甘肅省慶陽市寧縣中2021-2022學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲2．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)的圖象關于原點對稱；②函數(shù)是周期函數(shù)；③當時，函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④3．中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．4．已知是等差數(shù)列的前項和，若，設，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20175．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．的內角的對邊分別為，已知，則角的大小為（）A． B． C． D．7．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內一點，且，則（）A． B． C． D．8．設正項等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．369．在中，點D是線段BC上任意一點，，，則（）A． B．-2 C． D．210．年某省將實行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B． C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標原點），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則可取到的最大值為__________.14．如圖所示，點，B均在拋物線上，等腰直角的斜邊為BC，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標是________.15．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.16．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，.（1）證明：平面平面；（2），分別是，的中點，是線段上的動點，若二面角的平面角的大小為，試確定點的位置.19．（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．20．（12分）本小題滿分14分）已知曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線被曲線截得的線段的長度21．（12分）△的內角的對邊分別為,且．(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長．22．（10分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.故選：D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎題.2．A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.3．B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應算籌表示為中的．故選：．【點睛】本題主要考查學生的合情推理與演繹推理，屬于基礎題．4．B【解析】

根據(jù)題意計算，，，計算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和，若，故，，，，故，當時，，，，，當時，，故前項和最大.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.5．A【解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉化為關于的函數(shù)，構造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數(shù)取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應用，構造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉化與化歸的數(shù)學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.6．A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡，可求出解B.【詳解】由正弦定理可得，即，即有，因為，則，而，所以.故選：A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎題.7．D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.8．B【解析】

方法一：由題意得，根據(jù)等差數(shù)列的性質，得成等差數(shù)列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．9．A【解析】

設，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設由，，.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎題.10．B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．11．C【解析】

利用三角形與相似得，結合雙曲線的定義求得的關系，從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設，，由，與相似，所以，即，又因為，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質、漸近線方程求解，考查數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。12．C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算，由向量的關系，可得選項.【詳解】，，∴等價于，故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4【解析】

由于曲線與直線相交，存在相鄰兩個交點間的距離為，所以函數(shù)的周期，可得到的取值范圍，再由解出的兩類不同的值，然后列方程求出，再結合的取值范圍可得的最大值.【詳解】，可得，由，則或，即或，由題意得，所以，則或，所以可取到的最大值為4.故答案為：4【點睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質的應用及三角方程的求解，熟練應用三角函數(shù)的圖像和性質是解題的關鍵，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.14．【解析】

設出兩點的坐標，結合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得的坐標.【詳解】設，由于在拋物線上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化為，可得，所以，解得，則.所以.故答案為：【點睛】本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．15．【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當且僅當m＝n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為：4.【點睛】本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.16．【解析】

由題意可得，又，數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別求出，從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，∴，∴數(shù)列的通項公式，故答案為：.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，解題關鍵是由已知遞推關系得出，從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項，要注意結果是分段函數(shù)形式．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見證明；（2）【解析】

（1）設是的中點，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建空間直角坐標系，分別計算各個點坐標，計算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：設是的中點，連接、，是的中點，，，，，，，是平行四邊形，，，，，，，，由余弦定理得，，，，平面，，；（2）由（1）得平面，，平面平面，過點作，垂足為，平面，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，設是平面的一個法向量，則，，令，則，，，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直，線線垂直，利用空間直角坐標系解決線面夾角問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.18．（1）證明見解析；（2）為線段上靠近點的四等分點，且坐標為【解析】

（1）先通過線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）分析位置關系并建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關系，即可計算出的坐標從而位置可確定.【詳解】（1）證明：因為，，，所以，即.又因為，，所以，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：連接，因為，是的中點，所以.由（1）知，平面平面，所以平面.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則平面的一個法向量是，，，.設，，，，代入上式得，，，所以.設平面的一個法向量為，，，由，得.令，得.因為二面角的平面角的大小為，所以，即，解得.所以點為線段上靠近點的四等分點，且坐標為.【點睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關的問題，難度一般.（1）證明面面垂直，可通過先證明線面垂直，再證明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值，要注意結合圖形分析.19．（1）（2）【解析】

（1）項和轉換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．【點睛】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了項和轉換，數(shù)列的單調性，最值等知