高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形應(yīng)用舉例 第一章（三）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運用正弦、余弦定理解決航海測量中的實際問題.2.掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用．知識點一航海中的測量問題思考在浩瀚無垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．閱讀教材，看看船只是如何表達(dá)位置和航向的？答案用方向角和方位角．梳理方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角．方向角：從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.知識點二三角形面積公式的拓展思考如果已知底邊和底邊上的高，可以求三角形面積．那么如果知道三角形兩邊及夾角，有沒有辦法求三角形面積？答案在△ABC中，如果已知邊AB、BC和角B，邊BC上的高記為ha，則ha＝ABsinB．從而可求面積．梳理在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.類型一航海中的測量問題例1如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？(角度精確到°，距離精確到nmile)解在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根據(jù)余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC)＝eq\r＋－2×××cos137°)≈.根據(jù)正弦定理，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)≈eq\f137°,≈5，所以∠CAB＝°，75°－∠CAB＝°.答此船應(yīng)該沿北偏東°的方向航行，需要航行nmile.反思與感悟解決航海問題一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不動點(三角形頂點)，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題．跟蹤訓(xùn)練1甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時eq\r(3)a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？解如圖所示．設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝eq\r(3)at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．類型二三角形面積公式的應(yīng)用命題角度1求面積例2在△ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S.(精確到cm2)(1)已知a＝cm，c＝cm，B＝°；(2)已知B＝°，C＝°，b＝cm；(3)已知三邊的長分別為a＝cm，b＝cm，c＝cm.解(1)應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S＝eq\f(1,2)×××sin°≈(cm2)．(2)根據(jù)正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)，S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinCsinA,sinB)，A＝180°－(B＋C)＝180°－°＋°)＝°，S＝eq\f(1,2)××eq\f(sin°sin°,sin°)≈(cm2)．(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f＋－,2××≈7，sinB＝eq\r(1－cos2B)≈eq\r(1－72)≈4.應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S≈eq\f(1,2)×××4≈(cm2)．反思與感悟三角形面積公式S＝eq\f(1,2)absinC，S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB中含有三角形的邊角關(guān)系．因此求三角形的面積，與解三角形有密切的關(guān)系．首先根據(jù)已知，求出所需，然后求出三角形的面積．跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面積．解由正弦定理，得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(3),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵0°<C<180°，∴C＝60°或120°.①當(dāng)C＝60°時，A＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)；②當(dāng)C＝120°時，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).命題角度2已知三角形面積例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b.解由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4，又因為△ABC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))反思與感悟題目條件或結(jié)論中若涉及三角形的面積，要根據(jù)題意靈活選用三角形的面積公式．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知半圓O的直徑為2，點A為直徑延長線上的一點，OA＝2，點B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，求B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大．解設(shè)∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，α∈(0，π)，∴S＝S△AOB＋S△ABC＝eq\f(1,2)OA·OB·sinα＋eq\f(\r(3),4)AB2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\f(5,4)eq\r(3).當(dāng)α－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，α＝eq\f(5π,6)，即∠AOB＝eq\f(5π,6)時，四邊形的面積最大．1．一艘海輪從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度沿南偏東40°方向直線航行，30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(2)nmile D．20eq\r(3)nmile答案A解析如圖所示，由已知條件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×eq\f(1,2)＝20(nmile)．∴∠BCA＝45°，∴由正弦定理可得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°).∴BC＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(nmile)．2．已知三角形面積為eq\f(1,4)，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為()A．1B．2\f(1,2)D．4答案A解析設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由πR2＝π，得R＝1，∵S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(abc,4)＝eq\f(1,4)，∴abc＝1.3．