2022年九年級數學下冊：28.1　銳角三角函數

28.1銳角三角函數專題一銳角與其他知識的綜合運用如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內接于⊙O，BD⊥AC于點D，OM⊥AB于點M，則sin∠CBD的值等于（）A.OM的長B.2OM的長C.CD的長D.2CD的長如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB上一點，且AE:EB＝4:1，EF⊥AC于F，連接FB，則tan∠CFB的值等于（） A.B. C.D.QUOTEQUOTE錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。專題二探究題3．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），點B為y軸正半軸上的一點，點C為第一象限內一點，且AC＝2，設tan∠BOC＝m，則m的取值范圍是.如圖（1），由直角三角形邊角關系，可將三角形面積公式變形，得S△ABC＝bc·sinA．①即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦之積的一半．如圖（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．∵S△ABC＝S△ADC＋S△BDC，由公式①，得AC·BC·sin（α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ，即AC·BC·sin(α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ．②你能利用直角三角形的邊角關系，消去②中的AC、BC、CD嗎？若不能，請說明理由；若能，請寫出解決過程．專題三新定義問題5．在平面直角坐標系中，設點P到原點O的距離為r，α看作是OP以x軸正半軸方向為起始位置繞點O逆時針旋轉的角度，則用[r，α]表示點P的極坐標，顯然，點P的極坐標與它的坐標存在一一對應關系．例如：點P的坐標為（1，1），則其極坐標為[QUOTE錯誤！未找到引用源。，45°]．若點Q的極坐標為[4，60°]，則點Q的坐標為（） A.（2，2QUOTE錯誤！未找到引用源。）B.（2，－2QUOTE錯誤！未找到引用源。）C.（2QUOTE錯誤！未找到引用源。，2）D.（2，2）6．通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖①，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據上述角的正對定義，解下列問題：（1）sad60°＝；（2）對于0°＜∠A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是；（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值.專題四方案設計問題7．如圖，由于水資源缺乏，B、C兩地不得不從黃河上的揚水站A處引水，這就需要在A、B、C之間鋪設地下輸水管道．有人設計了三種鋪設方案：如圖(1)、(2)、(3)，圖中實線表示管道鋪設線路，在圖（2）中，AD⊥BC于D；在圖（3）中，OA＝OB＝OC．為減少滲漏，節(jié)約水資源，并降低工程造價，鋪設線路應盡量縮短．已知△ABC恰好是一個邊長為a的等邊三角形，請你通過計算，判斷哪個鋪設方案最好．【知識要點】１．在Rt△ABC中，若∠C＝90o，則，cosA＝，tanA＝．特殊角的三角函數值：30o45o60osinαcosαtanα1【溫馨提示】1．研究銳角三角函數通常將銳角放在直角三角形中解決.2．銳角的正弦函數值隨著角的增大而增大；銳角的余弦函數值隨著角的增大而減??；銳角的正切函數值隨著角的增大而增大.3．圓中的切線、圓中的直徑常常是構造直角的工具.4．如果直接求一個角的三角函數值不容易時，還可以通過求其等角或余角的三角函數值來解決.【方法技巧】1．在Rt△ABC中，sinA＋sinB＞1，sin2A＋cos2A＝1，tanA＝2．若∠A＋∠B＝90°，則sinA＝cosB，cosA＝sinB，tanA·tanB＝1.3．在網格中計算角的三角函數值時，常利用勾股定理求銳角所在直角三角形的邊長.參考答案1．A【解析】連接AO并延長交圓于點E，連接BE．由題意得∠C＝∠E，且△ABE和△BCD都是直角三角形，∴∠CBD＝∠EAB．∵△OAM是直角三角形，∴sin∠CBD＝sin∠EAB＝＝OM.2．C【解析】根據題意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，設AB＝2x，則BC＝x，AC＝x．∴在Rt△CFB中有CF＝QUOTEQUOTE錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。x，BC＝x．則tan∠CFB＝QUOTEQUOTE錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．3．m≥【解析】當OC與圓A相切（即到C'點）時，∠BOC最小，此時AC'＝2，OA＝3，由勾股定理得OC'＝.∵∠BOA＝∠AC'O＝90°，∴∠BOC'＋∠AOC'＝90°，∠C'AO＋∠AOC'＝90°.∴∠BOC'＝∠OAC'.∴tan∠BOC＝＝.隨著C的移動，∠BOC越來越大，但不到E點，即∠BOC＜90°.∴tan∠BOC≥.4．解：能消去AC、BC、CD，得到sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．過程如下：AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ兩邊同除以AC·BC，得sin(α＋β)＝·sinα＋·sinβ.∵＝cosβ，＝cosα．∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．5．A【解析】作QA⊥x軸于點A，則OQ＝4，∠QOA＝60°，故OA＝OQ·cos60°＝2，AQ＝OQ·sin60°＝2QUOTE錯誤！未找到引用源。，∴點Q的坐標為（2，2QUOTE錯誤！未找到引用源。）．故答案選A．6．解：（1）根據正對定義，當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°＝QUOTE錯誤！未找到引用源。＝1．故答案為1．（2）當∠A接近0°時，sadA接近0；當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．（3）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝QUOTE錯誤！未找到引用源。．在AB上取點D，使AD＝AC.過點D作DH⊥AC，H為垂足，令BC＝3k，AB＝5k，則AD＝AC＝＝4k.又在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝,∴DH＝ADsinA＝QUOTE錯誤！未找到引用源。k.∴AH＝＝QUOTE錯誤！未找到引用源。k．在△CDH中，CH＝AC－AH＝QUOTE錯誤！未找到引用源。k，CD＝＝QUOTE錯誤！未找到引用源。k．由正對的定義可得sadA＝＝QUOTE錯誤！未找到引用源。，即sadA＝QUOTE錯誤！未找到引用源。．解：圖（1）所示方案的線路總長為AB＋BC＝2a；題圖（2）中，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°＝，∴圖（2）所示方案的線路總長為AD＋BC＝（＋1）a；如圖，延長AO交BC于E，∵AB＝AC，OB＝OC，∴OE⊥BC，BE＝EC＝．