高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關(guān)系 章末綜合測評

章末綜合測評(一)計數(shù)原理(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2023·銀川一中檢測)Ceq\o\al(9,10)＋Ceq\o\al(8,10)等于()A．45 B．55C．65 D．以上都不對【解析】Ceq\o\al(9,10)＋Ceq\o\al(8,10)＝Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＝55，故選B.【答案】B2．5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種【解析】5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有25＝32種，故選D.【答案】D3．在(x2＋3x＋2)5的展開式中x的系數(shù)為()A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展開式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)，常數(shù)項為1，(x＋2)5的展開式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)·24，常數(shù)項為25.因此原式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)·25＋Ceq\o\al(4,5)·24＝240.【答案】B4．某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有()A．16種 B．36種C．42種 D．60種【解析】分兩類．第一類：同一城市只有一個項目的有Aeq\o\al(3,4)＝24種；第二類：一個城市2個項目，另一個城市1個項目，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36種，則共有36＋24＝60種．【答案】D5．(2023·廣州高二檢測)5人站成一排，甲乙之間恰有一個人的站法有()A．18種 B．24種C．36種 D．48種【解析】首先把除甲乙之外的三人中隨機抽出一人放在甲乙之間，有3種可能，甲乙之間的人選出后，甲乙的位置可以互換，故甲乙的位置有2種可能，最后，把甲乙及其中間的那個人看作一個整體，與剩下的兩個人全排列是Aeq\o\al(3,3)＝6，所以3×2×6＝36(種)，故答案為C.【答案】C6．關(guān)于(a－b)10的說法，錯誤的是()A．展開式中的二項式系數(shù)之和為1024B．展開式中第6項的二項式系數(shù)最大C．展開式中第5項和第7項的二項式系數(shù)最大D．展開式中第6項的系數(shù)最小【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，二項式系數(shù)之和為210＝1024，故A正確；當n為偶數(shù)時，二項式系數(shù)最大的項是中間一項，故B正確，C錯誤；D也是正確的，因為展開式中第6項的系數(shù)是負數(shù)且其絕對值最大，所以是系數(shù)中最小的．【答案】C7.圖1(2023·濰坊高二檢測)如圖1，用五種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個不同的點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共()A．1240種 B．360種C．1920種 D．264種【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以當五種顏色都選擇時，選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(5,5)種；當五種顏色選擇四種時，選法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)×3×Aeq\o\al(4,4)種；當五種顏色選擇三種時，選法有Ceq\o\al(3,5)×2×Aeq\o\al(3,3)種，所以不同的涂色方法共Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)×3×Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)×2×Aeq\o\al(3,3)＝1920.故選C.【答案】C8．某計算機商店有6臺不同的品牌機和5臺不同的兼容機，從中選購5臺，且至少有品牌機和兼容機各2臺，則不同的選購方法有()【導(dǎo)學(xué)號：97270029】A．1050種 B．700種C．350種 D．200種【解析】分兩類：(1)從6臺不同的品牌機中選3臺和從5臺不同的兼容機中選2臺；(2)從6臺不同的品牌機中選2臺和從5臺不同的兼容機中選3臺．所以不同的選購方法有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,5)＝350種．【答案】C9．設(shè)(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值為()A．29 B．49C．39 D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8為正，a1，a3，a5，a7，a9為負，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故選B.【答案】B10．(2023·山西大學(xué)附中月考)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24【解析】在長方體中，對每一條棱都有兩個面(側(cè)面或底面)和一個對角面(對不在同一個面上的一對互相平行的棱的截面)與它平行，可構(gòu)成3×12＝36個“平行線面組”，對每一條面對角線，都有一個面與它平行，可組成12個“平行線面組”，所以“平行線面組”的個數(shù)為36＋12＝48，故選B.【答案】B11．(2023·吉林一中高二期末)某同學(xué)忘記了自己的QQ號的后六位，但記得QQ號后六位是由一個1，一個2，兩個5和兩個8組成的，于是用這六個數(shù)隨意排成一個六位數(shù)，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的QQ號最多嘗試次數(shù)為()A．96 B．180C．360 D．720【解析】由這6個數(shù)字組成的六位數(shù)個數(shù)為eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))＝180，即最多嘗試次數(shù)為180.故選B.【答案】B12．設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大項是()A．15x3 B．20x3C．21x3 D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展開式中系數(shù)最大項是T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3.故選B.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．某科技小組有女同學(xué)2名、男同學(xué)x名，現(xiàn)從中選出3名去參加展覽．若恰有1名女生入選時的不同選法有20種，則該科技小組中男生的人數(shù)為________．【解析】由題意得Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,x)＝20，解得x＝5.【答案】514．6的計算結(jié)果精確到的近似值是________．【解析】6＝(1＋6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×＋Ceq\o\al(2,6)×＋Ceq\o\al(3,6)×＋…＝1＋＋5＋5＋…≈.【答案】15．(2023·山東高考)觀察下列各式：Ceq\o\al(0,1)＝40；Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝41；Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝42；Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝43；……照此規(guī)律，當n∈N*時，Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝________.【解析】觀察每行等式的特點，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個組合數(shù)的上標相等，故有Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝4n－1.【答案】4n－116．(2023·安徽高考)設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如圖2所示，則a＝________.圖2【解析】由題意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的展開式的通項公式知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)))r(r＝0,1,2，…，n)．故eq\f(C\o\al(1,n),a)＝3，eq\f(C\o\al(2,n),a2)＝4，解得a＝3.【答案】3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)，))試求x，n的值.【導(dǎo)學(xué)號：97270030】【解】∵Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,x＋1！n－x－1！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,x－1！n－x＋1！)，整理得3(x－1)！(n－x＋1)?。?1(x＋1)！(n－x－1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.將n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，∴x＝5，n＝3x＝15.18．(本小題滿分12分)利用二項式定理證明：49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．【證明】49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1＝Ceq\o\al(0,n)·48n＋Ceq\o\al(1,n)·48n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·48＋Ceq\o\al(n,n)＋16n－1＝16(Ceq\o\al(0,n)·3×48n－1＋Ceq\o\al(1,n)·3×48n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·3＋n)．所以49n＋16n－1能被16整除．19．(本小題滿分12分)一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？【解】(1)將取出4個球分成三類情況：①取4個紅球，沒有白球，有Ceq\o\al(4,4)種；②取3個紅球1個白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)種；③取2個紅球2個白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)種，故有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115種．(2)設(shè)取x個紅球，y個白球，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，0≤x≤4，,2x＋y≥7，0≤y≤6，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))因此，符合題意的取法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝186種．20．(本小題滿分12分)設(shè)(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即為含x6項的系數(shù)，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(2x)10－r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,10)(－1)r210－r·x10－r，所以當r＝4時，T5＝Ceq\o\al(4,10)(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.21．(本小題滿分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(2)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(3)全體站成一排，女生必須站在一起；(4)全體站成一排，男生互不相鄰．【解】(1)共有Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法．(2)甲為特殊元素．先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種方法．(3)(捆綁法)將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將4名女生進行