第6章 狹義相對論

第六章狹義相對論SpecialTheoryofRelativity(2013.06.05)1第六章狹義相對論Albert·Einstein阿爾伯特·愛因斯坦(1879—1955)2第六章狹義相對論任何物理規(guī)律都是相對于一定參考系表述出來的。我們討論了經(jīng)典電動力學的基本理論和有關規(guī)律，但是討論的范圍限于“靜止”介質中的電磁場。本章討論動體的電動力學。電動力學的幾個遺留問題：第一麥克斯韋方程組的參考系問題。第三如果運動是相對的，那么磁場與電場就應該是相對的。與運動無關的電磁量是什么?第二電磁波動與機械波動的差異。3第六章狹義相對論相對論主要是關于時間、空間和物質的理論。是現(xiàn)代物理學的主要理論基礎之一。局限于慣性參考系的理論稱為狹義相對論，推廣到一般參考系和包括引力場在內(nèi)的理論稱為廣義相對論。（近來相對論界的普遍觀點是把狹義和廣義相對論的分界線定義在平直時空和彎曲時空之間）。狹義相對論包括的主要內(nèi)容：（1）慣性參考系之間的洛倫茲變換及其物理意義。（2）物理規(guī)律在任意慣性系中可表示為相同形式，即物理規(guī)律的協(xié)變性。（3）把電動力學規(guī)律表述為協(xié)變形式。（4）把力學基本規(guī)律推廣為協(xié)變性的相對論力學。4第六章狹義相對論牛頓力學熱力學與經(jīng)典統(tǒng)計理論經(jīng)典物理學三大理論體系使經(jīng)典物理學已趨于成熟§1狹義相對論的實驗基礎1.相對論產(chǎn)生的歷史背景麥氏電磁場理論和波動光學德國物理學家普朗克(1858～1947)年輕時曾向他的老師、德國物理學家馮?約里(1809～1884)表示要獻身物理學，但老師卻勸他說：“年輕人，物理學是一門已經(jīng)完成了的科學，不會再有多大發(fā)展了。將一生獻給這門科學，太可惜了?！被奸_爾文、馮?約里等人類似的病的人還有：德國物理學家勞厄(1879～1960)、美國物理學家邁克爾遜(1852～1931)等。勞厄說，經(jīng)典物理和經(jīng)典力學已“結合成一座具有莊嚴宏偉的建筑體系和動人心弦的美麗殿室”；而邁克爾遜則說“絕大多數(shù)重要的基本原理已經(jīng)牢固地確立起來了，下一步的發(fā)展看來主要是把這些原理認真地利用”。

5第六章狹義相對論慣性系：相對于絕對空間靜止或作勻速直線運動的參考系稱為慣性系。事件：事物的發(fā)展變化、運動可看作是一連串事件在時空中的變化過程。在一個參考系中，通常用三個空間坐標和一個時間坐標來描述一個確定的事件p(x,y,z,t

)

。所有時空點的集合構成閔可夫斯基空間。6第六章狹義相對論伽利略相對性原理（力學相對性原理）：力學運動定律從一個慣性系變換到另一個慣性系時，運動定律的形式保持不變。也就是說，一切機械運動對慣性系是等價的。伽利略相對性原理在宏觀、低速的范圍內(nèi)，是與實驗結果相一致的。p=(x,y,z,t)=(x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’∑系：{x,y,z,t}∑′:{x',y',z',t')7第六章狹義相對論p=(x,y,z,t)=(x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’伽利略變換牛頓定律滿足伽里略變換8第六章狹義相對論事件1和事件2在兩個慣性參考系中的時空坐標∑系中的時間間隔由伽利略變換有∑′系中的時間間隔即兩個事件的時間間隔在兩個慣性參考系中相同。經(jīng)典力學認為事物發(fā)展的進程在任何慣性參考系中都相同9第六章狹義相對論由伽利略變換有測量長度要求得事件1和事件2在兩個參考系中的時空坐標∑系中的空間間隔∑′系中的空間間隔即兩個事件的空間間隔在兩個慣性參考系中相同。經(jīng)典力學認為事物發(fā)展的間距在任何慣性參考系中都相同10第六章狹義相對論經(jīng)典（牛頓）時空觀“時間和空間是分別獨立、不相聯(lián)系的?？臻g距離和時間間隔都不隨參考系的選擇而改變。獨立于物質和物質運動的絕對時間均勻流逝。由絕對剛體保證的空間兩點長度，在任何參考系中都是絕對相等的。即不存在受運動狀態(tài)影響的時鐘和直尺?！薄霸谒袘T性系中，物體運動所遵循的力學規(guī)律是相同的，具有相同的數(shù)學表達形式?；蛘哒f，對于描述力學現(xiàn)象的規(guī)律而言，所有慣性系是等價的?！苯^對時空和絕對質量構成了經(jīng)典物理學的公理基礎。11第六章狹義相對論1876年麥克斯韋創(chuàng)立電磁理論，但發(fā)現(xiàn)電磁運動規(guī)律不滿足伽利略協(xié)變性依據(jù)經(jīng)典時空觀，伽利略速度疊加原理要求電磁波只能夠對一個特定的參考系的傳播速度為c，因而麥氏方程也就只能對該參考系成立。那么經(jīng)典力學中一切慣性系等價的相對性原理對電磁現(xiàn)象就不成立，由電磁規(guī)律可以確定一個特殊的參考系，即絕對參考系，相對于絕對參考系的運動稱為絕對運動。12第六章狹義相對論當時人們認為既然聲波、水波等機械波，都是在某種介質中的機械振動的傳播現(xiàn)象，電磁波也應該是某種充滿空間的彈性媒質內(nèi)的波動現(xiàn)象。該彈性介質就構成電磁波傳播的特殊參考系，電磁波傳播速度c是對以太這一特殊參考系而言的。也就是說，以太就是那個經(jīng)典時空觀中的絕對參考系。為了找出或證明這個絕對空間的存在，邁克爾遜和莫雷于1887年利用靈敏的干涉儀，企圖測定沿地球不同方向傳播的光速的差異，進而確定地球的絕對運動。13第六章狹義相對論2.相對論的實驗基礎邁克爾遜—莫雷實驗如果能夠精確測定各個方向光速的差異，就可以確定地球相對于絕對參考系的運動，或者說相對于以太的運動。假設太陽相對于以態(tài)靜止，地球以30千米/秒的速度繞太陽運動，在略去地球自轉及其他不均勻運動所引起的偏差后，地球的運動在實驗持續(xù)的時間內(nèi)可以看做是勻速直線運動，因而地球可看作是一個慣性系統(tǒng)。實驗時先使干涉儀的一臂與地球的運動方向平行，另一臂與地球的運動方向垂直，按照經(jīng)典的理論，在運動的系統(tǒng)中，光速應該各向不同，因而可看到干涉條紋；再使整個儀器轉過π/2，就應該發(fā)現(xiàn)條紋的移動。14第六章狹義相對論實驗裝置:

邁克爾遜干涉儀SlMlM1M2T15第六章狹義相對論說明：由光源S發(fā)出的光線在半反射鏡M上分為兩束，一束通過M，被M1反射回到M，再被M反射而達到目鏡T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直達目鏡T。調整兩臂長度使有效光程為MM1=MM2=l。設地球相對于以太的絕對運動速度v沿MM1方向，則由于光線MM1M與MM2M的傳播時間不同，因而有光程差，在目鏡T中將觀察到干涉效應。16第六章狹義相對論經(jīng)典速度合成按經(jīng)典速度合成法則，當?shù)厍蛳鄬τ谝蕴乃俣葹関運動時，地球上發(fā)出的沿任意方向傳播的光速u與相對于以太參考系的光速c之間應滿足解出u17第六章狹義相對論地球觀察者所看到的沿方向傳播的光速為地球觀察者所看到的逆方向傳播的光速為地球觀察者所看到的垂直于方向傳播的光速為18第六章狹義相對論光線MM1M的傳播時間光線MM2M的傳播時間兩束光線的時間差為19第六章狹義相對論

當把儀器繞豎直軸順時針旋轉π/2，則MM2變成沿地球運動方向，MM1變?yōu)榇怪庇诘厍蜻\動方向。兩束光總的光程差為Δ′=-Δ，兩種情況總光程差為兩束光傳播距離相同，如果速度不同，則存在光程差在目鏡中應該觀察到靜態(tài)的干涉效應。20第六章狹義相對論實驗?。簂=10米，λ=5×10-7米，v=3×104米/秒

c=3×108米/秒當光程差的改變量等于光波的一個波長時，就引起一條干涉條紋的移動，所以條紋移動的總數(shù)為實驗觀察到只有小到移動條紋的1/100，但從來也沒有看到過0.4個條紋的移動。得到21第六章狹義相對論邁克爾遜—莫雷實驗測不出條紋的移動，表明地球上沿各方向的光速相同，地球沒有相對于以太的運動，進而否定了以太介質的存在，因而也就否定了絕對參考系的存在。(1)堅持麥氏電磁理論，放棄相對性原理。（洛倫茲）麥氏電磁理論+相對性原理=光速不變(2)堅持相對性原理，保留以態(tài)和絕對空間。（龐加萊）(3)堅持相對性原理和麥氏電磁理論，放棄伽里略變換。愛因斯坦認為電磁規(guī)律應該是普遍規(guī)律，電磁規(guī)律和力學規(guī)律一樣都應遵守相對性原理，因此相對性原理和電磁規(guī)律都應保留，需要改造的是伽利略變換。以這兩條作為基本假設，成功地建立了狹義相對論。22第六章狹義相對論物理學晴朗的天空中出現(xiàn)了兩朵烏云

邁克耳遜-莫雷實驗結果與光行差觀測結果矛盾

黑體輻射實驗結果與能量連續(xù)矛盾相對論力學量子力學19世紀末~20世紀初物理學的三大發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學近代物理學的兩大理論基礎1895年發(fā)現(xiàn)X光1896年發(fā)現(xiàn)放射性1897年發(fā)現(xiàn)電子23第六章狹義相對論

1、狹義相對論的基本原理(1)狹義相對性原理一切物理規(guī)律，無論是力學的，還是電磁學的，對于所有慣性系都具有相同的數(shù)學形式。(2)光速不變原理在所有慣性系中，真空中的光速在任何方向上都恒為c，并與光源的運動無關?！?狹義相對論的基本原理洛淪茲變換(2013.06.07)24第六章狹義相對論光速不變原理與牛頓時空觀相矛盾所有最基本的時空概念，如同時性、距離、時間和速度等都要重新加以討論。25第六章狹義相對論在經(jīng)典時空觀中同時性是絕對的設在t=t‘=0時兩個坐標系原點重合，此刻原點處發(fā)出一個閃光，1秒鐘后閃光到達x軸上半徑為c的球面上Σ：伽里略變換得即x′軸上兩點接收到閃光仍為同時事件，即同時性是絕對的。Σ′:Δt=0即x軸上與原點對稱的兩點接收到閃光為同時事件。Δt′=026第六章狹義相對論在相對論時空觀中同時性是相對的Σ′:

假設1秒鐘后x′軸上這兩點的時空坐標為即x′軸上接收到閃光為不同時事件。所以同時性是相對的。Σ：即x軸上兩點接收到閃光為同時事件。Δt=027第六章狹義相對論2兩事件的間隔∑：稱為這兩個事件在∑系中的間隔。可以證明，對兩個慣性系，光速不變必然導致間隔不變稱為這兩個事件在∑′系中的間隔。∑′：28第六章狹義相對論所以無論兩事件有何聯(lián)系或毫無聯(lián)系，均有間隔不變性∑：證明：假設兩個事件分別為發(fā)光和收光即由光波聯(lián)系的兩事件間隔在不同慣性系中相同。若這兩個事件用其他方式聯(lián)系或毫無關系，由運動的相對性，有∑′：29第六章狹義相對論如果兩事件彼此無限地接近，那么間隔為任意兩個事件，不論它們是由光訊號聯(lián)系，或由其它由訊號聯(lián)系，或根本沒有因果關系，間隔在所有慣性系里都是一樣的，即當由一個慣性系變換到任何慣性系時，間隔不變。這是光速不變的數(shù)學表示。同理有間隔的微分形式30第六章狹義相對論同一地點相繼發(fā)生的兩個事件的間隔不同地點同時發(fā)生的兩個事件的間隔31第六章狹義相對論例一（195頁）解：設發(fā)出閃光為事件1，收到閃光為事件2。在Σ′中兩個事件的時間間隔兩個事件的空間間隔汽車系中兩個事件的間隔SM∑∑′MvΔtSS′32第六章狹義相對論在Σ中觀察，設兩事件時間差為Δt，在這時間內(nèi)光源已運動了光訊號傳播滿足兩個事件的時間間隔兩個事件的空間間隔兩個事件的間隔由于所以33第六章狹義相對論3洛倫茲變換式

根據(jù)變換的線性要求和間隔不變性導出狹義相對論的時空坐標變換公式x0’0zz’y∑y’∑’x’對沿任意方向作勻速相對運動的兩個慣性系的坐標變換34第六章狹義相對論對沿x軸方向作勻速相對運動的兩個慣性系的坐標變換由于x軸正方向相同，時間軸正方向相同，應取x0’0zz’y∑y’∑’x’35第六章狹義相對論把這個新的變換關系代入間隔不變的關系中得到比較等式兩邊系數(shù)得36第六章狹義相對論由第一式和第三式得到這些系數(shù)都可以由相對速度v表示出來。在和觀察的運動，有所以解出37第六章狹義相對論從而得到即得到Lorentz變換式為：38第六章狹義相對論根據(jù)運動的相對性，如果把該式中的v改成-v，就可得到逆變換的關系式：39第六章狹義相對論討論（1）在相對論中，光速c具有極限速度的特征。當v>c時，γ變?yōu)樘摂?shù)，時空坐標變換失去意義，當v=c時，γ無意義，這與目前為止實物粒子的實驗事實相符合。只有真空中的光速等于c，即只有靜質量為零的粒子才能以光速運動。40第六章狹義相對論（2）對v<<c，γ=1，則洛變換變?yōu)橘だ锫宰儞Q說明伽利略變換是洛侖茲變換在低速運動下的一個近似。（3）以上所得到的洛侖茲變換式，是在一種特殊的運動條件下所構成的時空變換關系，即∑′系相對于∑系沿x軸正方向運動，而且x′與x平行，如果

∑′系相對于∑系不是沿x正方向運動，那么以上洛侖茲變換式不能適用。41第六章狹義相對論（4）兩個慣性系的互相表述——坐標軸時空圖閔可夫斯基把相對論寫成四維時空的形式，他把時間看作第四維空間，從而把時空看作一個整體，用簡潔的形式重新表述了相對論。在四維時空中，任何一個事件都可以用其中的一個點來表示，這個點稱為世界點。事件發(fā)展的過程，用四維時空中的軌跡線表示，稱為世界線。xt各種世界線xt∑系的等時線和等地線t'x'∑′系的等時線和等地線42第六章狹義相對論三維歐氏空間線元四維歐氏時空線元四維閔氏時空線元一維空間和一維時間構成的二維閔氏時空的線元世界線線長與固有時成正比根據(jù)間隔不變性43第六章狹義相對論二維閔氏時空中兩個慣性系的互相表述—坐標軸時空圖xtt'軸：x'=0x-vt=0,t=x/vt'x'x'軸：t'=0t-vx=0,t=vx1）以∑為基準表述∑′在自然單位制下(c=1)洛變換44第六章狹義相對論xtt軸：x=0x'+vt'=0,t'=-x'/vt'x'x軸：t=0t'+vx'=0,t'=-vx'2）以∑′為基準表述∑在自然單位制下洛變換45第六章狹義相對論3）校準曲線pO在二維閔氏時空中與原點等距離的點的軌跡稱為校準曲線，l0p=cxt閔氏時空中校準曲線是一條雙曲線。雙曲線上的點到原點的距離相同。這與歐氏空間完全不同。Q閔氏時空中的四維線元46第六章狹義相對論例2(198頁)47第六章狹義相對論解:48第六章狹義相對論49第六章狹義相對論50第六章狹義相對論1.相對論時空結構考慮兩個事件：O（0,0,0,0）和P（x,y,z,t

