湖南省婁底市青煙中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省婁底市青煙中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=sinx+lnx，則f′（1）的值為（）A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則．【分析】求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，先求導(dǎo)函數(shù)【解答】解：因?yàn)閒′（x）=cosx+，則f′（1）=cos1+1．故選B．2.某小組共有10名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的概率(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：B略3.已知直線y＝x＋b，b∈[－2,3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率為()A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知,,則下列各式中正確的是(

)A.a＜＜b

B.a＜b＜C.b＜a＜

D.b＜＜a

參考答案：B5.過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn),且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A．1

B．

C.3

D．4參考答案：C6.給出下列四個不等式：①當(dāng)x∈R時，sinx+cosx>–；②對于正實(shí)數(shù)x，y及任意實(shí)數(shù)α，有xsin

2

α

·ycos2

α

<x+y；③x是非0實(shí)數(shù)，則|x+|≥2；④當(dāng)α，β∈(0，)時，|sinα–sinβ|≤|α–β|。在以上不等式中不成立的有（

）（A）0個

（B）1個

（C）2個

（D）3個參考答案：A7.已知回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（4，5），且=1.23，則回歸直線的方程是（

）A．＝1.23＋4

B．＝1.23＋5

C．＝1.23＋0.08

D．＝0.08＋1.23參考答案：C解：回歸直線方程為：5=1.23×4＋

解得＝0.08∴＝1.23x＋0.088.當(dāng)x＞0，y＞0，+=1時，x+y的最小值為（）A．9 B．10 C．12 D．13參考答案：A【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】巧用1，將已知等式與x+y相乘，得到基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值．【解答】解：由已知x＞0，y＞0，+=1，所以x+y=（+）（x+y）=5+≥5+2=9；當(dāng)且僅當(dāng)即x=3，y=6時等號成立；故選A．9.已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：B考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 簡易邏輯．分析： 求出不等式q的等價條件，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．解答： 解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要條件，∴k＞2，故選：B．點(diǎn)評： 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．10.復(fù)數(shù)（）A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i參考答案：A試題分析：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“若ab=0，則a，b中至少有一個為零”的逆否命題是

。參考答案：若a,b都不為零，則ab不為零.12.若角滿足，則＝_____；參考答案：【分析】由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化簡后，把tanα的值代入即可．【詳解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13.點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離和的最小值是

***

.參考答案：14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則的最小值為

▲

.參考答案：略15.在直角坐標(biāo)系中，直線的斜率是

▲

參考答案：16.在自然數(shù)中定義“*”運(yùn)算，觀察下列等式：2*3=2+3+4；3*5=3+4+5+6+7；7*3=7+8+9；……；若3*n=42，則n=

。參考答案：7略17.已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是．參考答案：y=2x【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】由已知函數(shù)的奇偶性結(jié)合x≤0時的解析式求出x＞0時的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），然后代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，設(shè)x＞0，則﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，則f′（x）=ex﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案為：y=2x．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率，過點(diǎn)A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)E（﹣1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，依題意可得：，由此能求出橢圓的方程．（2）假設(shè)存在這樣的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：（1）直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，依題意可得：，解得：a2=3，b=1，∴橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在這樣的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（﹣1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時，則y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③將②代入③整理得k=，經(jīng)驗(yàn)證k=使得①成立綜上可知，存在k=使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．【點(diǎn)評】本題考查圓與圓錐曲線的綜合性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．19.已知拋物線C1：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長為．（1）求橢圓C2的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）作斜率為k的直線l與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合．【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），求得a和b的關(guān)系，由C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±，），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得，可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)，故不存在實(shí)數(shù)k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）．因?yàn)镕也是橢圓C2的一個焦點(diǎn)，所以a2﹣b2=1．①又C1與C2的公共弦的長為，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為x2=4y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±，），所以．②聯(lián)立①，②得a2=9，b2=8．故C2的方程為．（2）由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程，整理得（9+8k2）x2+16k2x+8k2﹣72=0．設(shè)A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），于是有x1+x2=，x1x2=．因?yàn)椋?=x1x2+（kx1+k）（kx2+k）==．所以．可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)．∴不存在實(shí)數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外．20.正數(shù)，滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（）

A．

B．

C．

D．.參考答案：B21.設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：（1）方程f（x）=0有實(shí)根．（2）若﹣2＜＜﹣1且設(shè)x1，x2是方程f（x）=0的兩個實(shí)根，則≤|x1﹣x2|＜參考答案：證明：（1）若a=0，則b=﹣c，f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，與已知矛盾，所以a≠0．方程3ax2+2bx+c=0的判別式△=4（b2﹣3ac），由條件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=故方程f（x）=0有實(shí)根．（2）由條件，知，，所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．因?yàn)椹?＜＜﹣1所以故22.某廠有一臺價值為1萬元的生產(chǎn)設(shè)備，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入金額x萬元之間滿足：①y與和的乘積成正比；②當(dāng)時，.并且技術(shù)改造投