第4章可靠性設計

第四章可靠性設計凌鶴linghe@機電工程學院第四章可靠性設計本章主要內容:

4.1

4.2

4.3

4.4可靠性設計的基本概念零件的可靠性設計機械系統(tǒng)可靠性設計可靠性設計實例可靠性設計的重要意義一個滿意的顧客會告訴8個人，一個不滿意的顧客會告訴20個人，只有可靠的產品才能帶來長期效益和忠誠的顧客！美國的宇宙飛船阿波羅工程有700萬只元器件和零件，參加人數達42萬人，參予制造的廠家達1萬5千多家，生產周期達數年之久?？煽啃詥栴}特別突出。

產品或設備的故障都會影響生產和造成巨大經濟損失。(特別是大型流程企業(yè))研究與提高產品的可靠性是要付出一定代價的。系統(tǒng)可靠性基本術語

（1）

系統(tǒng)（System）一個系統(tǒng)是由一組零件（元件）、部件、子系統(tǒng)或裝配件（統(tǒng)稱為單元）構成的、完成期望的功能、并具有可接受的性能和可靠性水平的一種特定設計。系統(tǒng)實例可靠性定義可靠性：就是指產品在規(guī)定的條件下，在規(guī)定的時間內、產品完成規(guī)定功能的能力。對于一個具體的產品，應按上述各點分別給予具體的明確的定義。產品：指作為單獨研究和分別試驗對象的任何元件、設備或系統(tǒng)，可以是零件、部件，也可以是由它們裝配而成的機器，或由許多機器組成的機組和成套設備，甚至還把人的作用也包括在內?？煽啃远x包括下列四要素：

(1)規(guī)定的條件

一般指的是使用條件，環(huán)境條件。

(2)規(guī)定的時間是可靠性區(qū)別于產品其他質量屬性的重要特征，一般也可認為可靠性是產品功能在時間上的穩(wěn)定程度。

(3)規(guī)定的功能道德要明確具體產品的功能是什么，怎樣才算是完成規(guī)定功能。

(4)具體的可靠性指標值（概率）只是定性的理解是比較抽象的，為了衡量檢驗，后面將加以定量描述。一、可靠性設計的基本概念（1）可靠度Reliability產品在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內完成規(guī)定功能的概率，稱為產品的可靠度，用表示。在上述情況下，產品發(fā)生故障的概率定義為不可靠度，用表示。顯然有：或§4.1可靠性設計的基本概念

有N0個同樣的系統(tǒng)，使它們同時工作在同樣的條件下，從它們開始運行到t時刻的時間內，有Nf(t)個系統(tǒng)發(fā)生故障，Ns(t)個系統(tǒng)工作完好。

因為一個系統(tǒng)發(fā)生故障和無故障是互斥事件，必須滿足R(t)+F(t)=1。故可靠度還可以寫成：系統(tǒng)的不可靠度F(t)可相應地表示為：則該系統(tǒng)t時間的可靠度可表示為：

例如：某種系統(tǒng)(或部件或元件)1000個，工作1000h，有10個發(fā)生故障。我們可以計算出這種系統(tǒng)(或部件或元件)千小時的可靠度為？解：系統(tǒng)的可靠度（2）失效率（故障率）

產品正常工作到某時刻t，在該時刻后單位時間內發(fā)生故障的概率，稱為產品的失效率，用表示。它與可靠度的關系可表示為：

假定N個系統(tǒng)的可靠度為R(t)，在t時刻到t+Δt時刻的失效數為N［R(t)-R(t+Δt)］。那么，單位時間內的失效數為N［R(t)-R(t+Δt)］/Δt。t時刻完好系統(tǒng)數為NR(t)。于是，失效率λ(t)可以用下式表示：

例如：今有100個零件，已工作了6年，工作滿5年時共有3個失效，工作滿6年時共有6個失效。試計算這批零件工作滿5年時的失效率。解：時間以年為單位，Δt=1年三種失效率函數下降定值增長