)兩事件間隔間隔的分類兩個事件的空間距離等于光波在時間t所傳播的距離，如兩事件是電磁信號聯(lián)系的事件(2)兩個事件的空間距離小于光波在時間t所傳播的距離，如兩事件是用小于光速聯(lián)系的事件§3相對論時空理論(2013.06.12)51第六章狹義相對論(3)兩個事件的空間距離超過了光波在時間t所傳播的距離，如兩事件是用大于光速聯(lián)系的事件由于從一個慣性系到另外一個慣性系的變換中，間隔保持不變，所以間隔的這三種劃分是絕對的，不因參考系變換而改變。這是相對論時空性質中的絕對性。為了說明問題的方便，把三種間隔用一個三維時空圖形表示出來，事件用一個三維時空點P來表示。52第六章狹義相對論

P點在xy面上的投影表示事件發(fā)生的地點，P點的垂直坐標表示事件發(fā)生的時刻t乘以c。在四維時空中，任何一個事件都可以用其中的一個點來表示，這個點稱為世界點。事件發(fā)展的過程，用四維時空中的軌跡線表示，稱為世界線。四維時空的結構由三個區(qū)域組成，對應于上述三種情況。xytPo·53第六章狹義相對論54第六章狹義相對論時空區(qū)域的分類(1)若事件P與事件O的間隔是S2=0，則r=ct，因此P點在一個以O點為頂點的錐面上，這個錐面稱為光錐。凡是光錐上的點，都可以與O點用光信號聯(lián)系。這類型的間隔稱為類光間隔。事件P:收短信事件o:發(fā)短信事件P:7:00:01三十萬公里處出現(xiàn)流星事件o:7：00寢室開燈有因果關系的兩個類光事件的間隔無因果關系的兩個類光事件的間隔xyct·Po45o55第六章狹義相對論(2)若事件P與事件O的間隔是

S2>0，則r<ct

，因而P點在光錐之內(nèi)。凡是光錐內(nèi)的點，都可以與O點用小于光信號的速度聯(lián)系。這類型的間隔稱為類時間隔。事件P：終點沖刺事件o：短跑發(fā)令槍響事件P：0:05:00寢室外樹葉落地事件o：0:00:00寢室關燈有因果關系的兩個類時事件的間隔無因果關系的兩個類時事件的間隔xyct·Po45o56第六章狹義相對論(3)事件P與事件O的間隔S2<0，則r>ct

，因而P點在光錐之外。這時P點不可能與O點用光信號或低于光信號的傳播速度的作用相聯(lián)系。這類型的間隔稱為類空間隔。

事件P：

0:00:01美國鳳凰號在火星著陸事件o：0:00:00寢室關燈兩個事件的間隔的劃分是絕對的，不因參考系而轉變。xyct·Po45o57第六章狹義相對論概括起來，事件P相對于事件O的時空關系可作如下的絕對分類：(1)類光間隔S2=0P點在光錐面上。(2)類時間隔S2>0a)絕對將來，即P在O的上半光錐內(nèi)。b)絕對過去，即P在O的下半光錐內(nèi)。(3)類空間隔S2<0P與O絕對異地，P點在光錐之外。類時間隔和類空間隔是兩個截然不同的時空關系。58第六章狹義相對論設兩事件∑系

2因果律對信號速度的限制如果兩個事件有因果關系，那么兩事件的先后次序應該是絕對的，不容顛倒。正確的時空觀必須反映事物發(fā)展的絕對因果性。如播種必在收獲之先，人的死亡必在出生之后，收短信在發(fā)短信之后等。因果關系的絕對性反映了事物發(fā)展變化的客觀事實，與參考系的選擇無關。由Lorentz變換得∑′系59第六章狹義相對論即如果在∑系中兩事件有因果關系，且t2>t1，由于它們的秩序在另一慣性系中不可顛倒，即t2-t1與t2′-t1′必須同號，所以要求即60第六章狹義相對論∑系中信號或粒子傳播的速度為則有式中v是兩慣性系之間的相對速度，由于參考系必須固定在物體上，所以v也是信號或粒子傳播的速度，這時相對論要求u<c屬類時間隔的兩因果事件的絕對性要求所有物體運動速度和信號傳遞速度都不能超過光速c。這與目前的實驗事實相吻合。61第六章狹義相對論50億光年6500萬光年5000光年50億年：太陽系誕生6500萬年：恐龍滅絕5000年：人類文明誕生v>c62第六章狹義相對論3同時的相對性現(xiàn)在考察具有類空間隔的兩個事件1和2∑系

∑′系由有63第六章狹義相對論即具有類空間隔的兩個事件，由于不可能發(fā)生因果關系，其時間次序的先后，或者同時，都沒有絕對意義，因不同參考系而不同。若在∑系中兩事件同時t2=t1，則t2-t1=0則只要在∑系中兩事件異地x2≠x1，則64第六章狹義相對論同時相對性時空圖xtt'x'65第六章狹義相對論例：同時異地發(fā)生的兩個事件的間隔小于零，屬類空間隔，兩事件不可能有因果關系，所以同時概念必然是相對的，只能是在高速和廣延范圍顯現(xiàn)?！啤湎抵袨椴煌瑫r的事件

∑系中同時異地事件

66第六章狹義相對論后門前門車子O.∑O’.∑’地面

一輛作勻速運動的車子，其前后兩門皆用光信號控制其開和關。車上的觀察者看到前后們同時開關，車下的觀察者看到前后們不同時開關。67第六章狹義相對論同時相對性的時空圖p1p2Op1p2Op1p2O∑系中的同時線

