2021-2022學(xué)年北京房山區(qū)長陽中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年北京房山區(qū)長陽中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.半徑為的半圓卷成一個圓錐，圓錐的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是8，則輸入的數(shù)是A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：D3.在正方體中，直線與所成的角的大小為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.如圖所示，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°參考答案：D6.甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是（） A． B． C． D．參考答案：C【考點】古典概型及其概率計算公式． 【專題】概率與統(tǒng)計． 【分析】利用排列的意義，先求出甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排的排法及其甲站在中間的排法，再利用古典概型的計算公式即可得出． 【解答】解：甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，共有=6種排法，其中甲站在中間的排法有以下兩種：乙甲丙、丙甲乙． 因此甲站在中間的概率P=． 故選C． 【點評】正確理解排列的意義及古典概型的計算公式是解題的關(guān)鍵． 7.已知函數(shù)，則（

）A.0 B. C．－3 D．參考答案：D略8.在極坐標(biāo)系中與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程為（）A．ρcosθ=2 B．ρsinθ=2 C．ρ=4sin（θ+） D．ρ=4sin（θ﹣）參考答案：A【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】本選擇題利用直接法求解，把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)．即利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后進行判斷即可．【解答】解：ρ=4sinθ的普通方程為：x2+（y﹣2）2=4，選項A的ρcosθ=2的普通方程為x=2．圓x2+（y﹣2）2=4與直線x=2顯然相切．故選A．【點評】本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，是基礎(chǔ)題．9.圓心在曲線上，且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計算題．【分析】設(shè)圓心為（a，），a＞0，圓心到直線的最短距離為：=|3a++3|=r，|3a++3|=5r，由a＞0，知3a++3=5r，欲求面積最小的圓的方程，即求r最小時a和r的值，由此能求出面積最小的圓的方程．【解答】解：設(shè)圓心為（a，），a＞0，圓心到直線的最短距離為：=|3a++3|=r，（圓半徑）∴|3a++3|=5r，∵a＞0，∴3a++3=5r，欲求面積最小的圓的方程，即求r最小時a和r的值，∵5r=3a++3≥2+3=15，∴r≥3，當(dāng)3a=，即a=2時，取等號，∴面積最小的圓的半徑r=3，圓心為（2，）所以面積最小的圓的方程為：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故選A．【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查點到直線的距離公式和圓的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的靈活運用．10.復(fù)數(shù)的模為 A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=PC=2，設(shè)點K是△ABC內(nèi)一點，現(xiàn)定義，其中x，y，z分別是三棱錐，，的體積，若，則的最小值為

．參考答案：由定義得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即最小值為

12.命題P：，的否定是

.參考答案：?x∈R，x3－x2＋1≤0

13.給出以下4個命題：①，則是以為周期的周期函數(shù)；②滿足不等式組，的最大值為5；③定義在R上的函數(shù)在區(qū)間（1，2）上存在唯一零點的充要條件是；④已知所在平面內(nèi)一點（與都不重合）滿足，則與的面積之比為3。其中命題正確的序號是_______參考答案：略14.已知數(shù)列滿足則的最小值為_________．參考答案：略15.某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、體育、物理、這六門課，要求第一節(jié)不排語文，第五節(jié)不排英語，則這一天的課程表的排法有

種參考答案：50416.某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術(shù)考核.則抽取的4名工人中恰有兩名男工人的概率為

▲

；參考答案：本題考查分層抽樣，簡單隨機抽樣，古典概率.中檔題.計算得.

略17.已知x，y滿足，則z=2x﹣y的最小值為．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x﹣z經(jīng)過的交點時，可得交點坐標(biāo)（1，）直線y=2x﹣z的截距最小，由圖可知，zmin=2×1﹣=﹣．故答案為：﹣．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）對某校高二年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)統(tǒng)計，隨機抽取了名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下：（I）求出表中的值；（Ⅱ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于次的學(xué)生中任選人，求至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．參考答案：（1）因為，所以

.......................................................2分又因為，所以

.......................................................3分所以，

.......................................................4分（2）這是一個古典概型

.......................................................5分設(shè)參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在內(nèi)的學(xué)生為，參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在內(nèi)的學(xué)生為；

.............................................6分所有的基本事件為：共種；

............................................……8分

其中至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的基本事件有共種.∴

............................................……......................11分答：至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為.

……………12分19.（12分）已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣e，0）時，f（x）=ax-ln(-x)．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3．如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)x∈（0，e]，則﹣x∈[﹣e，0），∴f（﹣x）=﹣ax-lnx，又f（x）為奇函數(shù)，f（x）=﹣f（﹣x）=ax+lnx.∴函數(shù)f（x）的解析式為……………4分（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a符合題意，則當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3，當(dāng)x∈（0，e]時，①當(dāng)a=0時，∴函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數(shù)，∴f（x）max=f（e）=ae+1=1，不合題意，舍去．②當(dāng)時,由于x∈（0，e]．則．∴函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數(shù)，∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，則（舍去）．③當(dāng)時，在上，在上.則f（x）=ax+lnx在上遞增，上遞減，∴,解得a=﹣e2，④當(dāng)時，由于x∈（0，e]．則∴函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數(shù)，∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，則（舍去）．綜上可知存在實數(shù)a=﹣e2，使得當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3．……………12分

20.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，當(dāng)n≥2時，點（在f（x）=x+2的圖象上，且S1=，且bn=2（1﹣n）an（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)f（n）=，求f（n）的最大值及相應(yīng)的n值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可得=+2，可得=+2（n﹣1）=2n，即為Sn=，則an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣?；bn=2（1﹣n）an=；（Ⅱ）f（n）===，由（n+1）+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，取得等號．即有f（n）≤=，則f（n）的最大值為及相應(yīng)的n=1．點評：本題考查數(shù)列的通項的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式，以及數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．考點：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題：綜合題；函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由題意可得=+2，運用等差數(shù)列的通項公式可得，Sn=，由an=Sn﹣Sn﹣1，即可得到數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（Ⅱ）求得f（n）==，由基本不等式即可得到f（n）的最大值及相應(yīng)的n值．解答：解：（Ⅰ）由題意可得=+2，可得=+2（n﹣1）=2n，即為Sn=，則an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣?；bn=2（1﹣n）an=；（Ⅱ）f（n）===，由（n+1）+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，取得等號．即有f（n）≤=，則f（n）的最大值為及相應(yīng)的n=1．點評：本題考查數(shù)列的通項的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式，以及數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．21.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在處與直線相切.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)的上的最大值.參考答案：（1）；（2）.試題分析：(1)通過對求導(dǎo)，利用函數(shù)在處與直線相切，通過聯(lián)立方程組，計算即可得到結(jié)論；(2)通過可知，，通過討論在上的正負(fù)可知函數(shù)單調(diào)性，進而得到結(jié)論。解析：(1)f′(x)＝－2bx，∵函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切，∴解得(2)由(1)知，f(x)＝lnx－x2，

f′(x)＝－x＝，當(dāng)≤x≤e時，令f′(x)>0，得≤x<1，令f′(x)<0，得1<x≤e，

∴f(x)在[，1)上是增加的，在(1，e]上是減少的，

∴f(x)max＝f(1)＝－.22.某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查統(tǒng)計，其中學(xué)習(xí)積極性高的25人中有18人能積極參加班級工作，學(xué)習(xí)積極性一般的25人中有19人不太主動參加班級工作．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系？說明理由．參考答案：解：(1)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

（4分）(2