2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程2.1直線與圓的位置關(guān)系5作業(yè)含解析新人教版必修2202202261109

PAGEPAGE3直線與圓的位置關(guān)系一、選擇題1．若直線ax＋by＝1與圓C：x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是()A．P在圓內(nèi) B．P在圓外C．P在圓上 D．不確定解析：選B∵直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，∴a2＋b2＞1.2．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：選D直線的方程為y＝eq\r(3)x，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝4，圓心(0,2)到直線的距離d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,\r(\r(3)2＋－12))＝1，知所求弦長為d＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故選D.3．若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)] B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))解析：選C設(shè)直線為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，d應(yīng)滿足d≤r，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).4．由直線y＝x＋1上的點向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3解析：選C圓C的方程可變?yōu)椋?x－3)2＋y2＝1，圓心C(3,0)，半徑為1.直線y＝x＋1上點P(x0，y0)到圓心C的距離|PC|與切線長d滿足d＝eq\r(|PC|2－12)＝eq\r(x0－32＋y\o\al(2,0)－12)＝eq\r(2x\o\al(2,0)－4x0＋9)＝eq\r(2x0－12＋7)≥eq\r(7).5．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)解析：選B如下圖所示，設(shè)圓的圓心為M，則M(3,4)，半徑r＝5.當(dāng)過點P的直線過圓心M時，對應(yīng)的弦AC是最長的，此時，|AC|＝2r＝10；當(dāng)過點P的直線與MP垂直時，對應(yīng)的弦BD最小，此時在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2eq\r(|MD|2－|MP|2)＝4eq\r(6).此時四邊形ABCD的面積為：S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝20eq\r(6)，故選B.二、填空題6．過點P(－1,6)且與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直線方程是____________________．解析：當(dāng)所求直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為y－6＝k(x＋1)，則d＝eq\f(|2－6－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此時，直線方程為：4y－3x－27＝0；當(dāng)所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為x＝－1，驗證可知符合題意．答案：4y－3x－27＝0或x＝－17．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為____________________．解析：令y＝0得x＝－1，所以直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1,0)．因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝28．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2eq\r(2)，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為____________．解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3，或a＝－1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)，因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直線方程為x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答題9．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．解：設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，∴圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，過點P(2，－1)作圓C的切線，切點為A，B.(1)求直線PA，PB的方程；(2)過P點的圓C的切線長．解：(1)切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.圓心到直線的距離等于eq\r(2)，即eq\f(|－k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，∴k2－6k－7