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.答案2eq\r(3)解析∵cosC＝eq\f(1,3)，C∈(0，eq\f(π,2))，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(2),3)，∵eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，a＝3eq\r(2)，∴b＝2eq\r(3).1．在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．2．解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1．臺風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40km處，則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A．hB．1hC．hD．2h答案B解析設(shè)A地東北方向上點P到B的距離為30km時，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡得x2－40eq\r(2)x＋700＝0.設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則P點的位置有兩處，即P1，P2.則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即P1P2＝20(km)，故t＝eq\f(P1P2,v)＝eq\f(20,20)＝1(h)．故選B.2．甲騎電動車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是()A．6km B．3eq\r(3)kmC．3eq\r(2)km D．3km答案C解析由題意知，AB＝24×eq\f(1,4)＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS＝eq\f(ABsin∠BAS,sin∠ASB)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．3．在△ABC中，已知面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的度數(shù)為()A．135°B．45°C．60°D．120°答案B解析∵S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)＝eq\f(1,2)absinC，∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.4．已知三角形的三邊分別為a，b，c，面積S＝a2－(b－c)2，則cosA等于()\f(2,3)\f(4,5)\f(12,13)\f(15,17)答案D解析S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccosA＋2bc，∵S＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)bcsinA＝2bc－2bccosA.即4－4cosA＝sinA.平方得17cos2A－32cosA＋15＝0.即(17cosA－15)(cosA－1)＝0.得cosA＝1(舍)或cosA＝eq\f(15,17).5．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為()\f(\r(3),2)\f(3\r(3),4)\f(15\r(3),2)\f(15\r(3),4)答案D解析在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB，即49＝BC2＋25－2×BC×5×(－eq\f(1,2))，整理得BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BC×sin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).6．在△ABC中，若cosB＝eq\f(1,4)，eq\f(sinC,sinA)＝2，S△ABC＝eq\f(\r(15),4)，則b等于()A．4B．3C．2D．1答案C解析依題意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×eq\f(1,4)＝4a2，所以b＝c＝B＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\f(b,2)×b×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),4)，所以b＝2，選C.二、填空題7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則sinB＝________.答案eq\f(3\r(3),14)解析由正弦定理，得eq\f(7,sin120°)＝eq\f(5,sinC)，∴sinC＝eq\f(5\r(3),14)且C為銳角(A＝120°)．∴cosC＝eq\f(11,14).∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝eq\f(\r(3),2)cosC－eq\f(1,2)sinC＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(11,14)－eq\f(1,2)×eq\f(5\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),14).8．某海島周圍38海里有暗礁，一輪船由西向東航行，初測此島在北偏東60°方向，航行30海里后，測得此島在東北方向，若不改變航向，則此船________觸礁的危險．(填“有”或“沒有”)答案沒有解析如圖所示，在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(30×sin30°,sin15°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．過點C作CD垂直于AB，交AB的延長線于點D.在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.所以沒有觸礁的危險．9．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為________km.答案eq\r(6)－1解析由題意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2km，AB＝3km，設(shè)B船到燈塔C的距離為xkm，即BC＝xkm.由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，即9＝4＋x2－2×2x×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－eq\r(6)(舍去)或x＝－1＋eq\r(6)(km)．三、解答題10．已知△ABC的面積為1，tanB＝eq\f(1,2)，tanC＝－2，求△ABC的各邊長以及△ABC外接圓的面積．解∵tanB＝eq\f(1,2)>0，∴B為銳角，∴sinB＝eq\f(\r(5),5)，cosB＝eq\f(2\r(5),5).∵tanC＝－2<0，∴C為鈍角，∴sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×eq\f(3,5)×eq\f(\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝1.∴R2＝eq\f(25,12)，R＝eq\f(5\r(3),6).∴πR2＝eq\f(25,12)π，即外接圓的面積為eq\f(25,12)π.∴a＝2RsinA＝eq\r(3)，b＝2RsinB＝eq\f(\r(15),3)，c＝2RsinC＝eq\f(2\r(15),3).綜上，a＝eq\r(3)，b＝eq\f(\r(15),3)，c＝eq\f(2\r(15),3)，△ABC外接圓的面積為eq\f(25,12)π.11．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×