高中數(shù)學北師大版2本冊總復習總復習 學業(yè)分層測評6

學業(yè)分層測評(六)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．數(shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128【解析】5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，歸納可得：x＝26＋1＝65.【答案】B2．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72016的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43C．07 D．49【解析】∵75＝16807,76＝117649，由運算規(guī)律知末兩位數(shù)字以4為周期重復出現(xiàn)，故72016＝74×504，故其末兩位數(shù)字為01.【答案】A3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an＝()A．eq\f(2,n＋12) B．eq\f(2,nn＋1)C．eq\f(2,2n－1) D．eq\f(2,2n－1)【解析】可以通過Sn＝n2·an(n≥2)分別代入n＝2,3,4，求得a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(2,nn＋1).【答案】B4．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱作正方形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成一個正方形(如圖3-1-6)．圖3-1-6則第n個正方形數(shù)是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1)2【解析】觀察前5個正方形數(shù)，恰好是序號的平方，所以第n個正方形數(shù)應為n2.【答案】C5．如圖3-1-7所示，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為()圖3-1-7A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.【答案】A二、填空題6．設f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，則x2，x3，x4分別為________，猜想xn＝________.【解析】x2＝f(x1)＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，x4＝f(x3)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，∴xn＝eq\f(2,n＋1).【答案】eq\f(2,3)，eq\f(2,4)，eq\f(2,5)eq\f(2,n＋1)7．根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測123456×9＋7等于________.1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111.【解析】由前5個等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111.【答案】11111118．如圖3-1-8所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈N＋)個點，每個圖形總的點數(shù)記為an，則a6＝__________________，an＝______________.圖3-1-8【解析】依據(jù)圖形特點可知當n＝6時，三角形各邊上各有6個點，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6時各圖形的特點歸納得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．【答案】153n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答題9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式．【解】當n＝1時，S1＝a1＝1；當n＝2時，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；當n＝3時，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)，∴S3＝－eq\f(3,5)；當n＝4時，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N＋)．10．已知f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論.【導學號：67720232】【解】由f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，得f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,3－1＋\r(3))＋eq\f(1,32＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(1,3－2＋\r(3))＋eq\f(1,33＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3).歸納猜想一般性結(jié)論為f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(\r(3),3).證明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(1,3－x＋\r(3))＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(3x,1＋\r(3)·3x)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x,\r(3)＋3x＋1)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)＋3x＋1)＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)1＋\r(3)·3x)＝eq\f(\r(3),3).[能力提升]1．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為()A．n＋1 B．2nC．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【解析】1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；…，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個區(qū)域，選C．【答案】C2．已知整數(shù)對的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第57個數(shù)對是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由題意，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對有如下規(guī)律：(1,1)的和為2，共1個；(1,2)，(2,1)的和為3，共2個；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和為4，共3個；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和為5，共4個；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和為6，共5個．由此可知，當數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n－1個數(shù)對．易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2,10)．【答案】A3．如圖3-1-9①，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向三角形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖3-1-9②，如此繼續(xù)下去，得圖3-1-9③，…，試用n表示出第n個圖形的邊數(shù)an＝________.①②③圖3-1-9【解析】觀察圖形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首項為3，公比為4的等比數(shù)列，故an＝3×4n－1.【答案】3×4n－14．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．【解】(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin