高中數(shù)學(xué)人教B版1第二章圓錐曲線與方程2

2023年10月北京市西城區(qū)高中示范校高二數(shù)學(xué)（人教B版）解析幾何教材建議一．課標(biāo)要求 1．理解直線傾斜角與斜率的概念（B），掌握過兩點的直線斜率的計算公式（C），2．掌握直線方程的形式（點斜式、兩點式、一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系（C），3．能判斷兩條直線平行或垂直（C），會求兩條直線的交點坐標(biāo)（B），兩點間距離、點到直線距離（C）、平行線間距離公式（B），4．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程（C），5．能判斷直線與圓（C）、圓與圓的位置關(guān)系（B），6．掌握橢圓、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)（C），7．了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)（A），8．解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（C）,9．了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系感受數(shù)形結(jié)合的思想（B）．二．教學(xué)建議1．曲線與方程的知識坐標(biāo)系：直線坐標(biāo)系→平面直角坐標(biāo)系→空間直角坐標(biāo)系．點的坐標(biāo)，兩點間的距離公式，中點的坐標(biāo)公式．坐標(biāo)系下，點有坐標(biāo)，點運動后留下的痕跡——軌跡，而曲線上每一點的坐標(biāo)都應(yīng)該滿足一個關(guān)系式——方程，我們研究方程的性質(zhì)，從而達(dá)到研究曲線的目的，因此，方程與曲線之間就有一種替代的關(guān)系，那么，需要什么條件方程與曲線之間才能達(dá)到這種關(guān)系呢?例如：經(jīng)過、點的直線與方程是否具有這種關(guān)系？例如：經(jīng)過、點的直線與方程是否具有這種關(guān)系？由此可見，方程與曲線之間的關(guān)系需要雙方面的（等價的、充要的、雙箭頭的）．定義：平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的點與方程的解滿足：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，那么，就稱方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線．明確了曲線與方程的關(guān)系，下面就涉及到如何求出曲線的方程．例．已知：定點、兩點間的距離為，動點到、距離的平方和為，求：動點的軌跡方程．解：以的中點為原點，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)：，、，，反之：設(shè)是方程的解，即，以此組解為坐標(biāo)的點為，，即點在曲線上，動點的軌跡方程：．求曲線方程的步驟：（1）建立平面直角坐標(biāo)系（已有坐標(biāo)系的省略）；（2）設(shè)點的坐標(biāo)（包括未知點和已知點）；（3）找到曲線中的幾何關(guān)系；（4）把幾何關(guān)系代數(shù)化（）；（5）化簡代數(shù)化后的方程；*（6）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上．2．曲線中基本量的熟練掌握直線：中的斜率；圓：中的圓心與半徑；橢圓：中的的關(guān)系；雙曲線：中的關(guān)系；拋物線：中的焦準(zhǔn)距．例1．的三個頂點分別為、、，求：三角形三邊所在的直線方程．解：，直線的方程：，，直線的方程：，，直線的方程：，例2．求：經(jīng)過點且橫、縱截距的絕對值相等的直線方程．解：設(shè)所求直線方程：（），則橫截距為，縱截距為，由題知：，則或，直線方程：或例3．求：經(jīng)過兩點、且圓心在軸上的圓的方程．解：由圓的圓心在軸上可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，即，則，，圓的方程：．例4．求：經(jīng)過兩點、且以線段為直徑的圓的方程．解：由題知，圓心為線段的中點，即，半徑，圓的方程：．例5．已知：橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，焦距為，短軸長為，求：橢圓的方程．解：橢圓中，，則，橢圓方程：或例6．求：坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率為，長軸長為的橢圓的方程．（或）例7．若雙曲線的一個焦點是，則實數(shù)．例8．若橢圓與雙曲線有共同的焦點、，是兩曲線的一個公共點，則等于（C） A． B． C． D．例9．拋物線過點，則點到此拋物線的焦點的距離為．3．曲線系的運用 斜率為的直線系方程：； 過定點的直線系方程：或；與直線平行的直線系方程：；與直線垂直的直線系方程：； 與雙曲線有共同雙曲線的雙曲線系方程：．例1．求：經(jīng)過與的交點且與原點距離為的直線方程．提示：直線與的交點為，設(shè)過點的直線系方程：或，…（或）例2．求：與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過定點的雙曲線方程．