實際中特別重要的情況是產品在很長一段時間內故障率接近常數，此時三種失效率函數形態(tài)遞減型失效率曲線恒定型失效率曲線遞增型失效率曲線失效率曲線耗損失效期t時間偶然失效期早期失效期使用壽命規(guī)定的失效率λ(t)失效率AB故障率曲線分析“浴盆曲線”

(a)早期故障期：產品早期故障反映了設計、制造、加工、裝配等質量薄弱環(huán)節(jié)。早期故障期又稱調整期或鍛煉期，此種故障可用廠內試驗的辦法來消除。故障率曲線分析

(b)正常工作期：在此期間產品故障率低而且穩(wěn)定，是設備工作的最好時期。在這期間內產品發(fā)生故障大多出于偶然因素，如突然過載、碰撞等，因此這個時期又叫偶然失效期。可靠性研究的重點，在于延長正常工作期的長度。

故障率曲線分析(c)損耗時期：零件磨損、陳舊，引起設備故障率升高。如能預知耗損開始的時間，通過加強維修，在此時間開始之前就及時將陳舊損壞的零件更換下來，可使故障率下降，也就是說可延長可維修的設備與系統(tǒng)的有效壽命。故障率的單位一般采用10-5小時或10-9小時(稱10-9小時為1fit)。故障率也可用工作次數、轉速、距離等。（3）故障密度函數

故障密度函數定義為不可靠度的導數，即

則或（4）平均壽命MTTF或MTBF

對于不可修復的產品而言，平均壽命就是平均無故障工作時間MTTF。它是指不可修復產品在發(fā)生故障前的平均工作時間。

對于可修復的產品，平均壽命就是平均故障間隔時間MTBF。它是指可修復產品在兩次故障間的平均工作時間。定義：指產品從投入運行到發(fā)生失效的平均工作時間。平均壽命通俗表達：平均壽命與可靠度有如下關系：例：設有5個不可修復產品進行壽命試驗，它們發(fā)生失效的時間分別是1000h、1500h、2000h、2200h、2300h，求它們MTTF的觀測值參考答案1800h(5)

平均故障間隔時間描述可靠性的另一個重要參數稱為平均故障間隔時間MTBF或平均無故障時間(也稱為故障前平均時間)MTTF。前者用來描述可修復的產品；后者用于描述不可修復產品。一般情況下，通常都用MTBF來表示：例如:1000臺微型計算機，運行1000h，累計出現(xiàn)10次故障，則這種微型機的MTBF計算如下：（6）平均修復時間和利用率平均維修時間和利用率則又從另一角度來描述一個系統(tǒng)(或部件或元器件)的可靠性。對一臺微型機來說，當它出現(xiàn)故障時是可以進行維修的。

為了表征系統(tǒng)的可維修性，引入平均修復時間MTTR。它也是一個統(tǒng)計值，用下式表示：

系統(tǒng)的可用性通常用利用率來表示。利用率就是系統(tǒng)長時間工作中正常工作的概率，也就是系統(tǒng)的使用效率，利用率A用下式表示：（7）維修度

維修度是指產品在規(guī)定的條件下維修時，在規(guī)定的時間內，使產品保持或恢復到規(guī)定功能的概率。它反映了產品維修的難易程度。（8）平均修復時間MTTR

排除產品故障所需的平均時間，稱為產品的平均修復時間。（9）修復率

修復率分為瞬時修復率和平均修復率。瞬時修復率是指正在修理的產品在某時刻t之后，單位時間內恢復其規(guī)定功能的概率。平均修復率的定義為(10)重要度若干個部件組成的系統(tǒng)中，每個部件并非等同重要，在可靠性分析中，一般將各部件在系統(tǒng)中所起的重要程度進行定量描述，用wj表示。