∑′系中的同時線

∑系和∑′系中同時相對性

68第六章狹義相對論對鐘的時空圖C2C14運動時鐘的延緩—時間間隔的相對性xyC2C1在不同的慣性系中觀察同一物質運動過程所經(jīng)歷的時間是否相同？同一參考系對鐘問題不同參考系對鐘問題xyy′C'C2C1x′69第六章狹義相對論設在∑′系中有一靜止時鐘，在同一地點先后兩次看鐘為兩個同地不同時事件，其時間差稱為固有時∑′系中兩個事件的間隔為xyy′C'C2C1x′∑系內(nèi)這兩個事件的間隔為70第六章狹義相對論令由間隔不變性得即運動時鐘延緩了，或稱愛因斯坦延緩。71第六章狹義相對論宇航員乘坐速度為0.9999624C的宇宙飛船飛行，他的一日相當于地球上的一年，所以當這位宇航員長了一歲，我們已經(jīng)老了365歲了。據(jù)此通過坐飛機來長壽，理論上是可行的，只是效果太微弱了。根據(jù)計算，如果一個人一年都在飛機上飛行，他可以賺得5微秒。假設他活了80歲，從出生就在飛機上這樣生活，當80歲死去時一共可以賺得400微秒，即0.0004秒。80年的飛行才賺得連一眨眼都不到的時間，實在是有點得不償失。討論(2012.06.21)（1）時鐘延緩效應是真實的；運動時鐘比靜止時鐘走得慢。接近光速時，運動時鐘趨于停止(Δt→∞)。時鐘延緩效應只依賴于速度，而不依賴于加速度。72第六章狹義相對論（2）當局限于慣性運動時，時鐘延緩效應是相對效應x,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/vx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/v

參考系∑上看到固定于∑′上的時鐘變慢；同樣，參考系∑′上看到固定于∑上的時鐘變慢。在動鐘變慢的效應中，總是用一個鐘（動鐘）和一系列鐘（靜鐘）比較，變慢的一定是那個單一的鐘。

73第六章狹義相對論時鐘延緩效應時空圖x,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/vxtt'C2C1C'abx'oc∑系看動鐘慢了lob<lcb74第六章狹義相對論ed∑′系看動鐘也慢了lob>ldbδxtt'C2C1C'bx'ocx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1l/v-δδl/v75第六章狹義相對論76第六章狹義相對論（3）在有非慣性運動時，時間延緩導致絕對的物理效應。雙生子佯謬一對孿生兄弟A和B

，其中B跨上宇宙飛船作太空旅行，而A則留在地球。結果當旅行者回到地球后，我們發(fā)現(xiàn)B比留在地球的兄弟A更年青。根據(jù)運動的相對性，從B的角度看A更年青。到底誰更年輕？txpqAB1、在狹義相對論層次解決

忽略B運動的加速過程，把B的來回看作慣性運動，這時B離開A的運動等價于B不動A離開B的運動，兩人都認為對方比自己年輕。之所以出現(xiàn)好象矛盾的結論，是因為兩人處于不同的慣性系中，各用各的鐘，B的時間觀念不等于A時間觀念。77第六章狹義相對論根據(jù)世界線的性質，世界線長度正比于質點經(jīng)歷的固有時間。比較A和B的壽命就是比較A和B的世界線長。這個結論是絕對的，是時空幾何決定的，與參考系的選擇無關。txpqABA的世界線

B的世界線

2、在廣義相對論層次解決

78第六章狹義相對論5、運動尺度的縮短—空間距離的相對性測量物體的長度往往就是用一根尺子去和物體比較，看物體的兩端與尺子上哪兩點重合，關鍵在于必須對物體的兩個端點進行同時測量。測量物體每一端的坐標都是一個事件，同時測量意味著是同時事件。固有長度xyy′vx′x′1x′2運動長度xyy′vx′x1x279第六章狹義相對論

根據(jù)Lorentz變換式兩式相減，即得80第六章狹義相對論由于測量要求t2-t1=0，故有即即運動著的尺比靜止的尺短，相對論的這個結果稱為Lorentz收縮。81第六章狹義相對論討論(1)運動尺度縮短了，趨于光速時，尺度縮短為零；運動尺度縮短是一種時空效應，構成尺子的原子結構和原子內(nèi)部的電荷分布沒有發(fā)生任何變化。(2)如果物體是任意形狀的，只有沿運動方向的長度有上述的縮短，如立方體體積變小。(3)長度縮短效應也是相對的。82第六章狹義相對論運動尺度收縮的時空圖xoat'tx'b靜尺長度動尺長度尺頭尺尾無論從哪一個慣性系看，運動尺一定會產(chǎn)生Lorentz收縮。83第六章狹義相對論車庫佯謬庫門庫墻t'x'車頭車尾

設汽車與車庫靜長相等。汽車勻速進庫時，司機想“動庫變短，車放不下”；司庫想“動車收縮，放下有余”，司機的想法對還是司庫的想法對?使用4維幾何語言可獲得清晰的認識。兩人看法都對，關鍵是同時性的相對性導致結論的相對性。司庫同時面司機同時面校準曲線oabcd以司庫所在慣性系的同時面衡量，車短于庫，放下有余以司機所在慣性系的同時面衡量，車長于庫，不能放下84第六章狹義相對論6、速度變換式假定∑′系相對于∑系以速度v沿著x軸正方向運動，設粒子(∑")相對于∑系、∑′系的速度分別為利用洛侖茲正變換以及其變換是線性的性質，微分得到x,x′∑∑′vuu′∑″x″85第六章狹義相對論用dt′去除dx′

