱面上的螺線形線圈叫做螺線管，下面我們計(jì)算它的軸線上的磁場(chǎng)分布。設(shè)螺線管半徑為R，電流強(qiáng)度為I，每單位長(zhǎng)度上有線圈n匝，放在真空中。1

在螺線管上任取一小段dl，這小段上有線圈ndl匝。因?yàn)槁菥€管是密繞的，我們可以把它近似地看成是一系列圓線圈并排起來(lái)組成的，每一匝在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度都沿軸線方向向右，長(zhǎng)度dl內(nèi)各匝的總效果就是一匝的ndl倍。應(yīng)用前面得到的圓線圈軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的結(jié)果dBIdl⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙dlldB12PR⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙dlldB12P為了便于積分引入角變量，由圖中可看出所以有右手螺旋法則討論幾種特殊情況1.若l>>R，在無(wú)限長(zhǎng)的螺線管中心處2.在管端口處：–l/2

l/2O

從以上分析可以看出長(zhǎng)直載流螺線管的磁場(chǎng)分布情況：在螺線管中心區(qū)域?yàn)榫鶆虼艌?chǎng)，在管端口處，磁場(chǎng)等于中心處的一半。一、磁感應(yīng)線1．磁感應(yīng)線：用來(lái)描述磁場(chǎng)分布的一系列曲線。磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)切線的方向即為磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可用磁感應(yīng)線的疏密程度表示。磁感應(yīng)線密度：在與磁感應(yīng)線垂直的單位面積上的穿過(guò)的磁感應(yīng)線的數(shù)目。§13.5磁場(chǎng)的高斯定律2、幾種典型的磁感應(yīng)線IB載流長(zhǎng)直導(dǎo)線圓電流載流長(zhǎng)螺線管3、磁感應(yīng)線特性磁感應(yīng)線是環(huán)繞電流的無(wú)頭尾的閉合曲線，無(wú)起點(diǎn)無(wú)終點(diǎn)；磁感應(yīng)線不相交。二、磁通量2、計(jì)算通過(guò)任意S面的磁通量Ф，其數(shù)學(xué)表達(dá)式：1、磁通量定義：通過(guò)磁場(chǎng)中某一曲面的磁感應(yīng)線的數(shù)目，定義為磁通量，用Ф表示。3、說(shuō)明規(guī)定單位法線矢量n的方向垂直于曲面向外磁感應(yīng)線從曲面內(nèi)穿出時(shí)，磁通量為正(θ<π/2,cosθ>0)

磁感應(yīng)線從曲面出穿入時(shí)，磁通量為負(fù)(θ>π/2,cosθ<0)穿過(guò)曲面通量可直觀地理解為穿過(guò)該面的磁感應(yīng)線條數(shù)單位：韋伯(wb)1Wb=1T·m2

三、高斯定律1、內(nèi)容

通過(guò)任意閉合曲面的磁通量必等于零。2、解釋由于磁感應(yīng)線是閉合的，因此對(duì)任意一閉合曲面來(lái)說(shuō)，有多少條磁感應(yīng)線進(jìn)入閉合曲面，就一定有多少條磁感應(yīng)線穿出該曲面。磁場(chǎng)是有旋/無(wú)散場(chǎng)(非保守場(chǎng))；電場(chǎng)是有源場(chǎng)，保守場(chǎng)磁極相對(duì)出現(xiàn)，不存在磁單極；單獨(dú)存在正負(fù)電荷3、說(shuō)明S安培(Ampere,1775-1836)法國(guó)物理學(xué)家，電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人。1805年擔(dān)任法蘭西學(xué)院的物理教授，1814年參加了法國(guó)科學(xué)會(huì)，1818年擔(dān)任巴黎大學(xué)總督學(xué)，1827年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。他還是柏林科學(xué)院和斯德哥爾摩科學(xué)院院士。安培在電磁學(xué)方面的貢獻(xiàn)卓著，發(fā)現(xiàn)了一系列的重要定律、定理，推動(dòng)了電磁學(xué)的迅速發(fā)展。1827年他首先推導(dǎo)出了電動(dòng)力學(xué)的基本公式，建立了電動(dòng)力學(xué)的基本理論，成為電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人。13-6安培環(huán)路定理一、安培環(huán)路定理在穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任何閉合回路L的線積分，等于穿過(guò)這回路的所有電流強(qiáng)度代數(shù)和的μ0倍，數(shù)學(xué)表達(dá)式：符號(hào)規(guī)定：穿過(guò)回路L的電流方向與L的環(huán)繞方向服從右手關(guān)系的I為正，否則為負(fù)。安培環(huán)路定律對(duì)于穩(wěn)恒電流的任一形狀的閉合回路均成立。B的環(huán)流與電流分布有關(guān)，但路徑上磁感應(yīng)強(qiáng)度B仍是閉合路徑內(nèi)外電流的合貢獻(xiàn)。安培環(huán)路定理的物理意義：磁場(chǎng)是非保守場(chǎng)，不能引入勢(shì)能。L1、內(nèi)容(2)在圍繞單根載流導(dǎo)線的垂直平面內(nèi)的任一回路。(1)在圍繞單根載流導(dǎo)線的垂直平面內(nèi)的圓回路。2、證明(3)不圍繞單根載流導(dǎo)線，在垂直平面內(nèi)的任一回路(4)圍繞多根載流導(dǎo)線的任一回路設(shè)有Ii，i=1,2,…,n，穿過(guò)回路L，Ii，I=n+1,n+2,…,n+k不穿過(guò)回路L令分別為單根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)所有電流的總場(chǎng)穿過(guò)回路的電流任意回路L應(yīng)用安培環(huán)路定律可以求出某些有規(guī)則分布的電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。解題步驟如下：1.分析磁場(chǎng)的對(duì)稱性：根據(jù)電流的分布來(lái)確定磁場(chǎng)的分布是否具有對(duì)稱性；如磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，則可以用安培環(huán)路定理來(lái)求解；如果不具有對(duì)稱性，則不能用安培環(huán)路定理求解；2.過(guò)場(chǎng)點(diǎn)選取合適的閉合積分路徑，在此閉合路徑的各段上，磁感應(yīng)強(qiáng)度或者與之垂直，或者與之平行，或者成一定的角度，總之使得磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流容易計(jì)算；3.選好積分回路的取向，并根據(jù)取向來(lái)確定回路內(nèi)電流的正負(fù)值。4.最后由安培環(huán)路定理求出磁感應(yīng)強(qiáng)度。二、安培環(huán)路定理的應(yīng)用RrP例1長(zhǎng)直圓柱形載流導(dǎo)線內(nèi)外的磁場(chǎng)