顯然，0≤wj≤1。這個重要度是從系統(tǒng)的結構來看部件的重要程度，因此它是結構重要度。

(11)有效度

對于可修復產品，只考慮其發(fā)生故障的概率顯然是不合適的，還應考慮被修復的可能性，衡量修復可能性的指標為維修度，用A(t)表示。

1)瞬時有效度2)平均有效度二、可靠性指標可靠性指標定義單位可靠度R(t)產品在規(guī)定條件下，規(guī)定的時間內，完成規(guī)定任務的概率%故障率(瞬時故障率，失效率)λ(t)在某時刻以前工作起來的產品，在繼續(xù)的單位時間內，產生故障的比例%/103h;非特(Fit)=10-9/h平均故障間隔時間(MTBF)對于可修復的產品，兩相鄰故障間的工作時間的平均值時間維修度可以維修的產品，在規(guī)定的條件下，規(guī)定的時間內，完成維修的概率%平均修復時間(MTTR)修復性維修所需要的時間的平均值時間平均維護時間(MTTM)對可維修產品，維護所需時音質平均值時間平均能工作時間(MUT)能工作時間的平均值時間可用度A(t)可以維修的產品，在某特定的瞬間，維持其功能的概率%三、可靠性指標示例使用條件修理的可能性維護種類產品例可靠性指標例連續(xù)使用可修復預防性維護電子計算機武器、車輛、飛機、生產設備、雷達、載波機平均故障間隔時間耐用壽命有效度事后維護實施用電氣用具和機械器具，電視機平均故障間隔時間耐用壽命早期失效率（一年）不可修復使用到耗損故障期電子元器件、機械零部件、一般消費用具失效率平均壽命失效分布形狀及其參數使用一定時間后棄去實行預防性維護的設備的元器件和零部件，使用期比平均壽命長的元器件、零部件失效率更新壽命失效分布形狀及其參數突然使用可修復預防性維護過負荷繼電器成功率不可修復雷管、炮彈、導彈成功率四、結構可靠性問題中幾種最常用分布1、均勻分布2、指數分布

指數分布在可靠性領域里應用最多，由于它的特殊性，以及在數學上易處理成較直觀的曲線，故在許多領域中首先把指數分布討論清楚。若產品的壽命或某一特征值t的故障密度為

(λ＞0，t≥0)

則稱t服從參數λ的指數分布。指數分布則有：不可靠度(t≥0)

可靠度(t≥0)失效率（故障率）

平均故障間隔時間

例：一元件壽命服從指數分布，其平均壽命(θ)為2000小時，求失效率λ及求可靠度R

(100)=?R(1000)=?解：(小時-1)

此元件在100小時時的可靠度為0.95，而在1000小時時的可靠度為0.60。指數分布性質指數分布的一個重要性質是無記憶性。無記憶性是產品在經過一段時間t0工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作壽命相同的分布，而與t無關(馬爾克夫性)。這個性質說明，壽命分布為指數分布的產品，過去工作了多久對現(xiàn)在和將來的壽命分布不發(fā)生影響。實際意義?在“浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時段的。3、Ⅰ型極大值分布的分布4、韋布爾分布5、正態(tài)分布正態(tài)分布在機械可靠性設計中大量應用，如材料強度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以判斷其分布的場合。若產品壽命或某特征值有故障密度

(t≥0，μ≥0，σ≥0)

則稱t服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布則有：不可靠度可靠度

故障率

正態(tài)分布計算可用數學代換把上式變換成標準正態(tài)分布，查表簡單計算,得出各參數值。

6、對數正態(tài)分布Y可視為具有以上條件均值和條件標準差的正態(tài)分布

§4.2系統(tǒng)可靠性設計系統(tǒng)可靠度決定于兩個因素：一、零件本身的可靠度。二、彼此組合形式。F/A-18A飛機的基本可靠性框圖1、串聯(lián)系統(tǒng)一、典型系統(tǒng)的可靠性模型