，dy′

，dz′

，則得86第六章狹義相對論同理得有87第六章狹義相對論88第六章狹義相對論討論v是∑′系相對于∑系沿x軸正方向的速度；u是粒子（∑″系）相對于∑系的速度；u′是粒子（∑″系）相對于∑′系的速度；要使用速度變換式，必須要有三個客體存在，即兩個觀察者∑和∑′，以及一個運動實體（∑″系）。(1)區(qū)分三種不同的速度(2)在非相對論極限下c→∞，速度變換式將過渡到經(jīng)典力學中速度變換式，即x,x′∑∑′vuu′x″∑″89第六章狹義相對論（3）當u′<c，v<c時，可以證明必有這說明不可能把牽連速度和相對速度加起來，使它們的合成速度在某一慣性系得出大于c的結論。u<c綜上所述，相對論的時空性質不承認普適的時間與不變的空間，而認為不同的慣性系有不同的尺和鐘。在這個意義上它的時空是“相對”的，但這種相對性并不意味著任何主觀任意性。歸根到底，它只不過是光速不變性這一客觀事實的反映，光速不變性還規(guī)定了事件間的“間隔”是絕對的，不隨參考系而異，這就是狹義相對論時空觀中相對和絕對的統(tǒng)一。90第六章狹義相對論例題1（P208）證明若物體相對于一個參考系的運動速度u<c，則對于所有參考系亦有u′<c。證明：設物體在dt時間內(nèi)發(fā)生了位移，由間隔不變性有由得91第六章狹義相對論x,x’0’0zz’y∑y’∑’例題2（P208）解:在∑′上觀察,介質中的光速沿各方向都等于c/n,沿介質運動方向的光速如果v<<c,得沿介質運動方向的光速92第六章狹義相對論逆介質運動方向的光速93第六章狹義相對論例題3用速度變換式證明光速不變原理。證明：設光子從∑′系發(fā)出沿x′方向運動，速度為則光子相對于∑的速度為ΣΣ′vxx′94第六章狹義相對論例題4兩束電子迎面相對運動，每束電子相對于實驗室的速度為0.9c，求相對于一束電子靜止的觀測者觀察另一束電子的速度。證明：設實驗室系為∑，向x

正方向運動的電子為∑′系，向x

負方向運動的電子為∑″系，則兩束電子相對速度為∑∑′∑″v-v95第六章狹義相對論例題5設在6000米高層大氣邊緣產(chǎn)生一個靜止壽命為Δτ=2×10-6S的μ子。如果μ子以v=0.998c的速度飛向地球，試分別在地球參考系和μ子參考系中計算它是否能飛躍大氣層到達地面。解:選擇地球參考系為Σ,μ子參考系為Σ′。Σ′Σ′vxx′96第六章狹義相對論（1）在地球參考系，由于運動時鐘延緩效應，測得μ子壽命在地球參考系，它能飛越的距離為因而μ子能穿越大氣層。97第六章狹義相對論（2）在μ子參考系μ子靜止，地球到μ子之間的大氣層向μ子奔來，其有生之年能“穿越”的大氣層厚度為由于尺度縮短效應，μ子測得大氣層厚度收縮為因而μ子能穿越大氣層。

μ子能穿越大氣層這一事實，在地球參考系描述為μ子的壽命延長；在μ子參考系則描述為大氣層厚度變薄，兩者從不同角度描述同一個事實，但得出的結論是一致的。98第六章狹義相對論例題6

(習題6.2)解：實驗室系∑；1尺系∑′；2尺系∑″在1尺上測得2尺的速度在1尺上測得2尺的長度∑∑′∑″v-v99第六章狹義相對論例題7(習題6.3)解：實驗室系∑；小車系∑′；小球系∑″?！啤湎抵星驋伋龅脚霰诘目臻g差和時間差由洛侖茲變換得地面測得的小球運行時間為∑∑′∑″100第六章狹義相對論例題8(習題6.6)

解：實驗室系∑；觀察者系∑′；物體系∑″在物體系∑″看物體固有長度觀察者系∑′測得這兩個物體的速度∑∑′∑″∑″uv觀察者測得兩個物體的距離101第六章狹義相對論§4相對論理論的四維形式(2013.06.26)相對性原理要求任何物理規(guī)律在不同的慣性系中形式相同。而牛頓運動方程和電磁規(guī)律的矢量表示不滿足洛侖茲變換下不變的要求。因此，我們要對牛頓力學規(guī)律和電磁運動規(guī)律的表述形式加以修改，使它們滿足相對論的協(xié)變性要求。102第六章狹義相對論1、三維空間的正交變換二維空間中任一點P在坐標轉動中的變換xx′yy′OPθθ103第六章狹義相對論變換關系滿足上式的二維平面上的線性變換稱為正交變換。OP長度的平方為104第六章狹義相對論

二維平面矢量在坐標系轉動下的變換任意平面矢量變換關系滿足正交變換條件

任意矢量的變換與坐標變換具有相同的形式105第六章狹義相對論三維坐標系轉動三維坐標線性變換轉動時距離保持不變滿足上式的線性變換稱為三維空間的正交變換。空間轉動屬于正交變換。106第六章狹義相對論正交變換條件利用利用愛因斯坦規(guī)則，變換式可作簡寫有107第六章狹義相對論注意所以比較兩邊得正交變換條件有引入符號108第六章狹義相對論反變換式由得反變換109第六章狹義相對論矩陣形式定義轉置矩陣變換系數(shù)可以寫成矩陣形式則有110第六章狹義相對論111第六章狹義相對論

