高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式 第3章綜合檢測

第三章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設(shè)M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，則有eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742907)(A)A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N[解析]M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5＝a2＋a＋1＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，∴M＞N.故選A．2．(2023·浙江文，5)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742908)(D)A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0[解析]根據(jù)題意，logab>1?logab>logaa?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<b<a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>a)).當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<b<a))時，0<b<a<1，∴b－1<0，b－a<0；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>a))時，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0.∴(b－1)(b－a)>0，故選D．3．(2023·哈三中一模)已知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，b9是1和3的等差中項，則b2b16＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742909)(D)A．16 B．8C．2 D．4[解析]由題意，得2b9＝1＋3，b9＝2.因為{bn}是等比數(shù)列，所以b2b16＝beq\o\al(2,9)＝4.故選D．4．(2023·北京文，7)已知A(2,5)，B(4,1)．若點P(x，y)在線段AB上，則2x－y的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742910)(C)A．－1 B．3C．7 D．8[解析]依題意得kAB＝eq\f(5－1,2－4)＝－2，∴線段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]，設(shè)h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝4時，h(x)max＝4×4－9＝7.故選C．5．若點(x，y)在第一象限，且在直線2x＋3y＝6上移動，則logeq\f(3,2)x＋logeq\f(3,2)y的最大值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742911)(A)A．1 B．－1C．2 D．－2[解析]由題意x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴u＝logeq\f(3,2)x＋logeq\f(3,2)y＝logeq\f(3,2)(x·y)＝logeq\f(3,2)[eq\f(1,6)(2x·3y)]≤logeq\f(3,2)[eq\f(1,6)(eq\f(2x＋3y,2))2]＝1，等號在2x＝3y＝3，即x＝eq\f(3,2)，y＝1時成立．故選A．6．若關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742912)(A)A．a(chǎn)≤－4 B．a(chǎn)≥－4C．a(chǎn)≥－12 D．a(chǎn)≤－12[解析]∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4時，取最大值－4，當(dāng)a≤－4時，2x2－8x－4≥a存在解．故選A．7．若x∈(0，eq\f(1,2))時總有l(wèi)oga2－1(1－2x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742913)(D)A．|a|<1 B．|a|<eq\r(2)C．|a|>eq\r(2) D．1<|a|<eq\r(2)[解析]∵x∈(0，eq\f(1,2))，∴0<1－2x<1.又∵此時總有l(wèi)oga2－1(1－2x)>0，∴0<a2－1<1，∴1<|a|<eq\r(2).故選D．8．(2023·河南六市聯(lián)考)已知正數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x－3y＋5≥0))，則z＝4－x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y的最小值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742914)(C)A．1 B．eq\f(1,4)eq\r(3,2)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,32)[解析]由于z＝4－x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y＝2－2x－y，又不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．易知m＝－2x－y經(jīng)過點A時取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x－3y＋5＝0，))得A(1,2)，所以zmin＝2－2×1－2＝eq\f(1,16)，選C．9．(2023·重慶巴蜀中學(xué)一診)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，則b＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742915)(C)A．6 B．4C．2 D．1[解析]由sin(A－C)＝2cosAsinC，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC．由正余弦定理，得a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝3c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，整理得2(a2－c2)＝b2.①又a2－c2＝b，②聯(lián)立①②得b＝2，故選C．10．下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742916)(C)A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81[解析]當(dāng)x＜0時，y＝x＋eq\f(4,x)≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜＝sinx＋eq\f(4,sinx)≥4.但sinx＝eq\f(4,sinx)無解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等號在ex＝eq\f(4,ex)即ex＝2時成立．∴x＝ln2，D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，則log3x＜0，logx81＜0，∴排除D．11．(2023·全國卷Ⅰ理，8)若a>b>1,0<c<1，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742917)(C)A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc[解析]對于選項A，考慮冪函數(shù)y＝xc，因為c>0，所以y＝xc為增函數(shù)，又a>b>1，所以ac>bc，A錯．對于選項B，abc<bac?(eq\f(b,a))c<eq\f(b,a)，又y＝(eq\f(b,a))x是減函數(shù)，所以B錯．