2022年四川省綿陽市毛公鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年四川省綿陽市毛公鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對任意實數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系一定是A．相離

B.相切

C.相交且不過圓心

D.相交且過圓心參考答案：C2.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，則a∈（0，+∞）時，實數(shù)b的最大值是（）A．e B．e6 C．e6 D．e參考答案：A【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】設(shè)公共點為P（x0，y0），分別求出f′（x）和g′（x），由題意可得f′（x0）=g′（x0），列出方程求出解出x0，再由f（x0）=g（x0）得到b關(guān)于a的函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由a的范圍和導(dǎo)數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：設(shè)曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點（x0，y0）處的切線相同，因為f′（x）=x+2a，g′（x）=，且f′（x0）=g′（x0），所以x0+2a=，化簡得，解得x0=a或﹣3a，又x0＞0，且a＞0，則x0=a，因為f（x0）=g（x0），所以，則b（a）=（a＞0），所以b′（a）=5a﹣3（2alna+a）=2a﹣6alna=2a（1﹣3lna），由b′（a）=0得，a=，所以當0＜a＜時，b′（a）＞0；當a＞時，b′（a）＜0，即b（a）在（0，）上單調(diào)遞增，b（a）在（，+∞）上單調(diào)遞減，所以當a=時，實數(shù)b的取到極大值也是最大值b（）=．故選：A．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，以及對數(shù)不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中檔題．3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的外接球的表面積為（

）A．8π

B．16π

C.32π

D．64π參考答案：C4.下列命題中，真命題為（）A．?x0∈R，e≤0B．?x∈R，2x＞x2C．已知a，b為實數(shù)，則a+b=0的充要條件是=﹣1D．已知a，b為實數(shù)，則a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要條件．參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】對于A，B，C舉例即可說明，對于D根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：對于A：因為ex＞0恒成立，故A不正確，對于B：當x=2時，不成立，故B不正確，對于C：a=b=0時，則a+b=0，故C不正確，對于D：由a＞1，b＞1?ab＞1，當a=﹣2，b=﹣2時，滿足ab＞1，但不滿足a＞1，b＞1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要條件，故D正確，故選：D5.已知直線過雙曲線右焦點，交雙曲線于，兩點，若的最小值為2，則其離心率為（）

A．

B．

C．2

D．3參考答案：B6.“”是“與直線平行”的（

）A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A由與直線平行，得,檢驗時，兩直線重合（舍去），所以時與直線平行的充要條件.7.已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是(

) （）A．(1,2] B．(1,2) C．[2,+) D．(2,+)參考答案：C8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）參考答案：D9.設(shè)命題，，則為（

）．A.， B.，C.， D.，參考答案：A【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，可直接得出結(jié)果.【詳解】解：表示對命題的否定，“，”的否定是“，”．故選．【點睛】本題主要考查命題的否定，只需改寫量詞與結(jié)論即可，屬于常考題型.10.已知“命題p：∈R，使得成立”為真命題，則實數(shù)a滿足（

）

A．[0，1）

B．

C．[1，＋∞）

D．參考答案：B若時，不等式等價為，解得，結(jié)論成立.當時，令，因為，要使成立，則滿足或，解得或，綜上，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則二項式展開式中的常數(shù)項是．參考答案：240【考點】二項式定理的應(yīng)用；定積分．【分析】利用定積分求出a，寫出展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，即可得出結(jié)論．【解答】解：=sinx=2，則二項式=展開式的通項公式為，令，求得r=4，所以二項式展開式中的常數(shù)項是×24=240．故答案為：240．【點評】本題考查定積分知識的運用，考查二項式定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．12.設(shè)向量=（1，x），=（﹣3，4），若∥，則實數(shù)x的值為．參考答案：﹣【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平行向量與共線向量；平面向量的坐標運算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由條件利用兩個向量共線的性質(zhì)求得x的值．【解答】解：由于向量=（1，x），=（﹣3，4），若∥，則由兩個向量共線的性質(zhì)可得1×4﹣x（﹣3）=0，解得x=﹣，故答案為﹣．【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當時，（為常數(shù)），則

參考答案：14.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是

.參考答案：215.已知整數(shù)滿足，則使函數(shù)的周期不小于的概率是

．參考答案：16.（坐標系與參數(shù)方程選做題）若直線與曲線沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：坐標系與參數(shù)方程選做題）