標量與坐標變換無關，設在∑系中某標量用u

表示，在∑′系中用u′表示，由標量不變性得到：2、物理量按空間變換性質分類物理量分為標量、矢量和張量。這種分類是根據(jù)物理量在空間轉動下的變換性質來規(guī)定的。(1)標量（零階張量，三維空間中有30個分量）若一物理量在空間中沒有取向關系，僅用一個數(shù)描述。當坐標系轉動時，物理量保持不變，則稱此量為標量，或零階張量。如質量、電荷和溫度等都是標量。112第六章狹義相對論若一物理量在空間中有取向性，它由三個分量表示。當空間轉動時，分量按與坐標變換相同的變換規(guī)則變換，則稱此量為矢量，或一階張量。如電場強度、速度、力和動量等。(2)矢量（一階張量，三維空間中有31個分量）哈密頓算符也具有矢量性質，其變換關系為113第六章狹義相對論(3)二階張量（通常說的張量,三維空間中有32個分量）若一物理量在空間的取向比較復雜，需要用九個分量描述。每個分量由兩個矢量指標表示，有九個分量，在從∑系變換到∑′系過程中，每一分量按與坐標變換相同的變換規(guī)則變換，即遵循具有這種變換關系的物理量稱為二階張量，如電電磁場張量、電四極矩張量等。114第六章狹義相對論對稱張量對稱張量變換后仍然是對稱張量反對稱張量反對稱張量變換后仍然是反對稱張量.115第六章狹義相對論張量的跡是一個標量無跡對稱張量116第六章狹義相對論二階張量可以分解為三部分張量的跡無跡對稱張量反對稱張量電四極矩就是一個無跡對稱張量，只有五個獨立分量。117第六章狹義相對論兩個矢量的標積是一個標量一個張量和一個矢量的乘積是一個矢量據(jù)愛因斯坦規(guī)則，重復指標表示求和，稱為指標收縮，不重復的指標稱為自由指標，物理量有多少個自由指標，就可以判斷它屬于哪一類物理量。118第六章狹義相對論3、

Lorentz變換式的四維形式Lorentz變換式滿足間隔不變形式上引入第四維虛數(shù)坐標三維坐標轉動是滿足距離不變的線性正交變換119第六章狹義相對論Lorentz變換是滿足間隔不變性的四維線性正交變換Lorentz變換形式上可以看作四維空間的轉動。因而三維正交變換的關系可以形式上推廣到Lorentz變換中去。這四維空間的第四個坐標是虛數(shù)，稱為復四維空間，它不同于實的四維歐幾里得空間。構成四維閔可夫斯基空間，則間隔不變式表為或120第六章狹義相對論一個坐標取定的四維閔可夫斯基空間在物理上與一個慣性系對應。閔可夫斯基空間的一個轉動變換用一個四維的正交變換矩陣表示，在物理上描述的是慣性系間的一次變換。121第六章狹義相對論

∑′系相對于∑系沿x軸正方向以速度v運動的特殊變換系數(shù)a的矩陣形式其中122第六章狹義相對論

逆變換系數(shù)a-1的矩陣形式為容易驗證123第六章狹義相對論xx′ctct′OPθθ時鐘延緩效應和長度縮短效應的幾何意義124第六章狹義相對論4、四維協(xié)變量三維慣性參考系之間的變換相當于四維空間的轉動變換。描述物質運動和屬性的物理量會反映出時空變換的特點，故在四維空間中的物理量也應該按四維空間轉動下的變換性質進行分類。(1)四維標量（四維空間中有40個分量）在Lorentz變換下不變的物理量稱為洛倫茲標量。如間隔125第六章狹義相對論如果∑′系相對于∑系沿x軸方向勻速運動，質點相對于∑′靜止由于間隔不變或126第六章狹義相對論(2)四維矢量（四維空間中有41個分量）具有四個分量的物理量Vμ，在坐標軸轉動時，這些數(shù)的變換關系和坐標的變換關系相同，則稱該物理量為四維矢量，即滿足用矩陣表示為127第六章狹義相對論

由于四維矢量在坐標轉動時是按Lorentz變換改變的，因此一個物理定律中的物理量若能用四維空間的張量表達，則此定律具有Lorentz協(xié)變性，即滿足相對論要求。凡滿足這個變換式的四個數(shù)都構成一個四維矢量，四維矢量的前三個分量是空間分量，第四個分量是時間分量。在四維空間中，四維哈密頓矢量算符為128第六章狹義相對論空間分量為時間分量為可見將四維速度寫成如下形式四維速度四維速度129第六章狹義相對論參考系作Lorentz變換時，四維速度有變換四維速度的前三個分量和普通速度有關，當130第六章狹義相對論四維張量（4維空間中有42個分量）如果一個物理量Tμν變換滿足關系則稱該物理量為4維空間中的二階張量，一共有16個分量。131第六章狹義相對論四維波矢量是一個不變量波動方程和解都是協(xié)變的，于是有在兩個慣性系中分別為平面波的電磁場是二階張量，滿足132第六章狹義相對論考察兩個事件xxx′x′133第六章狹義相對論在x′上的時空坐標(x′,t′)可用Lorentz變換求得，而相位同樣是這是因為某個波峰通過某一時空點是一個物理事件，而相位只是記數(shù)問題，不應隨參考系而變。由此可看到相位具有不變性，即134第六章狹義相對論引入k4=iω/c，故可將其組合成一個四維矢量，則135第六章狹義相對論由此得到一個四維波矢量它們滿足Lorentz變換式136第六章狹義相對論137第六章狹義相對論設波矢量位于xoy平面內(nèi),k和x軸正方向的夾角為θ，k′和x′軸（x′軸與x軸平行）正方向的夾角為θ′，則有x′z′y′θ′θxyz138第六章狹義相對論由第四式看出這是相對論中的多普勒效應。（1）多普勒效應139第六章狹義相對論若∑′系為光源的靜止參考系，則ω′=ω0，ω0為靜止光源的輻射角頻率，根據(jù)多普勒效應，得到運動光源輻射角頻率為其中，v是光源的運動速度，θ為∑系上觀察者看到輻射方向與光源運動方向的夾角。OO’vθα關于多普勒效應的討論140第六章狹義相對論①當電磁波源離開觀測者（v）時，射向觀測者的電磁波θ=π

