高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第三節(jié)《函數(shù)單調(diào)性》參考 新人教必修1

.-6-4-2642246-2-4-6xyo-2-164212-2-4-6xyoxy87654321123456-6-5-4-3-2-1-1o觀察這三個(gè)圖象，你能說說它們分別反映了函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？.xy3210-1-2-3321456789y=x2246642-2-4-6-4-2xyy=xy=x的圖象

y=x2的圖象兩個(gè)函數(shù)的圖象各有什么特點(diǎn)？.xy3210-1-2-3321456789y=x2

y=x2的圖象圖象在y軸左側(cè)“下降”，也就是在區(qū)間（-∞，0]上，隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)反而減??；圖象在y軸右側(cè)“上升”，也就是在區(qū)間（0，+∞）上，隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨之增大。.xy3210-1-2-3321456789y=x2思考：如何利用函數(shù)解析式f(x)描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小”，“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著增大”？在區(qū)間上,任取兩個(gè)x1，x2∈(0，+∞)，得f(x1)=x12，f(x2)=x22，..x1x2f(x1)f(x2)..這時(shí)我們就說函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)。當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)你能仿照這樣的描述，說出函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞，0]上是減函數(shù)嗎？..判斷下列函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。（a>0）246642-2-4-6-4-2xyy=ax+b246642-2-4-6-4-2xyy=-ax+b在

是

函數(shù)在

是

函數(shù)(-∞，+∞)(-∞，+∞)增減.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。（a>0）增減246642-2-4-6-4-2xyy=ax在

是

函數(shù)在

是

函數(shù)246642-2-4-6-4-2xyy=-ax(-∞，0)，(0，+∞)(-∞，0)，(0，＋∞).判斷下列函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。（a>0）增減246642-2-4-6-4-2xy=ax2+bx+cx=-2a

by(-∞，-)b2a(-，+∞)b2a在是

函數(shù)在是

函數(shù)在是

函數(shù)在是

函數(shù)(-∞，-)b2a(-，+∞)b2a246642-2-4-6-4-2xyy=-ax2+bx+cx=-2a

b減增.圖象是定義在[-5，5]上的函數(shù)f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)。12345321-1-2-5-4-3-2-1xyy=f(x)解：由圖象可以看出：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3），[3，5]。

y=f(x)在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)是減函數(shù)在區(qū)間[-2，1)，[3，5]是增函數(shù)。.圖象是定義在[-5，5]上的函數(shù)f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)。12345321-1-2-5-4-3-2-1xyy=f(x)在x=-5，x=2，x=1，x=3，x=5這些點(diǎn)f(x)有單調(diào)性嗎？思考：如果把在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)是減函數(shù)寫成{x|-5<x<-2或1<x<3}對嗎？為什么？.物理學(xué)中的波意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)P將增大，使用函數(shù)的單調(diào)性證明之。kV證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則：P(V1)-P(V2)=kV1kV2-kV2-V1V1V2=.P(V1)-P(V2)kV1=kV2-kV2-V1V1V2=由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2>0由V1<V2，得V2-V1>0由k>0，于是P(V1)-P(V2)>0即P(V1)>P(V2)所以函數(shù)P=，V∈(0，+∞)是減函數(shù)。kV也就是說，當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)P將增大。.整個(gè)上午(8:00-12:00)天氣越來越暖，中午時(shí)分(12:00-13:00)一場暴風(fēng)雨使天氣驟然涼爽了許多。暴風(fēng)雨過后，天氣轉(zhuǎn)暖，直到太陽落山(18:00)才又開始轉(zhuǎn)涼，畫出這一天8:00-20:00期間氣溫作為時(shí)間函數(shù)的一個(gè)可能的圖象，并說出所畫圖象的單調(diào)區(qū)間。增區(qū)間為:

[8，12]，[13，18]減區(qū)間為:

[12，13]，[18，20]xy812131820-1-1o.根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)。xy12345-1-1o在

上是減函數(shù),在

上是增函數(shù);在

上是減函數(shù),在

上是增函數(shù)。

[-1，0][0，2][4，5][2，4].證明函數(shù)f(x)=2x-3在R上是增函數(shù)。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，任取x1，x2∈R，且x1<x2因?yàn)閒(x1)-f(x2)=(2x1-3)-(2x2-3)

=2(x1-x2)因?yàn)閤1<x2，所以x1-x2<0即f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)所以函數(shù)f(x)=2x-3在R上是增函數(shù)。..證明：選擇區(qū)間[1，+∞)根據(jù)單調(diào)性的定義任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1<x2f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1-3)-(-x22+2x2-3)=-(x12-x22)+2(x1-x2)=-(x1-x2)[x1+x2-2]函數(shù)f(x)=-x2+2x-3，試選擇證明以下兩個(gè)結(jié)論。(1)在區(qū)間(-∞，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，(2)在區(qū)間[1，+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)。.

f(x1)-f(x2)=-(x1-x2)[x1+x2-2]

因?yàn)閤1<x2，x1，x2∈[1，+∞),且x1<x2

所以f(x1)-f(x2)=-(x1-x2)[x1+x2-2]>0即f(x1)>f(x2)所以函數(shù)f(x)=-x2+2x-3在區(qū)間[1，+∞)上是減函數(shù)。所以x1-x2<0所以x1+x2>2，即x1+x2-2>0.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又當(dāng)x>-0.5時(shí)，有f(x)>0。

(1)求f(-0.5)的值；

(2)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)。解：(1)令m=n=0，則f(0)=f(0)+f(0)-1，所以f(0)=1又f(0.5-0.5)=f[0.5+(-0.5)]=f(0.5)+f(-0.5)-1所以f(0)=2+f(-0.5)-1，f(-0.5)=f(0)-1=0..已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又當(dāng)x>-0.5時(shí)，有f(x)>0。

(1)求f(-0.5)的值；

(2)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)。解：(2)設(shè)x1<x2，則x2-x1>0，x2-x1-0.5>-0.5.又x>-0.5時(shí)又f(x)>0，所以ｆ(x2-x1-0.5)>0。又f(x2)-f(x