組成系統(tǒng)的所有單元中，任一單元發(fā)生故障均會導致整個系統(tǒng)發(fā)生故障，且組成系統(tǒng)的各個單元的可靠性相互獨立，這樣的系統(tǒng)稱為串聯(lián)系統(tǒng)。下圖為由n個單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)的邏輯框圖。設各構成部件的可靠度分別為則串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為：若各部件的可靠度相等均為，則上式可寫成：例：由4個單元串聯(lián)組成的系統(tǒng)，單元的可靠度分別為：RA=0.9

RB

=0.8

RC=0.7

RD=0.6,求系統(tǒng)的可靠度

RS。RS=0.6=0.3024

2、并聯(lián)系統(tǒng)

組成系統(tǒng)的所有部件，只要有一個部件不發(fā)生故障，系統(tǒng)便能正常工作，這樣的系統(tǒng)稱為并聯(lián)系統(tǒng)。并聯(lián)系統(tǒng)的邏輯框圖設各構成部件的可靠度分別為則并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為若各構成部件的可靠度相等均為R，則上式可寫成例：4個單元組成的并聯(lián)系統(tǒng)，可靠度分別為RA=0.9，

RB

=0.8，

RC=0.7

RD=0.6,求

RS=?RS

=1(1Ri)=1(10.9)(10.8)(10.7)(10.6)=0.9976例：某飛機由3臺發(fā)動機驅動。只要有一臺發(fā)動機工作，飛機就不墜落。各臺發(fā)動機的失效率分別為：0.01%/小時；0.02%/小時；0.03%/小時。每航行一次飛行10小時。試預測此飛機的可靠度。3、串并聯(lián)組合系統(tǒng)系統(tǒng)中部分組成是串聯(lián)的，部分組成是并聯(lián)的，稱這樣的系統(tǒng)為串并聯(lián)組合系統(tǒng)。對于任意串并聯(lián)組合系統(tǒng)，均可簡化為如下圖所示的一般形式。

設為各分系統(tǒng)的可靠度。則總系統(tǒng)之可靠度為：4、表決系統(tǒng)(n中取r系統(tǒng))設有一個由按n個單元組成的系統(tǒng)，其中任意r個或r個以上正常工作系統(tǒng)就能正常工作。稱為n中取r系統(tǒng)。其可靠性度為：例：設有一架裝有3臺發(fā)電機的飛機，它至少需要2臺發(fā)動機正常工作才能飛行，假定飛機的事故僅由發(fā)動機引起，而且在整個飛行期間失效率為常數，其MTBF=2000小時，試計算工作時間為20小時和100小時的飛機可靠度。解：5、系統(tǒng)可靠性預計和分配系統(tǒng)可靠性預計和分配是可靠性設計的重要任務之一，它在系統(tǒng)設計的各階段（如方案論證、初步設計及詳細設計階段）要反復進行多次。可靠性預計和分配

預計是根據系統(tǒng)的元件、部件和分系統(tǒng)的可靠性來推測系統(tǒng)的可靠性。

是一個局部到整體、由小到大、由下到上的過程，是一種綜合的過程。

分配是把系統(tǒng)規(guī)定的可靠性指標分給子系統(tǒng)、部件及元件，使整體和部分協(xié)調一致。是一個由整體到局部、由大到小、由上到下的過程，是一種分解的過程。

系統(tǒng)可靠性分配的目的根據系統(tǒng)設計任務書中規(guī)定的可靠性指標，按一定的方法分配給組成系統(tǒng)的分系統(tǒng)、設備和元器件，并寫入與之相對應的設計任務書。其目的是使各級設計人員明確其可靠性設計要求，并研究實現(xiàn)這個要求的可能性及辦法