設(shè)導(dǎo)線為圓柱形，截面的半徑為R。電流I沿軸線方向流動(dòng)。在截面上電流是均勻分布的。對(duì)于所考察的P點(diǎn)來(lái)說(shuō)，當(dāng)P點(diǎn)離導(dǎo)線的距離比P點(diǎn)離兩端的距離小得多時(shí)，可以把導(dǎo)線看成是無(wú)限長(zhǎng)的。在這區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)對(duì)軸線具有對(duì)稱性。磁力線是在垂直軸線的平面內(nèi)以軸線為中心的圓上。取過(guò)P點(diǎn)的磁力線為積分回路，線上任一點(diǎn)的B的數(shù)值相等，方向與該點(diǎn)的dl方向一致。RrP由安培環(huán)路定理，可得到式中r是P點(diǎn)離軸線的距離。所以導(dǎo)線外P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由此可見(jiàn)，長(zhǎng)直圓柱形載流導(dǎo)體外的磁場(chǎng)與長(zhǎng)直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)相同。rQR

在導(dǎo)線內(nèi)部，磁場(chǎng)同樣是軸對(duì)稱的。取過(guò)Q點(diǎn)的磁力線為積分回路，因單位截面的電流是I/R2，所以包圍在這一回路內(nèi)的電流為應(yīng)用安培環(huán)路定理得到由此知Q點(diǎn)B的大小為可見(jiàn)在圓柱形導(dǎo)體內(nèi)部，磁感應(yīng)強(qiáng)度和離開(kāi)軸線的距離r成正比。rQRB0RrB隨r變化的曲線如圖所示?！选选选选选选选选选选选选选选选选选牙?長(zhǎng)直螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)設(shè)有一均勻密繞長(zhǎng)直螺線管，通有電流I。由于螺線管很長(zhǎng)，所以管內(nèi)中間部分的磁場(chǎng)是均勻的，方向與管的軸線平行。在管的外側(cè)磁場(chǎng)很弱，可忽略不計(jì)。

處于真空中的載流長(zhǎng)直螺線管內(nèi)外的磁場(chǎng)分布情況與管上的各匝線圈的疏密程度及管的尺寸有關(guān)。對(duì)于線圈較稀疏的載流螺線管，它的磁感線分布如圖（a）所示，由圖可以看出在螺線管內(nèi)中間部分靠近管軸出的磁感應(yīng)線區(qū)域與管軸平行；而導(dǎo)線附近的磁感應(yīng)幾乎是一些以導(dǎo)線為軸的同心圓，這樣，管外中間部分貼近外管壁的區(qū)域內(nèi)，存在著磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零。

然而對(duì)于繞的非常密集的的直螺線管，它的磁感應(yīng)線分布如圖（b）所示，由圖可以看出，在螺線管內(nèi)中部，從管壁到管軸的區(qū)域內(nèi)，磁感線可看成是趨于與管軸平行；而管外中部貼近外管壁附近的磁場(chǎng)很弱，，磁感應(yīng)強(qiáng)度為趨于零。當(dāng)螺線管繞的很密，而且管的長(zhǎng)度l比管的直徑d大的很多時(shí)，可將此螺線管當(dāng)成無(wú)限長(zhǎng)的螺線管?！选选选选选选选选选选选选选选选选选補(bǔ)bcd?p

為了計(jì)算管內(nèi)中間部分某一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度，可以通過(guò)P點(diǎn)作一矩形的閉合回路abcd，在線段cd以及在線段bc和ad的位于管外部分，由于在螺線管外，B=0。在bc和da的位于管內(nèi)部分，雖然B≠0，但dl與B相垂直，即cos=0，=/2。線段ab上各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向都和積分路徑一致，即從a到b，所以B矢量沿閉合路徑abcda的線積分為⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙a(bǔ)bcd?p