2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理2排列第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握排列的概念。2。理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一排列的定義思考1若A，B，C三名同學(xué)排成一行照相,有哪些站法？請(qǐng)列舉出來(lái)．思考2ABC與ACB是同一種站法嗎？梳理排列的定義從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照____________排成一列，叫作____________________________________________的一個(gè)排列．知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)及排列數(shù)公式思考1從1，2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？思考2從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)（m≤n）元素排成一列，共有多少種不同排法？梳理排列數(shù)排列數(shù)定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n)個(gè)元素的____________，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)________表示排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al（m,n)＝______________________階乘式Aeq\o\al(m,n）＝______________________排列數(shù)的性質(zhì)Aeq\o\al（n，n)＝________；Aeq\o\al(0,n）＝________；0?。?類型一排列的概念例1下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的為________．①選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；②選2個(gè)小組分別去種菜；③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；④從1,2,3,4，5中任取兩個(gè)數(shù)字相除;⑤10個(gè)車站，站與站間的車票．反思與感悟判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的思路跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題．(1）會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法?若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法?(2）從集合M＝{1,2,…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a,b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1?可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1？（3）平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線,這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？類型二列舉法解決排列問(wèn)題例2從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè)不同數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù),寫出所得到的所有的三位數(shù)．反思與感悟在“樹形圖”操作中，先將元素按一定順序排出，然后以安排哪個(gè)元素為首位為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，在每類中再按余下元素在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類，依次一直進(jìn)行到完成一個(gè)排列，這樣就能不重不漏地依照“樹形圖”寫出所有排列．跟蹤訓(xùn)練2A，B,C，D四名同學(xué)排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，試寫出所有排列方法．類型三排列數(shù)及其應(yīng)用命題角度1由排列數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值例3計(jì)算下列各題：(1)Aeq\o\al（3，10)；(2）eq\f（A\o\al(5,9)＋A\o\al（4,9),A\o\al（6,10）－A\o\al(5，10))；(3)eq\f（A\o\al（m－1,n－1)·A\o\al（n－m,n－m)，A\o\al（n－1，n－1））.反思與感悟（1）排列數(shù)公式的逆用：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)（因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)．(2）利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)可利用連乘形式也可利用階乘形式．當(dāng)Aeq\o\al(m,n)中m已知且較小時(shí)用連乘形式，當(dāng)m較大或?yàn)閰?shù)時(shí)用階乘形式．（3）應(yīng)用排列數(shù)公式可以對(duì)含有排列數(shù)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明,化簡(jiǎn)的過(guò)程中要對(duì)排列數(shù)進(jìn)行變形,并要熟悉排列數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系．解題時(shí)的常用變式①n!＝n(n－1）！。②Aeq\o\al（m,n)＝nAeq\o\al（m－1，n－1)。③n·n?。剑╪＋1)！－n!.④eq\f(n－1，n！)＝eq\f(1，n－1?。璭q\f(1，n?。?。跟蹤訓(xùn)練3(1)用排列數(shù)表示（55－n）(56－n)…(69－n)（n∈N＋，且n〈55)＝________;（2）計(jì)算2Aeq\o\al（3,4)＋Aeq\o\al（4,4)＝________.命題角度2與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解引申探究把本例的方程改為不等式“Aeq\o\al(4，2x＋1)<140Aeq\o\al（3,x)”,求它的解集．例4解方程Aeq\o\al（4,2x＋1）＝140Aeq\o\al（3，x）.反思與感悟利用排列數(shù)公式展開即得到關(guān)于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列數(shù)中，故應(yīng)考慮排列數(shù)對(duì)x的制約，避免出現(xiàn)增根．