可靠性目標比較更改設計系統(tǒng)可靠性指標分配給分系統(tǒng)分配給元部件技術條件系統(tǒng)可靠性預計分系統(tǒng)可靠性預計元件可靠性預計可靠性、維修型、安全性分析可靠性維修型安全性評估調研常用的分配方法有等分配法、評分分配法、比例組合法等。1)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度分配單元的可靠度：Ri=(Rs)1/n2)并聯(lián)系統(tǒng)可靠度分配單元的可靠度：Ri=1-(1-Rs)1/n當考慮到重要度和復雜度時，就要對分配模型中綜合考重要度和復雜度的參數值。系統(tǒng)的可靠性分配§4.3機械系統(tǒng)可靠性設計

機械系統(tǒng)可靠性設計由于產品的不同和構成的差異，可以采用的可靠性設計方法有：預防故障設計：簡化設計：降額設計和安全裕度設計：余度設計：耐環(huán)境設計：人機工程設計健壯性設計概率設計法權衡設計模擬方法設計機械產品可靠性的特點機械產品的失效主要是耗損型失效（例如疲勞、老化、磨損、腐蝕和強度退化等），而電子產品的失效主要是由于偶然因素造成的。耗損型失效的失效率隨時間增長，所以機械產品的失效率隨時間的變化一般不是恒定值，符合這一特性的分布有正態(tài)分布、韋布爾分布、對數正態(tài)分布和極值分布等。機械產品的失效模式很多，甚至同一零部件有多種重要的失效模式。機械產品的組成零部件多是非標準件，其失效統(tǒng)計值分散，造成失效數據的統(tǒng)計困難，象電子產品那樣預計其失效率很困難機械產品的不同失效模式之間往往是相關的，在進行可靠性分析時需要考慮失效模式相關性。機械產品可靠性工作的特點強調根據以往的工程實踐經驗為基礎制定可靠性設計準則并指導機械產品的可靠性設計。結合失效模式分析提出適于某機械產品的可靠性設計準則，供該產品研制設計時使用。注重失效模式分析，以防止出現(xiàn)失效為設計宗旨。對可靠性關鍵件和重要件進行概率設計根據經驗數據或FMEA（FailureModeandEffectsAnalysis）方法確定產品的可靠性關鍵件和重要件及其相應的失效模式，然后針對其主要失效模式進行概率設計，如靜強度概率設計、疲勞和斷裂概率設計、磨損和腐蝕概率分析設計等，確保關鍵件和重要件的可靠性達到設計要求。注意產品的維修性和使用操作問題。機械產品可靠性工作特點在產品研制過程中重視可靠性試驗對保證產品可靠性的作用必要時需進行現(xiàn)場可靠性試驗，或收集使用現(xiàn)場的失效信息對于復雜的機械產品由于體積大、成本高、費用高等原因不能進行可靠性試驗，這時可采用較低層次（子系統(tǒng)、部件、組件或零件）的可靠性試驗，然后綜合試驗結果、應力分析結果和類似產品的可靠性數據及產品現(xiàn)場使用的情況，對其可靠性進行綜合評價。應力-強度分布干涉理論應力-強度分布干涉理論是以應力-強度分布干涉模型為基礎的，該模型可清楚地揭示機械零件產生故障而有一定故障率的原因和機械強度可靠性設計的本質。應力：產品的工作值，如應力、壓力、力、載荷、變形量、磨損量、溫度等，常用s表示。強度：產品能承受這些工作值的能力，用δ表示。應力—強度干涉理論在機械產品中，零件（部件）是正常還是失效決定于強度和應力的關系。當零件（部件）的強度大于應力時，其能夠正常工作；當零件（部件）的強度小于應力時，其發(fā)生失效。因此，要求零件（部件）在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內能夠承載，必須滿足以下條件

