高中數(shù)學(xué)北師大版第三章不等式不等關(guān)系 2023版第3章基本不等式

§3基本不等式3．1基本不等式1．了解基本不等式的證明過程及其幾何解釋．(難點(diǎn))2．了解算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)的定義．(重點(diǎn))3．會用基本不等式推出與基本不等式有關(guān)的簡單不等式．(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理基本不等式閱讀教材P88～P89閱讀材料以上部分，完成下列問題．1．基本不等式如果a，b都是非負(fù)數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，稱上述不等式為基本不等式，其中eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均數(shù)，該不等式又被稱為均值不等式．2．基本不等式的文字?jǐn)⑹鰞蓚€非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3．意義(1)幾何意義：半徑不小于半弦．(2)數(shù)列意義：兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任意兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．()(2)不等式a2＋b2≥2ab中等號成立的條件是a＝b.()(3)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)與a2＋b2≥2ab這兩個不等式成立的條件是相同的．()【解析】(1)應(yīng)為任意兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，∴a＝b.(3)eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)中a、b∈R＋，a2＋b2≥2ab中a、b∈R.【答案】(1)×(2)√(3)×[小組合作型]利用基本不等式比較大小已知M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝3eq\r(xy)(其中，0＜x＜y)，試比較M、N、P之間的大?。揪庶c(diǎn)撥】根據(jù)基本不等式的條件和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小．【嘗試解答】eq\f(3x＋3y,2)≥eq\f(2\r(3x·3y),2)＝eq\r(3x＋y)＝(eq\r(3))x＋y，又0＜x＜y，上式“＝”不成立，∴eq\f(3x＋3y,2)＞(eq\r(3))x＋y，即M＞N.即N＞P，∴M＞N＞P.利用基本不等式比較兩個數(shù)(式)的大小，就是把數(shù)(式)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，達(dá)到比較的目的，在放縮的過程中，要結(jié)合不等式的傳遞性，即要保證不等號同方向．[再練一題]1．如果0＜a＜b＜1，P＝logeq\f(1,2)eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\f(1,2)(logeq\f(1,2)a＋logeq\f(1,2)b)，M＝eq\f(1,2)logeq\f(1,2)(a＋b)，試比較P，Q，M之間的大?。窘狻恳?yàn)镻＝logeq\f(1,2)eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\f(1,2)(logeq\f(1,2)a＋logeq\f(1,2)b)＝logeq\f(1,2)eq\r(ab)，M＝eq\f(1,2)logeq\f(1,2)(a＋b)＝logeq\f(1,2)eq\r(a＋b)，所以只需比較eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(a＋b)的大?。@然eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又因?yàn)閑q\f(a＋b,2)＜eq\r(a＋b)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(由a＋b＞\f(a＋b2,4)也就是\f(a＋b,4)＜1可得))所以eq\r(a＋b)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab).而y＝logeq\f(1,2)x為(0，＋∞)上的減函數(shù)，故Q＞P＞M.含條件的不等式證明已知，a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.【精彩點(diǎn)撥】巧妙利用a＋b＋c＝1，用a＋b＋c去乘式子eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))后展開，便可構(gòu)造出基本不等式的模型進(jìn)而可證明不等式．【嘗試解答】因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))(a＋b＋c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時等號成立，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.不等式證明問題可考慮使用基本不等式，運(yùn)用時注意對要證的不等式作適當(dāng)變形，變出基本不等式的形式，然后進(jìn)行證明，同時要注意基本不等式成立的條件．[再練一題]2．已知a、b、c為不等正數(shù)，且abc＝1，求證：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c). 【導(dǎo)學(xué)號：47172038】【證明】eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))·abc＝bc＋ac＋ab＝eq\f(bc＋ac,2)＋eq\f(ab＋ac,2)＋eq\f(bc＋ab,2)＞eq\r(abc2)＋eq\r(a2bc)＋eq\r(ab2c)＝eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).[探究共研型]基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的幾何解釋圖3-3-1如圖3-3-1，AB是圓O的直徑，點(diǎn)Q是AB上任一點(diǎn)，AQ＝a，BQ＝b，過點(diǎn)Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.你能利用這個圖形得出基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的幾何解釋嗎？探究1如何用a、b表示PQ、OP的長度？【提示】由射影定理可知PQ＝eq\r(ab)，而OP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(a＋b,2).探究2通過線段OP與PQ的大小關(guān)系，你能得出怎樣的不等式？【提示】半徑OP＝eq\f(a＋b,2)，顯然，它大于或等于PQ，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與圓心O重合，即a＝b時等號成立．已知a、b、c＞0，求證：a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).【精彩點(diǎn)撥】利用基本不等式證明．【嘗試解答】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，a＋c≥2eq\r(ac)，∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac))，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立．在利用基本不等式證明的過程中，常需把數(shù)、式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或恒等地變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式．[再練一題]3．已知a、b、c都是正數(shù)，求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.【證明】因?yàn)閍、b、c都是正數(shù)，所以a＋b≥2eq\r(ab)，a＋c≥2eq\r(ac)，b＋c≥2eq\r(bc)，∴(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2eq\r(ab)·2eq\r(bc)·2eq\r(ac)＝8abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立．1．x2＋y2＝4，則xy的最大值是()\f(1,2) B．1C．2 D．4【解析】x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2.【答案】C2．已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q≠1，設(shè)P＝eq\f(a2＋a9,2)，Q＝eq\r(a4·a7)，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P＜Q B．P＞QC．P＝Q D．無法確定【解析】由等比數(shù)列，得Q＝eq\r(a4a7)＝eq\r(a2a9)，而P＝eq\f(a2＋a9,2)，且a2＞0，a9＞0，q≠1，a2≠a9，∴eq\f(a2＋a9,2)＞eq\r(a2a9)，即P＞Q.選B.【答案】B3．不等式a2＋1≥2a【解析】當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0時“＝”成立，此時a＝1.【答案】a＝14．當(dāng)a，b∈R時，下列不等關(guān)系成立的是________．①eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②a－b≥2eq\r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.【解析】根據(jù)eq\f(a2＋b2,2)≥ab