2021-2022學年湖北省襄陽市宜城一中寄宿制學校高二數學理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學年湖北省襄陽市宜城一中寄宿制學校高二數學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在（）A．直線AC上 B．直線AB上 C．直線BC上 D．△ABC內部參考答案：B【考點】直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由條件，根據線面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC內，根據面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，則根據面面垂直的性質，在平面ABC1內一點C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上．【解答】解：如圖：∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB為平面ABC1的兩條相交直線，根據線面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC內，根據面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，則根據面面垂直的性質，在平面ABC1內一點C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上．故選：B【點評】本題主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質定理，屬于中檔題．2.若x是第一象限角,則的最小值為(

)A.

B.2

C.2

D.4參考答案：B3.已知復數z滿足(i為虛數單位)，則z的虛部為（

）A．i

B．－1

C．－i

D．1參考答案：D4.已知函數

若，則（

）A．

B．

C．或

D．1或參考答案：C5.下列命題正確的是（

）A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

參考答案：D，選項A中忽略了當的情況，故A錯；選項B的結論中不等號方向沒改變，故B錯；選項C中忽略了的情況，故C錯.6.下列函數中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數的是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據初等函數圖象可排除；利用導數來判斷選項，可得結果.【詳解】由函數圖象可知：選項：；選項：在上單調遞減，可排除；選項：，因為，所以，可知函數在上單調遞增，則正確；選項：，當時，，此時函數單調遞減，可排除.本題正確選項：【點睛】本題考查函數在區(qū)間內單調性的判斷，涉及到初等函數的知識、利用導數來求解單調性的問題.7.設，經計算可得

.觀察上述結果，可得出的一般結論是（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：C略8.某幾何體的三視圖如右圖所示，它的體積為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（

）A．21.5分鐘

B．分鐘 C． 分鐘 D．2.15分鐘參考答案：C略10.如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形，俯視圖是一個直徑為的圓，那么這個幾何體的全面積為（） A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）把x=﹣1輸入如圖所示的流程圖可得輸出y的值是．參考答案：1∵框圖的作用是計算分段函數的值y=，∴當x=﹣1時，不滿足條件x＜0，故y=1．故答案為：1．12.已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是B1C1和C1D1的中點，點A1到平面DBEF的距離為________________．參考答案：1【分析】以D點為原點，的方向分別為軸建立空間直角坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出平面的法向量，代入向量點到平面的距離公式，即可求解?！驹斀狻恳詾樽鴺嗽c，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，所以，，，設

是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設點在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點到平面的距離．【點睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應用，對于利用空間向量求解點到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉化為點到平面的距離求解．著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.13.函數的定義域和值域均為(0,+∞)，的導數為，且，則的范圍是______．參考答案：【分析】構造函數，利用的導數判斷出在上為增函數，由得.構造函數，利用的導數判斷出在上為減函數，由得.綜上所述可得的取值范圍.【詳解】解：根據題意，設則，又由，則，則函數在上為增函數，則，即，變形可得，設則，又由，則，則函數在上為減函數，則，即，變形可得，綜合可得：，即的范圍是；故答案為：．【點睛】本小題主要考查構造函數法求表達式的取值范圍，考查利用導數研究函數的單調性，屬于難題.14.如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若，且，則此拋物線的方程為_____________參考答案：15.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均為正實數），則類比以上等式，可推測a，t的值，a+t=．參考答案：41【考點】類比推理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】觀察所給的等式，等號右邊是，，…第n個應該是，左邊的式子，寫出結果．【解答】解：觀察下列等式=2，=3，=4，…照此規(guī)律，第5個等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案為：41．【點評】本題考查歸納推理，考查對于所給的式子的理解，主要看清楚式子中的項與項的數目與式子的個數之間的關系，本題是一個易錯題．16.定義：曲線上的點到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離；現已知曲線到直線的距離等于，則實數的值為

.參考答案：略17.用數學歸納法證明：時,從“到”左邊需增加的代數式是______________________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知{an}的前n項和為Sn，且an+Sn=4．（1）求證：數列{an}是等比數列；（2）是否存在正整數k，使>2成立．參考答案：（1）由題意，Sn+an=4，Sn+1+an+1=4，∴（Sn+1+an+1）－（Sn+an）=0即2an+1－an=0，an+1=an，又2a1=S1+a1=4，∴a1=2．∴數列{an}是以首項a1=2，公比為q=的等比數列．（2）不存在這樣的k，使不等式成立略19.（本小題滿分14分）已知函數的極小值大于零,其中

，(Ⅰ)求的取值范圍.(Ⅱ)若在(Ⅰ)中的取值范圍內的任意,函數在區(qū)間內都是增函數,求實數的取值范圍.（Ⅲ）設,,若,求證參考答案：（Ⅰ）

令

則

x

0

+

0

_

0

+

極大值

極小值

…….6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知內為增函數

或

….10分（Ⅲ）證明：假設則

,

或

矛盾

假設不成立…………….14分略20.設函數f（x）=2xlnx﹣1．（1）求函數f（x）的最小值及曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；函數恒成立問題．【分析】（1）求出函數的導數，求得單調區(qū)間，可得極值、最值；求得切線的斜率和切點坐標，由點斜式方程可得切線方程；（2）由題意可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，構造函數h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，求解最大值，即可求解a的取值范圍．【解答】解：（1）函數f（x）=2xlnx﹣1的導數為f′（x）=2（lnx+1），當x＞時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有x=取得極小值，也為最小值，且為﹣﹣1；可得曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=2，切點為（1，﹣1），曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+1=2（x﹣1），即為2x﹣y﹣3=0；（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，設h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），當0＜x＜1時，h′（x）＞0，當x＞1時，h′（x）＜0，∴當x=1時，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2，∴實數a的取值范圍：[﹣2，+∞）．21.如圖5所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點，是上的點且，為△中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，，，求三棱錐的體積；（3）證明：平面.參考答案：1）證明：因為平面，所以。因為為△中邊上的高，所以。

因為，

所以平面。（2）連結，取中