δ

>s機械產品的可靠度可以說成是機械產品的強度大于施加于該產品的應力的概率。實際工程中的應力和強度都是呈分布狀態(tài)的隨機變量，把應力和強度的分布在同一坐標系中表示零件的強度值與應力值的離散性，使應力-強度兩概率密度函數曲線在一定的條件下可能相交，這個相交的區(qū)域就是產品或零件可能出現(xiàn)故障的區(qū)域，稱為干涉區(qū)。這種根據應力和強度干涉情況，計算干涉區(qū)內強度小于應力的概率（失效概率）的模型，稱為應力——強度干涉模型。在應力——強度干涉模型理論中，根據可靠度的定義，強度大于應力的概率可表示為應力－強度干涉模型（1）、如圖中所示的相交的區(qū)域，即干涉區(qū)域，就是產品可能發(fā)生故障的區(qū)域。（2)、在安全系數大于1的情況下仍然會存在一定的不可靠度。材料機械性能統(tǒng)計和概率分布載荷統(tǒng)計和概率分布應力計算應力統(tǒng)計和概率分布強度計算強度統(tǒng)計和概率分布機械強度可靠性設計幾何尺寸分布和其他隨機因素干涉模型機械強度可靠性設計過程框圖下面要解決的三個問題1）知道了零件的應力和強度的分布后，如何求零件的可靠度。2）一般的安全系數與可靠度意義下的安全系數的區(qū)別。3）一般機械零件設計的可靠度設計？問題一、知道了應力和強度的分布，求零件的可靠度？

1、特殊情況（公式法）：

1）應力和強度均為正態(tài)分布時的可靠性計算當應力S和強度δ均為正態(tài)分布時，則它們的差也是正態(tài)分布，且有不可靠度為：化成標準正態(tài)分布，令則當y＝0時令可靠度為將應力分布參數、強度分布參數和可靠度三者聯(lián)系起來了，故稱為聯(lián)結方程，它是可靠性設計的基本公式，zR稱為可靠性因數或可靠性指標。當強度和應力的均值相等時，可靠度等于0.5當強度均值大于應力的均值時，方差越大，可靠度越小。討論2）當應力和強度均為對數正態(tài)分布時可靠性計算設隨機變量s和δ服從對數正態(tài)分布，即它們對數lns和lnδ服從正態(tài)分布，它們的均值和標準差分別為：

分別是lns和lnδ的均值和標準差，即正態(tài)分布下的均值和標準差分別是變量S和δ的均值和標準差，則他們之間具有下列關系：服從正態(tài)分布當應力和強度均為對數狀態(tài)分布時，有：則變量y的均值和標準差分別為：知道了的均值標準差為和正態(tài)分布一樣，化成標準正態(tài)分布。令令則則有例題例1：已知汽車某零件的工作應力及材料強度均為正態(tài)分布，且應力的均值μs=380MPa,標準差σs=42MPa，材料強度的均值為850MPa,標準差為81MPa。試確定零件的可靠度。另一批零件由于熱處理不佳及環(huán)境溫度的較大變化，使零件強度的標準差增大至120MPa.問其可靠度又如何？解：利用聯(lián)結方程查標準正態(tài)分布值，得R=0.9999999.當強度的標準差增大到120MPa時，查標準正態(tài)分布值，得R=0.99989.2、概率密度函數聯(lián)合積分法（一般情況）上述兩事件相互獨立，同時發(fā)生的概率應當是它們的積：即應力落在小區(qū)間ds內的可靠度為dR應力s0處于ds區(qū)間內的概率為應力落在整個區(qū)間（－∞，＋∞）的概率R為同理還可以推出另一個對稱的公式應力落在小區(qū)間ds內的可靠度dR為：例：當應力和強度均為指數分布時83由于指數分布的強度和應力的均值分別為所以可靠度為：問題二：可靠性安全系數

（1)傳統(tǒng)的安全系數傳統(tǒng)的設計以安全系數確定構件的尺寸，僅僅以強度均值與應力均值之比作為安全系數，忽視了強度的波動(σδ的變化)以及應力的波動(σs的變化)，這種設計不能確切地反映結構的可靠性。