提示：設(shè)所求雙曲線方程：，…（）三．幾何性質(zhì)（定義）的體現(xiàn)例1．求：經(jīng)過點且到點、距離相等的直線的方程．提示：所求直線與直線平行或過線段中點，…例2．已知：直線過點且與軸及軸的正半軸分別交于、兩點，求：（為原點）的面積的最小值及此時直線的方程．提示：當(dāng)點為線段中點時，的面積的最小，…例3．已知：直線：，圓：（1）求證：對于直線與圓都相交；（2）當(dāng)相交的弦長最短時，求：直線的方程．（）提示：直線：過定點，而點在圓內(nèi)，…例4．求：經(jīng)過圓：與圓：的交點且面積最小的圓的方程．（）提示：利用兩個圓的方程得出交點弦的方程，交點弦即為直徑，…例5．已知：直線：與圓：有兩個交點、，當(dāng)時（為坐標(biāo)原點），求：實數(shù)的值．（）（勾股定理、圓系方程、多參方法）例6．點是橢圓上的一點，它到其中一個焦點的距離為2，為的中點，為原點，則（）CA．B．2C．4D．8提示：點、、（另一個焦點）構(gòu)成三角形，是一條中位線，，…例7．已知雙曲線，過其右焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于兩點，為坐標(biāo)原點．若，則雙曲線的離心率為（）DA．B．C．D．提示：由得到，則，…F1F2P例8．求：以橢圓的焦點為焦點，且經(jīng)過直線上一點的橢圓中，長軸最短的橢圓方程．（F1F2P提示：此題可轉(zhuǎn)化為在直線找一點，使得最小例9．已知直線（）與拋物線：相交于兩點，為的焦點，若，求的值．提示：利用拋物線定義，由得到，即為中點，又由為中點得到，從而得到點坐標(biāo)例10．已知：點為圓：上一點，求下列表達(dá)的取值范圍：（１）；（引申：，）（２）；（３）．（；；）四．綜合問題的處理——不是算得多而是寫得多例．已知橢圓過點，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，直線，分別交直線于，兩點,線段的中點為。記直線的斜率為，求證：為定值．解：（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）根據(jù)已知可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，則.直線，的方程分別為：，令，則，∴.∴.寫好基本步驟：設(shè)點坐標(biāo)、聯(lián)立方程、帶入消元、判別式、韋達(dá)定理，強(qiáng)調(diào)步驟、格式書寫清楚．五．三年來的高考題（2023北京理）6.若雙曲線（）的離心率為，則其漸近線方程為BA． B． C． D．（2023北京理）9.在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離等于.（2023北京理）3．曲線（為參數(shù)）的對稱中心（）BA．在直線上B．在直線上C．在直線上D．在直線上（2023北京理）11．設(shè)雙曲線經(jīng)過點，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________．（2023北京理）10．若雙曲線的一條漸近線為，則_______．（2023北京理）11．在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離為________．1（2023年北京卷（理））19．已知：是橢圓：上的三個點，是坐標(biāo)原點.（Ⅰ）當(dāng)點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求此菱形的面積；（Ⅱ）當(dāng)點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由.解：（Ⅰ）菱形的面積是；(=2\*ROMANII)四邊形不可能是菱形.（2023北京理）19．已知：橢圓，（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（Ⅰ）橢圓C的離心率；（Ⅱ）此時直線AB與圓相切。（2023北京理）19．已知橢圓：的離心率為，點和點（）都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標(biāo)（用表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)點Q的坐標(biāo)為或．（2023年北京文）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（）CA． B． C． D．（2023年北京文）若拋物線的焦點坐標(biāo)為，則____；準(zhǔn)線方程為,（2023北京文）7．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為（）BA．7B．6C．5D．4（2023北京文）10．設(shè)雙曲線的兩個焦點為，，一個頂點式，則的方程為．（2023北京文）2、圓心為且過原點的圓的方程是（）DA．B．C．D．（2023北京文）12、已知是雙曲線（）的一個焦點，則．（2023年北京文）直線():相交于,兩點,是坐標(biāo)原點，(1)當(dāng)點的坐標(biāo)為,且四邊形為菱形時，求的長；(2)當(dāng)點在上且不是的頂點時,證明四邊形不可能為菱形．解:(=1\*ROMANI)|AC|=；(=2\*ROMANII)略．（2023北京文）19．已知橢圓：．（