略17.在的展開式中，項的系數(shù)為__________.參考答案：-6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和為Sn；（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列的前n項的和，求證：.參考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.（Ⅱ），根據(jù)裂項求和法計算得到得到證明.【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計算，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.19.已知命題p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在上有且僅有一解；命題q：存在實數(shù)x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命題“￢p且q”是真命題，求a的取值范圍．參考答案：解：①若命題p為真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在上有且僅有一解，∴﹣≤a≤1．②若命題q為真，即存在實數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，因為命題“￢p且q”是真命題，所以，命題p是假命題、命題q是真命題，當命題p為假時，a＜﹣1或a＞1，當命題q為真時，a≤0或a≥2，因此，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪A包括“丙擊中9環(huán)且甲擊中9或10環(huán)”、“丙擊中10環(huán)且甲擊中10環(huán)”兩個互斥事件，則丙擊中的環(huán)數(shù)不超過甲擊中的環(huán)數(shù)的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．（2）記在一輪比賽中，“甲擊中的環(huán)數(shù)超過丙擊中的環(huán)數(shù)”為事件B，“乙擊中的環(huán)數(shù)超過丙擊中的環(huán)數(shù)”為事件C，則B與C相互獨立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．所以在一輪比賽中，甲、乙擊中的環(huán)數(shù)都沒有超過丙擊中的環(huán)數(shù)的概率為：P（）P（）==0.88×0.82=0.7216．考點：復(fù)合命題的真假；一元二次不等式．專題：計算題；判別式法；簡易邏輯．分析：先通過因式分解求出方程x2﹣（2+a）x+2a=0的根，再根據(jù)判別式確定不等式x2+2ax+2a≤0有解，最后根據(jù)復(fù)合命題真假求出a的取值范圍．解答：解：①若命題p為真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在上有且僅有一解，∴﹣≤a≤1．②若命題q為真，即存在實數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，因為命題“￢p且q”是真命題，所以，命題p是假命題、命題q是真命題，當命題p為假時，a＜﹣1或a＞1，當命題q為真時，a≤0或a≥2，因此，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪A包括“丙擊中9環(huán)且甲擊中9或10環(huán)”、“丙擊中10環(huán)且甲擊中10環(huán)”兩個互斥事件，則丙擊中的環(huán)數(shù)不超過甲擊中的環(huán)數(shù)的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．（2）記在一輪比賽中，“甲擊中的環(huán)數(shù)超過丙擊中的環(huán)數(shù)”為事件B，“乙擊中的環(huán)數(shù)超過丙擊中的環(huán)數(shù)”為事件C，則B與C相互獨立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．所以在一輪比賽中，甲、乙擊中的環(huán)數(shù)都沒有超過丙擊中的環(huán)數(shù)的概率為：P（）P（）==0.88×0.82=0.7216．點評：本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件的概率和對立事件的概率的計算公式的合理運用．20.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程平面直角坐標系中，曲線.直線l經(jīng)過點，且傾斜角為.以O(shè)為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.（I）寫出曲線C的極坐標方程與直線l的參數(shù)方程；（II）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值.

參考答案：解：(I)曲線C的方程為即,所以曲線C的極坐標方程為：即…………2分直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）…………5分(II)設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線l的參數(shù)方程代入中得…7分所以…………8分由題意得，解得或或…………10分

21.（本小題滿分13分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．（Ⅰ）當λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．參考答案：（17）（本小題滿分13分）方法一：（Ⅰ）證明：如圖①，連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知BC1∥AD1.當λ＝1時，P是DD1的中點，又F是AD的中點，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………5分圖①圖②（Ⅱ）如圖②，連接BD.因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四邊形PQBD是平行四邊形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，從而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因為BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四邊形EFPQ也是等腰梯形．同理可證四邊形PQMN也是等腰梯形．分別取EF，PQ，MN的中點為H，O，G，連接OH，OG，則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90°.連接EM，F(xiàn)N，則由EF∥MN，且EF＝MN知四邊形EFNM是平行四邊形．連接GH，因為H，G是EF，MN的中點，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝，故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．……13分方法二：以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直角坐標系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P(0，0，λ)．

圖③(－2，0，2)，F(xiàn)P＝(－1，0，λ)，F(xiàn)E＝(1，1，0)．…………2分（Ⅰ）證明：當λ＝1時，F(xiàn)P＝(－1，0，1)，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.………6分（Ⅱ）設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，則由于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一個法向量為m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝.故存在λ＝，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．………13分22.（本小題滿分13分）在數(shù)列中，已知.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項和.參考答案：解：（Ⅰ）∵∴數(shù)列｛｝是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴.……………