對于選項D，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知D錯，故選C．12．(2023·合肥第二次質(zhì)檢)已知實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－yx＋y－2≥0，,1≤x≤4，))則x＋2y的取值范圍為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742918)(C)A．[12，＋∞) B．[0,3]C．[0,12] D．[3,12][解析]作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，作直線l0：x＋2y＝0，平移l0可見當(dāng)經(jīng)過可行域內(nèi)的點A、B時，z＝x＋2y分別取得最大值與最小值，∴zmax＝12，zmin＝0，故選C．二、填空題(本大題共4個小題，每個小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)13．若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，則m＝\x(導(dǎo)學(xué)號54742919)[解析]由題意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一個根，∴a＝2，∴不等式為2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，∴1<x<2，∴m＝2.14．(2023·東北三校模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，若sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，則a＋c的值為3eq\r(7).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742920)[解析]由已知得：b2＝ac且B為銳角，∴cosB＝eq\f(12,13)，∵cosB＝eq\f(12,ac)，∴ac＝13，由余弦定理得：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(12,13)，得：a2＋c2＝37，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac∴a＋c＝3eq\r(7).15．(2023·山東文，14)定義運算“?”：x?y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．當(dāng)x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為eq\r(2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742921)[分析]先按新定義將待求最小值的表達式化簡，再用基本不等式求最小值．[解析]由新定義運算知，x?y＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)?x＝eq\f(2y2－x2,2yx)＝eq\f(4y2－x2,2xy)，因為，x＞0，y＞0，所以，x?y＋(2y)?x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)y時，x?y＋(2y)?x的最小值是eq\r(2).16．(2023·云南省檢測)某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a、b滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a<7.))設(shè)這所學(xué)校今年計劃招聘教師最多x名，則x＝\x(導(dǎo)學(xué)號54742922)[解析]由題意得x＝a＋b，如圖所示，畫出約束條件所表示的可行域，作直線l：b＋a＝0，平移直線l，再由a，b∈N，可知當(dāng)a＝6，b＝7時，x取最大值，∴x＝a＋b＝13.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0對一切x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742923)[解析]由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m當(dāng)m＝3時，原不等式化為－1<0恒成立；當(dāng)m＝－1時，原不等式化為4x－1<0，∴x<eq\f(1,4)，故m＝－1不滿足題意．當(dāng)m2－2m－3≠eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3<0,Δ＝[－m－3]2＋4m2－2m－3<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m<3,－\f(1,5)<m<3))，∴－eq\f(1,5)<m<3.綜上可知，實數(shù)m的取值范圍是－eq\f(1,5)<m≤3.18．(本題滿分12分)已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，求證a2＋b2≥eq\f(1,2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742924)[證明]a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×(eq\f(a＋b,2))2＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).19．(本題滿分12分)若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P，Q兩點，且P，Q關(guān)于直線x＋y＝0對稱，則不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋1≥0，,kx－my≤0，,y≥0))表示平面區(qū)域的面積是多少？eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742925)[解析]∵P，Q關(guān)于直線x＋y＝0對稱，∴PQ與直線x＋y＝0垂直，且直線x＋y＝0經(jīng)過圓心，∴k＝1，且(－eq\f(k,2))＋(－eq\f(m,2))＝0，∴k＝1，m＝－1，∴不等式組化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≤0，,y≥0，))它表示的平面區(qū)域如圖所示，易知A(－1,0)，B(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，故面積為S△OAB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).20．(本題滿分12分)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)的提高比例為，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為\x(導(dǎo)學(xué)號54742926)已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？[解析](1)依題意得y＝[×(1＋－1×(1＋x)]×1000×(1＋(0<x<1)．整理，得：y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．∴本年度年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式為y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－－1×1000>0,0<x<1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0,0<x<1))，解得：0<x<eq\f(1,3)，所以為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0<x<eq\f(1,3).21．(本題滿分12分)若a＜1，解關(guān)于x的不等式eq\f(ax,x－2)>1.eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742927)[解析]a＝0時，不等式的解集為?eq\f(ax,x－2)>1?eq\f(a－1x＋2,x－2)＞0?[(a－1)x＋2](x－2)＞0.∵a＜1，∴a－1＜0.∴化為(x－eq\f(2,1－a))(x－2)＜0，當(dāng)0