觀測到的輻射頻率小于靜止光源的輻射頻率，出現(xiàn)紅移現(xiàn)象。OO′v141第六章狹義相對論②當電磁波源趨向觀測者（v）時，射向觀測者的電磁波θ=0

觀測到的輻射頻率大于靜止光源的輻射頻率，出現(xiàn)紫移現(xiàn)象。OO’v142第六章狹義相對論此式為相對論產(chǎn)生的橫向多普勒效應，觀測到的輻射頻率小于靜止光源的輻射頻率，仍然出現(xiàn)紅移現(xiàn)象。它是相對論時鐘延緩效應的證據(jù)之一。③在垂直于電磁波源運動方向（v）觀測（θ=π/2）OO′vαθ=π/2143第六章狹義相對論

當v<<c時，γ→1，得到運動光源的經(jīng)典多普勒效應公式為即在經(jīng)典理論中不存在橫向多普勒效應。144第六章狹義相對論（2）光行差由Lorentz變換推出光行差公式這就是相對論中的光行差公式。

145第六章狹義相對論由Lorentz速度變換也能推出光行差公式這與用Lorentz變換推出光行差公式相同。

146第六章狹義相對論

光行差較早被天文學家Bradly于1728年所測到。如圖所示。147第六章狹義相對論設地球相對于太陽參考系∑的運動速度為v，在∑系上看到某一恒星發(fā)出的光線的傾角為

在地球上用望遠鏡觀察該恒星時，傾角為由于v<<c，故148第六章狹義相對論天文觀測值光行差現(xiàn)象的觀察

取觀察者正上方的一顆恒星作理論計算，α=π/2149第六章狹義相對論恒星的光行差150第六章狹義相對論5、物理規(guī)律的協(xié)變性在慣性參考系變換下方程保持不變的性質稱為協(xié)變性。設某方程具有形式若有則方程是協(xié)變的，滿足相對性原理的要求。而只有把物理量表述成四維形式才有這樣的可能。151第六章狹義相對論

所謂電磁規(guī)律的協(xié)變性是指，電磁運動方程，如電荷守恒定律、能量動量守恒定律、洛倫茲力密度、麥克斯韋方程和電磁波的波動方程等，在不同的慣性系中有相同的形式，即滿足洛倫茲變換的不變性。本節(jié)將電流密度、電荷密度、電磁場強度、矢勢標勢、洛倫茲力和麥克斯韋方程表示成四維張量形式，使其在不同的慣性系中保持不變，從而證明電磁規(guī)律滿足洛倫茲協(xié)變性?！?電磁規(guī)律的相對性理論(2013.06.28)152第六章狹義相對論電荷是一個洛侖茲標量，若相對某一慣性系靜止若粒子處于運動狀態(tài)，則體元有收縮為了保持電荷不變性，電荷密度應相應的增大1、四維電流密度矢量和電流連續(xù)性方程的協(xié)變式153第六章狹義相對論電流密度構造四維電流密度將電流密度矢量的意義擴充到包含靜電荷密度ρ，即假定在某一慣性系中，J和ρ構成一個四維矢量154第六章狹義相對論Jμ是一個四維矢量，應該滿足四維矢量變換關系即155第六章狹義相對論逆變換即156第六章狹義相對論

各分量為由其中最后一式得157第六章狹義相對論電流連續(xù)性方程的協(xié)變性這是一個不變量，因此，只要J和ρ一起構成一個四維矢量，它就是協(xié)變的，他反映出在相對論時空觀下物理量的統(tǒng)一性。即158第六章狹義相對論(1)四維空間算符四維哈密頓算符電流連續(xù)性方程為電流散度達朗貝爾標量算符2、四維勢矢量159第六章狹義相對論

麥克斯韋方程可以通過標勢和矢勢表示出來，在洛倫茲條件下，標勢和矢勢表為達朗貝爾方程洛倫茲條件為(1)四維勢160第六章狹義相對論

通過四維算符，可將真空中的電磁場的勢方程(達朗貝爾方程)寫成即161第六章狹義相對論兩式合并得在J和ρ一起構成一個四維矢量的啟發(fā)下，推理標勢φ和矢勢A也應該能統(tǒng)一為一個四維矢量。定義四維矢量Aμ162第六章狹義相對論上式構成四維形式根據(jù)兩邊都是四維協(xié)變量應滿足所以達朗貝爾方程在洛侖茲變換下是協(xié)變的。163第六章狹義相對論四維勢滿足協(xié)變關系164第六章狹義相對論標量方程是協(xié)變的洛侖茲規(guī)范條件的協(xié)變性165第六章狹義相對論3、麥克斯韋方程組的協(xié)變性(1)電磁場張量電磁場E，B用勢表示為166第六章狹義相對論用四維勢Aμ來表示E，B的各分量167第六章狹義相對論利用Aμ

的導數(shù)構造一個反對稱四維二階張量168第六章狹義相對論其矩陣形式為電磁場張量169第六章狹義相對論例如170第六章狹義相對論(2)麥克斯韋方程組的協(xié)變形式分量式首先考慮麥氏方程組的非齊次部分171第六章狹義相對論172第六章狹義相對論再考慮麥氏方程組的齊次方程分量式173第六章狹義相對論可合起來，寫成四維協(xié)變形式174第六章狹義相對論由張量變換關系電磁場的變換關系式175第六章狹義相對論176第六章狹義相對論同理可得反變換177第六章狹義相對論

如果把電磁場按平行和垂直于相對運動速度