高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)23

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（二十三）(建議用時(shí)：45分鐘)[達(dá)標(biāo)必做]一、選擇題1．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是()A．相離 B．相切C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心【解析】易知直線過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，但是直線不過圓心(0,0)．【答案】C2．若PQ是圓x2＋y2＝9的弦，PQ的中點(diǎn)是A(1,2)，則直線PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】結(jié)合圓的幾何性質(zhì)知直線PQ過點(diǎn)A(1,2)，且和直線OA垂直，故其方程為：y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】B3．(2023·安徽高考)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(b,4)，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化簡(jiǎn)得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.【答案】D4．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦長(zhǎng)公式l＝2eq\r(r2－d2)，可知圓心到直線的距離d＝eq\r(2)，即eq\f(|a－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，解得a＝0或4.【答案】D5．圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0過點(diǎn)(－1,0)的最大弦長(zhǎng)為m，最小弦長(zhǎng)為n，則m－n＝()A．10－2eq\r(7) B．5－eq\r(7)C．10－3eq\r(3) D．5－eq\f(3\r(2),2)【解析】圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圓心(2，－3)到(－1,0)的距離為eq\r(0＋32＋－1－22)＝3eq\r(2)<5.∴最大弦長(zhǎng)為直徑，即m＝10，最小弦長(zhǎng)為以(－1,0)為中點(diǎn)的弦，即n＝2eq\r(25－3\r(2)2)＝2eq\r(7).∴m－n＝10－2eq\r(7).【答案】A二、填空題6．直線x－y＝0與圓(x－2)2＋y2＝4交于點(diǎn)A、B，則|AB|＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09960140】【解析】圓心到直線的距離d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，半徑r＝2，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)7．(2023·煙臺(tái)高一檢測(cè))圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)有________個(gè)．【解析】圓的方程可化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距為d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2).又圓的半徑為2eq\r(2)，所以到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)有3個(gè)．【答案】3三、解答題8．過點(diǎn)A(1,1)，且傾斜角是135°的直線與圓(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置關(guān)系？若相交，試求出弦長(zhǎng)．【解】因?yàn)閠an135°＝－tan45°＝－1，所以直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2－2|,\r(2))＝eq\r(2)＜r＝2eq\r(2)，所以直線與圓相交．弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－2)＝2eq\r(6).9．已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)．(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|＝2eq\r(19)時(shí)，求直線l的方程．【解】(1)設(shè)圓A的半徑為r，∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5)，∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，則直線l的方程x＝－2，此時(shí)有|MN|＝2eq\r(19)，即x＝－2符合題意．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中點(diǎn)，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|MN|))2＝r2，又∵|MN|＝2eq\r(19)，r＝2eq\r(5)，∴|AQ|＝eq\r(20－19)＝1，解方程|AQ|＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4)，∴此時(shí)直線l的方程為y－0＝eq\f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.綜上所述，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑戰(zhàn)]10．直線y＝x＋b與曲線x＝eq\r(1－y2)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．b＝eq\r(2) B．－1＜b≤1或b＝－eq\r(2)C．－1≤b≤1 D．以上都不正確【解析】如圖，作半圓的切線l1和經(jīng)過端點(diǎn)A，B的直線l3，l2，由圖可知，當(dāng)直線y＝x＋b為直線l1或位于l2和l3之間(包括l3，不包括l2)時(shí)，滿足題意．∵l1與半圓相切，∴b＝－eq\r(2)；當(dāng)直線y＝x＋b位于l2時(shí)，b＝－1；當(dāng)直線y＝x＋b位于l3時(shí)，b＝1.∴b的取值范圍是－1＜b≤1或b＝－eq\r(2).【答案】B11．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(diǎn)(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，求圓C的方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09960141】【解】(1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10， ①eq\f(|2a＋b－5|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b－5|＝10， ②又∵過圓心和切點(diǎn)的直線與過切點(diǎn)的切線垂直，∴eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,2)， ③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴所求圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2