（2）可靠度安全系數

用最小強度與最大應力之比表示安全系數

概率設計條件下的安全系數n為：（在一定可靠度下）最小的強度δmin與最大的應力Smax之比，即假定當應力和強度均為正態(tài)分布,方差相等,且n=1時,有則在強度和應力的可靠度分別為Rδ和Rs時的安全系數nR，稱為可靠度意義下的安全系數，用下式表示：可靠度意義下的安全系數例，當時例1在結構件的設計中，已知強度與應力均服從正態(tài)分布，二批材料強度的均值都為μδ

=500OOMPa。由于材料內在質量有所差別，強度的標準差不同，分別為=1000MPa和12000Mpa，二批材料應力的均值為μS=300O0MPa,應力標準差均為σs=3000MPa。請分別計算平均安全系數和可靠度。解：平均安全系數為：可靠度為：例2某汽車零件，其強度和應力均服從正態(tài)分布，強度的均值和標準差分別為:=350N/mm2、σδ=30N/mm2，應力的均值和標準差分別為:=310N/mm2、σS=10N/mm2，試計算該零件的安全系數、可靠度和“3σ”可靠度意義下的安全系數?解：(1)依照傳統(tǒng)設計的方法，其安全系數應當為(2)如果該零件按照概率設計方法，則計算可靠度得到（3）“R3σ”可靠性含義下的安全系數：問題三：零件的可靠度設計（1）零件設計中的強度和應力分布材料的靜強度分布試驗證明，一般材料的強度極限、屈服極限、延伸率和硬度等均符合正態(tài)分布?？刹楸淼玫?。應力分布取決于力和尺寸的分布一般認為，力為正態(tài)分布，均值和方差由試驗確定而尺寸也為正態(tài)分布，均值與公稱尺寸相同，標準差為公差Δ的1/3,即：（以上假設與事實基本相符，略偏安全）機械可靠性設計的基本原理和方法就在于如何把應力分布、強度分布和可靠度在概率的意義下聯(lián)系起來，構成一種設計計算的依據。例：實心圓桿拉伸應力齒輪齒根的彎曲應力

式中：F為力，r為圓桿半徑，h為齒輪高度，b為齒輪寬度，t為齒輪厚度公式中的力F、尺寸r、h、b、t都是隨機變量，如果知道了這些變量的分布或統(tǒng)計特征值，如何求得應力s的特征值？一般將強度和應力都近似為正態(tài)分布或對數正態(tài)分布，這樣關鍵是求它們的均值和標準差已知各隨機變量的均值和標準差，求隨機變量函數均值和標準差的方法主要有泰勒展開法、變異系數法、基本函數法等?；竞瘮敌问降慕y(tǒng)計特征值函數期望標準差根據零件的可靠度設計零件(計算零件主要尺寸）

零件設計的一般過程是先按經驗設計（確定尺寸），再檢驗可靠度，但也有相反的情況。例如：

設有圓形拉桿，已知受載荷均值和標準差為材料的拉伸強度的均值和標準差為，

求在可靠度R＝0.99條件下的最小半徑的零件的可靠度設計例：

已知圓管受載荷均值和標準差為材料的拉伸強度的均值和標準差為，求在可靠度R＝0.99條件下的最小半徑

取公差尺寸為其名義尺寸的0.015倍，即,同時取公差為3σ水平，即拉桿斷面積均值和方差為：（1）（3）（2）解設應力、強度和可靠度均為正態(tài)分布。桿件的拉伸應力公式為：s=Q/A,而A=2πr2,為求A的標準差，先要確定r的標準差零件的可靠度設計例4續(xù)解

設桿件的拉伸應力的均值為：（6）（5）（4）所以有當可靠度R＝0.99時，查標準正態(tài)分布表可得ZR＝2.33，