第2章-信號與噪聲

第2章信號與噪聲本章主要內(nèi)容預備知識:信號與系統(tǒng)、卷積和相關(guān)1、信號的頻譜分析2、卷積和相關(guān)3、信號通過線性系統(tǒng)4、隨機信號及頻譜分析5、噪聲信號分類（預備知識）數(shù)字信號和模擬信號周期信號和非周期信號確定信號和隨機信號確定信號：可以用確定的時間函數(shù)來表示；隨機信號：不能用確定的時間函數(shù)來表示，但具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性。信號分類（續(xù)）能量信號和功率信號功率：電壓u(t)或電流i(t)在電阻R上的瞬時功率。其歸一化功率為：p（t）=f2（t）， 其中f（t）為電壓或電流信號。能量：功率對時間的積分。P=0E=∞能量信號：指的是一個有界的、持續(xù)時間有限的信號，信號能量為有限值，全部時間的平均功率為零。功率信號：周期信號在正負無窮大的全部時間內(nèi)存在，因此它有無限的能量，但是它的平均功率為有限值。一般說來，周期信號都是功率信號，非周期信號或是能量信號或是功率信號，或者既非能量信號又非功率信號。系統(tǒng)分類線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時不變和時變系統(tǒng)1、信號的頻譜分析（確知信號）（1）周期信號的傅里葉級數(shù)復指數(shù)形式（通信中廣泛應用，是傅里葉變換的基礎(chǔ)）【例】幅度為A，寬度為τ，周期為T的脈沖序列，用指數(shù)傅立葉級數(shù)展開。周期信號的頻譜特點：頻譜（幅度譜）是離散的，脈沖周期越長，譜線間隔越小。（2）非周期信號的傅里葉變換非周期信號可以看成是周期T為無窮大的信號?！纠壳髨D示脈沖的頻譜解:（3）信號的能量譜密度與功率譜密度能量譜密度結(jié)論：信號的能量在時域和頻域是守恒的。為什么要截短？（4）常用信號的傅里葉變換正弦和余弦信號2、卷積和相關(guān)（1）卷積時域卷積定理頻域卷積定理（2）相關(guān)設(shè)兩個信號f1(t)和f2(t)

，如果f1(t)和f2(t)不同，是互相關(guān)積分。f1(t)和f2(t)相同，是自相關(guān)積分。相關(guān)是不可交換的，即對于實信號，f*(t)=f(t)，

卷積和相關(guān)的對比 卷積關(guān)系表明一個函數(shù)和另一個折疊函數(shù)的相關(guān)關(guān)系。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1）能量信號的自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號的能量2）對所有τ有

3、信號通過線性系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏敚核^不失真?zhèn)鬏?是指信號經(jīng)過線性系統(tǒng)后,輸出信號r(t)與輸入信號f(t)相比較只是有衰減、放大和時延,而沒有波形的失真。用數(shù)學式表示信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真,要求系統(tǒng)應具備以下兩個條件:

(1)系統(tǒng)的幅頻特性應該是一個不隨頻率變化的常數(shù)。

(2)系統(tǒng)的相頻特性應與頻率成直線關(guān)系。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件要求系統(tǒng)帶寬無限寬。顯然這樣的系統(tǒng)在物理上是不可實現(xiàn)的。 實際中，信號能量總是隨著頻率的增高而減小，因此，只要系統(tǒng)允許信號絕大多數(shù)能量通過，就認為該系統(tǒng)能實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敗?補充)信號帶寬的常用定義3dB帶寬3dB帶寬：指的是比峰值功率小3dB（就是峰值的50％）的頻譜范圍的帶寬；6dB帶寬同上，6dB對應的是峰值功率的25％。當計算A的功率相比于B大或小多少個dB時，可按公式10lgA／B計算。例如：A功率比B功率大一倍，那么10lgA／B＝10lg2＝3dB，也就是說，A的功率比B的功率大3dB。4、隨機信號分析確定信號信號在指定時間取值為一定值。隨機信號信號參數(shù)不確定，不能預先確定信號在任意時刻的取值，取值具有隨機性。（1）隨機過程無窮多隨機函數(shù)的總體在統(tǒng)計學上稱為隨機過程。每一個隨機函數(shù)叫做隨機過程的一個樣本函數(shù)或者一次實現(xiàn)。無窮多隨機函數(shù)的總體在統(tǒng)計學上稱為隨機過程。每一個隨機函數(shù)叫做隨機過程的一個樣本函數(shù)或者一次實現(xiàn)。（1）隨機過程（2）平穩(wěn)隨機過程（補充）隨機過程的統(tǒng)計特性分布函數(shù)和概率密度函數(shù)了解隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)F(x1,t)的定義；二維分布函數(shù)F(x1,x2,t1,t2)的定義。了解隨機過程X(t)的一維概率密度函數(shù)p(x1,t)的定義；二維概率密度函數(shù)p(x1,x2,t1,t2)的定義。分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的定義一維概率分布函數(shù)為：一維概率密度函數(shù)可以定義為：一維概率分布和密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在某個時刻上的統(tǒng)計分布特性，不能反映隨機過程在不同時刻取值間的關(guān)聯(lián)程度。X(t1)為隨機過程X(t)在t=t1時刻的取值。N維分布和概率密度函數(shù)的定義n維概率分布函數(shù)為：n維概率密度函數(shù)可以定義為：隨著n的增大，隨機過程描述得就越充分，可問題的復雜性也隨之增加，一般掌握二維就足夠了。

隨機過程X(t)，如果它的n維概率密度函數(shù)pn(x1,x2,……,xn；t1,t2,…tn)與時間起點的選擇無關(guān)，對于任何n和τ，X(t)的n

維概率密度函數(shù)滿足

pn(x1,x2,…，xn;t1,t2,…tn) =pn(x1,x2,…，xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)稱為平穩(wěn)隨機過程。對于某個n值成立，稱為n

階平穩(wěn)隨機過程。若對所有階都是平穩(wěn)的，則稱為嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。本書只討論廣義平穩(wěn)隨機過程，特點：一維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)；二維概率密度函數(shù)只與時間差有關(guān)。數(shù)字特征：統(tǒng)計平均和時間平均統(tǒng)計平均1、數(shù)學期望mX是時間t的函數(shù)，它表示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心，又叫均值。（3）隨機過程的數(shù)字特征2、均方值3、方差方差等于均方值與數(shù)學期望平方之差，表示隨機過程在時刻t對于均值的偏離程度。隨機過程的數(shù)學期望和方差都只是與隨機過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，不能反映隨機過程在任意兩個時刻之間的內(nèi)在聯(lián)系；為了定量地描述隨機過程的內(nèi)在聯(lián)系特征（即在任意兩個不同時刻上的取值之間的相關(guān)程度），引入自相關(guān)函數(shù)。4、自相關(guān)函數(shù)

設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機過程X(t)在t1和t2的狀態(tài)，p(x1,x2;t1,t2)=p(x1,x2;τ)是相應的二維概率密度函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)的定義： 時間平均：隨機過程X(t)的某一特定實現(xiàn)，對時間求平均。設(shè)x(t)是隨機過程X(t)的一個典型的樣本函數(shù)。

1）平均值（直流分量）

2）均方值（總平均功率）

3）方差（交流功率）4）自相關(guān)函數(shù)樣本函數(shù)x(t)的時間自相關(guān)函數(shù)定義為：當τ=0時例：設(shè)隨機變量在（0，2）內(nèi)均勻分布，求Asin的數(shù)學期望和方差，其中A為常數(shù)。例：求隨機相位信號的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和功率。（是否為平穩(wěn)隨機過程）（4）平穩(wěn)隨機過程的遍歷性設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程，如果它的統(tǒng)計平均可用時間平均來代替，它的統(tǒng)計方差可用時間方差來代替，它的統(tǒng)計自相關(guān)函數(shù)也可用時間自相關(guān)函數(shù)來代替，則稱該平穩(wěn)隨機過程具有遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)）。平穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數(shù)都經(jīng)歷了隨機過程的各種可能狀態(tài)，每個實現(xiàn)可代替整個隨機過程。一般隨機信號和噪聲都滿足遍歷條件。（5）隨機過程的功率譜對于確知信號，通過傅里葉變換可用頻譜來描述，但對于隨機信號和噪聲，由于每一個樣本函數(shù)都是在整個事件域內(nèi)存在的，因此屬于功率信號，不能直接用傅里葉變換進行頻譜分析，但可以用功率譜來描述，它和自相關(guān)函數(shù)也是一對傅立葉變換。隨機信號分析時域分析（自相關(guān)函數(shù)）頻域分析（功率譜密度）例已知平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，求該平穩(wěn)隨機過程的功率譜。解：練習若信號，試求其自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、信號功率P。定義：1、輸出過程Y(t)的數(shù)學期望（6）隨機過程通過線性系統(tǒng)2、Y(t)的功率譜：5、噪聲（1）噪聲的分類：按來源分:自然噪聲、人為噪聲、電路噪聲；按特征分：脈沖型噪聲和連續(xù)型噪聲；按譜形狀分：白噪聲和有色噪聲；按對信號作用的方式分：加性和乘性噪聲；按概率密度函數(shù)分：分布服從高斯分布就稱它為高斯噪聲；所謂白噪聲是指功率譜密度函數(shù)在整個頻率軸上服從均勻分布的一類噪聲。功率譜密度：單位是W/Hz（單邊功率譜密度？）自相關(guān)函數(shù)：（2）白噪聲白噪聲是一個理想化模型，實際中，只要噪聲頻譜比所研究的系統(tǒng)頻帶寬得多，并且功率譜在系統(tǒng)帶寬范圍內(nèi)接近常數(shù)，就可以做為白噪聲處理。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)僅在等于0時才不為零，而對于其它任意的時刻，自相關(guān)函數(shù)都為零，所以它在任意兩個時刻上的隨機變量都是不相關(guān)的。(補充高斯過程)若隨機過程X(t)的任意n維分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。高斯過程在任一時刻的樣值是一個高斯隨機變量，一維概率密度函數(shù)如下：定義：白噪聲的概率密度函數(shù)服從高斯分布（正態(tài)分布）。

（3）高斯白噪聲標準正態(tài)分布當a=0，時，為標準正態(tài)分布。（4）窄帶高斯噪聲當高斯白噪聲通過一個窄帶系統(tǒng)，其輸出噪聲集中在中心頻率附近的帶寬W內(nèi)，這種噪聲稱為窄帶噪聲。窄帶系統(tǒng)是指帶寬W遠遠小于其中心頻率的系統(tǒng)。大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶的，可用一個帶通濾波器模擬。

將一段時間長度的高頻信號的峰值點連線，就可以得到上方（正的）一條線和下方（負的）一條線，這兩條線就叫包絡(luò)線。包絡(luò)線就是反映高頻信號幅度變化的曲線。對于等幅高頻信號，這兩條包絡(luò)線就是平行線。

緩慢變化的包絡(luò)頻率近似為根據(jù)窄帶噪聲特點，可以定義如下：其中：同相分量正交分量的性質(zhì)：123例1：設(shè)RC低通濾波器如圖所示，當輸入均值為0，雙邊功率譜密度為n0/2的白噪聲時，求輸出噪聲功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解（1）低通濾波器的傳輸特性為：由隨機過程通過線性系統(tǒng)的性質(zhì)可知：例2:將一個均值為0，功率譜密度為的高斯白噪聲加到一個帶寬為B，中心角頻率為（遠大于B）的理想