2022年安徽省合肥市凱悅中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022年安徽省合肥市凱悅中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義為n個(gè)正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．若已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又bn=，則+++…+=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】直接利用給出的定義得到=，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)，驗(yàn)證n=1時(shí)滿足，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；再利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．【解答】解：由已知定義，得到=，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，即Sn=2n2+n．當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+n）﹣=4n﹣1．當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴an=4n﹣1；∵bn==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故選：C2.已知銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用余弦定理化簡后可得，再利用正弦定理把邊角關(guān)系化為角的三角函數(shù)的關(guān)系式，從而得到，因此，結(jié)合的范圍可得所求的取值范圍.【詳解】，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，故,選B.【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.3.如圖，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐A﹣FED的體積為V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的體積為V2，則V1：V2的值為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】設(shè)三棱柱的高為h，則小三棱錐的高為，利用相似比得出△ADE與△ABC的面積比，代入體積公式即可得出V1：V2的值．【解答】解：設(shè)三棱柱的高為h，∵F是AA1的中點(diǎn)，則三棱錐F﹣ADE的高為．∵D，E是AB，AC的中點(diǎn)，∴S△ADE=S△ABC．∵V1=，V2=S△ABC?h，∴==．故選：B．4.點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，若，，且，則的最大值為（

）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，得到，由此代入題中的不等式組，可得關(guān)于、的不等式組.作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解。【詳解】解：，，且，則，則，代入不等式，可得，作出不等式組表示的平面區(qū)域（陰影部分），又，其中表示點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處斜率最大，由得：的最大值為，所以的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，將條件轉(zhuǎn)換為關(guān)于、的不等式組是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題。5.已知在上是的減函數(shù)，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B

解析：令是的遞減區(qū)間，∴而須恒成立，∴，即，∴；6.冪函數(shù)f（x）=（m2﹣m﹣5）xm+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m等于（）A．3 B．﹣2 C．﹣2或3 D．﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】冪函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m，利用冪函數(shù)的性質(zhì)即可確定m的值．【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣5）xm+1是冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣5=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣2或m=3．∵冪函數(shù)f（x）=（m2﹣m﹣5）xm+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴m+1＜0，即m=﹣2，故選B．．7.圓心為（1，1）且過原點(diǎn)的圓的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2參考答案：D【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程．【解答】解：由題意知圓半徑r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故選：D．8.現(xiàn)有1名女教師和2名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】基本事件總數(shù)n=23=8，設(shè)兩道題分別為A，B題，利用列舉法求出滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件個(gè)數(shù)，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道題的概率．【解答】解：現(xiàn)有1名女教師和2名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，基本事件總數(shù)n=23=8，設(shè)兩道題分別為A，B題，所以抽取情況共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1個(gè)，第2個(gè)分別是兩個(gè)男教師抽取的題目，第3個(gè)表示女教師抽取的題目，一共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4種，故其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為p=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．9.在中，分別為角的對(duì)邊，若，則的形狀（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.等腰直角三角形參考答案：B略10.函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則

A.

1

B.

-1

C.

-9

D.

9參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則=

參考答案：12.計(jì)算：________；________.參考答案：8

1【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由題意，，.故答案為：8；1【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于簡單題.13.若，則=

.

參考答案：略14.已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，則M∩N等于．參考答案：{（3，﹣1）}考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．

分析：集合M，N實(shí)際上是兩條直線，其交集即是兩直線的交點(diǎn)．解答：解：聯(lián)立兩方程解得∴M∩N={（3，﹣1）}．故答案為{（3，﹣1）}．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了集合的交運(yùn)算，注意把握好各集合中的元素15.如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于_____________參考答案：略16.過點(diǎn)P(t，t）作圓C：（x一2)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB過點(diǎn)（2，），則t＝____.參考答案：8【分析】根據(jù)圓的方程得到圓C的圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而求得以為直徑的圓的方程，將兩圓方程相減，求得兩圓公共弦所在直線的方程，根據(jù)直線過點(diǎn)的條件，得到關(guān)于的等量關(guān)系式，最后求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳AC：的圓心為，，所以以為直徑的圓的方程為，即，可得：，即直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，故答案是：8.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有以某條線段為直徑的圓的方程，兩圓的公共弦所在直線的方程，點(diǎn)在直線上的條件，屬于中檔題目.17.設(shè)函數(shù)，如果方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：解析：因?yàn)楫?dāng)a＞3時(shí)，無解；當(dāng)a＝3時(shí)，只有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，直線與和有兩個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有兩個(gè)不同的解；當(dāng)a＜時(shí)，直線與和有兩個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有兩個(gè)不同的解．對(duì)于上述兩種情形，分別求出它們的解，然后解不等式，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求C；（2）若，，求△ABC的面積．參考答案：（1）；（2）5.【分析】（1）根據(jù)正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，又，從而，由于，所以．（2）根據(jù)余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故△ABC的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19.在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢（1）摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？?）摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月（按30天計(jì)）能賺多少錢？參考答案：解：把3只黃色乒乓球標(biāo)記為A、B、C，3只白色的乒乓球標(biāo)記為1、2、3。

從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)的基本事件為：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20個(gè)（1）

事件E={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊騷，事件E包含的基本事件有1個(gè)，即摸出123號(hào)3個(gè)球，P（E）=1/20=0.05（2）

事件F={摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球}，事件F包含的基本事件有9個(gè)，P（F）=9/20=0.45www.（3）

事件G={摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾珆={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球}，P（G）=2/20=0.1，假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件G發(fā)生有10次，不發(fā)生90次。則一天可賺，每月可賺1200元。略20.如圖，多面體中,兩兩垂直，平面平面，平面平面，.(1)證明四邊形是正方形；(2)判斷點(diǎn)是否四點(diǎn)共面，并說明為什么？(3)連結(jié)，求證：平面.

參考答案：證明：（1）

…………..2分同理，……..3分則四邊形是平行四邊形.又四邊形是正方形.……..4分(2)取中點(diǎn)，連接.在梯形中，且.又且,且.……..5分四邊形為平行四邊形,……..6分.……..7分在梯形中,

,……..9分四點(diǎn)共面.

…….10分（3）同（1）中證明方法知四邊形BFGC為平行四邊形.且有，從而,.

……..12分又故，而,故四邊形BFGC為菱形，

.

……..14分

又由知.正方形中，，故..

……..16分

21.用定義證明函數(shù)在（-2，）上的單調(diào)性。參考答案：略22.已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π． （1）求證：與互相垂直； （2）若k與﹣k的長度相等，求β﹣α的值（k為非零的常數(shù)）． 參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角． 【分析】（1）根據(jù)已知中向量，的坐標(biāo)，分別求出向量+與﹣的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可證得與互相垂直； （2）方法一：分別求出k與﹣k的坐標(biāo)，代入向量模的公式，求出k與﹣k的模，進(jìn)而可得cos（β﹣α）=0，結(jié)合已知中0＜α＜β＜π，可得答案． 方法二：由|k+|=|﹣k|得：|k+|2=|﹣k|2，即（k+）2=（﹣k）2，展開后根據(jù)兩角差的余弦公式，可得cos（β﹣α）=0，結(jié)合已知中0＜α＜β＜π，可得答案． 【解答】證明：（1）由題意得：+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ） ﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ） ∴（+）（﹣）=（cosα+cosβ）（cosα﹣cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ） =cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0 ∴+與﹣互相垂直． 解：（2）方法一：k+=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ）， ﹣k=（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ） |k+|=，|﹣k|= 由題意，得4cos（β﹣α）=0， 因?yàn)?＜α＜β＜π， 所以β