跟蹤訓(xùn)練4不等式Aeq\o\al(x，8）〈6Aeq\o\al(x－2，8)的解集為()A．［2,8] B．［2,6］C．（7，12） D．｛8}1．20×19×18×…×9等于(）A．Aeq\o\al（12,20)B．Aeq\o\al(11,20）C．Aeq\o\al(10,20)D．Aeq\o\al（9,20)2．下列問(wèn)題中屬于排列問(wèn)題的是（)①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5，6，7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④3．從2，3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的結(jié)果有（)A．6個(gè) B．10個(gè)C．12個(gè) D．16個(gè)4．已知Aeq\o\al（2,x)＝30，則x＝________。5．從0,1，2,3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)．(1）能組成多少個(gè)不同的三位數(shù),并寫出這些三位數(shù)；(2）若組成的這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè),并寫出這些三位數(shù)．1．判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題的思路排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān)．這就是說(shuō)，在判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列時(shí),可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問(wèn)題，否則不是排列問(wèn)題．2．關(guān)于排列數(shù)的兩個(gè)公式（1)排列數(shù)的第一個(gè)公式Aeq\o\al（m,n)＝n（n－1)（n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式．在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn),從n起連續(xù)寫出m個(gè)數(shù)的乘積即可．（2）排列數(shù)的第二個(gè)公式Aeq\o\al(m，n)＝eq\f(n!,n－m！)用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí),應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“n、m∈N＋,m≤n”的運(yùn)用．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1ABC，BCA,CAB，ACB，CBA,BAC。思考2不是．梳理一定順序從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素．知識(shí)點(diǎn)二思考14×3×2＝24(個(gè)）．思考2n（n－1）(n－2）…（n－m＋1）種．梳理所有排列的個(gè)數(shù)Aeq\o\al(m,n)n(n－1）（n－2）…(n－m＋1）eq\f(n！，n－m!)(n，m∈N＋,m≤n)n!1題型探究例1①③④⑤跟蹤訓(xùn)練1解（1)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，第二問(wèn)是排列問(wèn)題．“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”問(wèn)題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問(wèn)題．（2)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題,第二問(wèn)是排列問(wèn)題．若方程eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1中，不管a>b還是a<b,方程eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問(wèn)題．(3)確定直線不是排列問(wèn)題，確定射線是排列問(wèn)題．例2解畫出下列樹形圖,如下圖．由上面的樹形圖知，所有的三位數(shù)為123,124，132,134，142,143，213,214，231，234，241，243,312，314,321，324,341,342，412,413,421，423,431，432，共24個(gè)三位數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2解因?yàn)锳不排第一,排第一位的情況有3類（可以從B，C，D中任選一人排)，而此時(shí)兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖．所以符合題意的所有排列是BACD，BADC，BCAD，BCDA,BDAC，BDCA,CABD,CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA。例3解（1）Aeq\o\al(3,10）＝10×9×8＝720。(2)eq\f(A\o\al（5,9）＋A\o\al(4，9）,A\o\al(6,10)－A\o\al（5，10））＝eq\f(9×8×7×6×5＋×9×8×7×6,10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6）＝eq\f（9×8×7×6×5＋1,10×9×8×7×6×5－1）＝eq\f（6，10×4)＝eq\f（3，20）.(3)eq\f（A\o\al（m－1，n－1）·A\o\al（n－m,n－m)，A\o\al(n－1,n－1))＝eq\f(n－1！,［n－1－m－1]！)·（n－m）！·eq\f（1，n－1！）＝1。跟蹤訓(xùn)練3（1)Aeq\o\al（15，69－n）(2)72例4解根據(jù)題意，原方程等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，，x∈N＋，,2x＋1·2x·2x－12x－2,＝140xx－1x－2,)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3,,x∈N＋，，2x＋12x－1＝35x－2，))整理得4x2－35x＋69＝0（x≥3，x∈N＋),解得x＝3（x＝eq\f（23，4）?N＋，舍去)．引申探究解由Aeq\o\al(4，2x＋1)<140Aeq\o\al(3,x）知x≥3且x∈N＋，由排列數(shù)公式，原不等式可化為(2x＋1）·2x·(2x－1)（2x－2）<140x·（x－1）(x－2），解得3<x<eq\f（23，4），因?yàn)閤∈N＋，所以x＝4或x＝5。所以不等式的解集為｛4，5}．跟蹤訓(xùn)練4D當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2。A3.C4.65．解（1)組成三位數(shù)分三個(gè)步驟:第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種