2022屆甘肅省肅南縣一中高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．82．我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是（）（結果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．3．在菱形中，，，，分別為，的中點，則（）A． B． C．5 D．4．如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對 B．3對C．4對 D．5對5．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．36．某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為，設地球半徑為，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為（）A． B．C． D．7．復數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．8．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1479．點在曲線上，過作軸垂線，設與曲線交于點，，且點的縱坐標始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．設雙曲線的右頂點為，右焦點為，過點作平行的一條漸近線的直線與交于點，則的面積為（）A． B． C．5 D．611．復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i12．拋物線的焦點為，準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，設線段的中點在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下表是關于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.14．已知函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.15．設滿足約束條件，則的取值范圍是______.16．在棱長為的正方體中，是正方形的中心，為的中點，過的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱臺中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18．（12分）已知，函數(shù).（Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項的和.20．（12分）已知首項為2的數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項和.21．（12分）年，山東省高考將全面實行“選”的模式（即：語文、數(shù)學、外語為必考科目，剩下的物理、化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試）.為了了解學生對物理學科的喜好程度，某高中從高一年級學生中隨機抽取人做調(diào)查.統(tǒng)計顯示，男生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人；女生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人.（1）據(jù)此資料判斷是否有的把握認為“喜歡物理與性別有關”；（2）為了了解學生對選科的認識，年級決定召開學生座談會.現(xiàn)從名男同學和名女同學（其中男女喜歡物理）中，選取名男同學和名女同學參加座談會，記參加座談會的人中喜歡物理的人數(shù)為，求的分布列及期望.，其中.22．（10分）如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，，由于關于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當時，，則不滿足題意；當時，當時，，沒有整數(shù)解當時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.2．C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3．B【解析】

據(jù)題意以菱形對角線交點為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出，再根據(jù)坐標形式下向量的數(shù)量積運算計算出結果.【詳解】設與交于點，以為原點，的方向為軸，的方向為軸，建立直角坐標系，則，，，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數(shù)量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題，如果直接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.4．C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對．【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．5．D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項公式,進而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當時,取最大即可求得結果.【詳解】因為，所以，即，又，所以公差，所以，即，因為函數(shù)，在時，單調(diào)遞減，且；在時，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.6．A【解析】

由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，結合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長半軸），設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關鍵，屬于中檔題.7．D【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念.8．B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題9．C【解析】

設,則,則,即可得,設,利用導函數(shù)判斷的零點的個數(shù),即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調(diào)遞減；當時,,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.10．A【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程求出右頂點、右焦點的坐標，再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程，通過解方程組求出點的坐標，最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知中：，因此右頂點的坐標為，右焦點的坐標為，雙曲線的漸近線方程為：，根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設點作平行的一條漸近線的直線與交于點，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點的坐標是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.11．B【解析】分析：化簡已知復數(shù)z，由共軛復數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復數(shù)為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共軛復數(shù)，屬基礎題．12．B【解析】

試題分析：設在直線上的投影分別是，則，，又是中點，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點：拋物線的性質(zhì)．【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中，涉及到拋物線上的點到焦點的距離，焦點弦長，拋物線上的點到準線（或與準線平行的直線）的距離時，常?？紤]用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化．象本題弦的中點到準線的距離首先等于兩點到準線距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離，從而與弦長之間可通過余弦定理建立關系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．32【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎題.14．【解析】

構造函數(shù)，再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式，解得結果.【詳解】依題意，，令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15．【解析】

作出可行域，將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當時，z=0；當時將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.16．【解析】

確定平面即為平面，四邊形是菱形，計算面積得到答案.【詳解】如圖，在正方體中，記的中點為，連接，則平面即為平面．證明如下：由正方體的性質(zhì)可知，，則，四點共面，記的中點為，連接，易證．連接，則，所以平面，則．同理可證，，，則平面，所以平面即平面，且四邊形即平面截正方體所得的截面．因為正方體的棱長為，易知四邊形是菱形，其對角線，，所以其面積．故答案為：【點睛】本題考查了正方體的截面面積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)連接，由比例可得∥，進而得線面平行；（Ⅱ）過點作的垂線，建立空間直角坐標系，不妨設，則求得平面的法向量為，設平面的法向量為，由求二面角余弦即可.試題解析：（Ⅰ）證明：連接，梯形，,易知：；又，則∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）側(cè)面是梯形，，,,則為二面角的平面角，；均為正三角形，在平面內(nèi)，過點作的垂線，如圖建立空間直角坐標系，不妨設，則,故點，；設平面的法向量為，則有：；設平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【解析】

（Ⅰ）先求導，得，已知導函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進而得解；（Ⅱ）可通過必要性探路，當時，由知，又由于，則，當，，結合零點存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；【詳解】（Ⅰ）的定義域為.易知單調(diào)遞增，由題意有.令，則.令得.所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以，而又有，因此，所以.（Ⅱ）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增，而，，因此必存在使得，即.且當時，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；則.綜上，的最大值為3.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題19．（1）（2）【解析】

（1）由基本量法，求出公比后可得通項公式；（2）求出，用裂項相消法求和．【詳解】解：（1）設等比數(shù)列的公比為又因為，所以解得（舍）或所以，即（2）據(jù)（1）求解知，，所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和．解題方法是基本量法．基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法，務必掌握．20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能