《電磁場與電磁波》第三版 電子課件004

第4章恒定電流的磁場4.1真空中恒定磁場的基本方程

4.2磁介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程4.3恒定磁場的邊界條件

4.4自感、互感與磁耦合

習(xí)題4.1真空中恒定磁場的基本方程4.1.1磁通(量)密度設(shè)真空中有兩個載有線電流的回路C1和C2，I1dl1和I2dl2分別為C1和C2回路上的電流元(如圖1所示)，則電流回路C1對C2的作用力F12為(4-1-1)式中，R=r2－r1，aR=，μ0=4π×10－

7H/m(亨/米)為真空中的磁導(dǎo)率。上式稱為安培力定律(Ampere’sForceLaw)。圖4-1兩電流回路間的相互作用力對安培力定律，用場的觀點來解釋，可以認(rèn)為電流回路之間的相互作用力是通過磁場來傳遞的。因此，將式(4-1-1)改寫為式中，括號中的量值取決于電流回路C1的電流分布及源點到場點的距離矢量R，而與電流回路C2無關(guān)，故可定義：上式為電流回路C1在R處的磁場矢量，稱為磁通密度(MagneticFluxDensity)。與靜電場中采用的方法相似，為了方便討論，用不帶撇的坐標(biāo)表示場點，用帶撇的坐標(biāo)表示源點，如圖4-2所示。將上式改寫為(4-1-2)式(4-1-2)稱為畢奧—薩伐爾定律(Biot

Savart’sLaw)，它表示載有恒定電流I的導(dǎo)線在場點(x,y,z)或r處所產(chǎn)生的磁通密度。注意，B、dl′和aR

三者互相垂直，并遵循右手螺旋法則。若產(chǎn)生磁通密度的電流不是線電流，而是體電流分布J(r′)或面電流分布JS(r′)，則它們所產(chǎn)生的磁通密度分別為(4-1-3)(4-1-4)磁通密度B的單位為T(特斯拉，Tesla)，或Wb/m2(韋伯/平方米)，工程上，常因這個單位太大而選用高斯(Gaussion)，1高斯(G)=10-4特斯拉(T)。通常將式(4-1-2)～式(4-1-4)稱為磁通密度矢量積分公式。圖4-2由Q點電流元在P點產(chǎn)生的場

【例4-1】一根長為2l的直導(dǎo)線沿z軸放置，通過z方向的電流為I，求其在周圍產(chǎn)生的磁通密度。

解如圖4-3所示，選擇該載流導(dǎo)線的坐標(biāo)系。由于導(dǎo)線圓柱對稱，選擇圓柱坐標(biāo)系。設(shè)場點的位置坐標(biāo)為P(ρ,φ,z)，則電流元Idl′=I

dz′az

到場點的距離矢量

R=ρa(bǔ)ρ+(z-z′)az因而P點的磁通密度為由圖4-3的幾何關(guān)系得

R=ρcscθ,z-z′=ρ

cotθ即dz′=ρcsc2θ

dθ因而，有如果導(dǎo)線無限長，則θ1→0,θ2→π，因此無限長載流直導(dǎo)線的磁通密度為可見，沿z軸放置的載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁通密度場是一個連續(xù)的閉合曲線，其方向是以直導(dǎo)線為軸以ρ為半徑的柱面的切線aφ方向，并與電流源的方向呈右手螺旋關(guān)系。圖4-3載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場4.1.2磁通密度的散度及磁通連續(xù)性原理

1.磁通密度的散度利用式，式(4-1-3)又可以寫為應(yīng)用恒等式：同時注意到是對場點作用的算子，故×J(r′)=0，磁通密度可以表達(dá)如下：(4-1-5)又根據(jù)恒等式·(×A)≡0，可得(4-1-6)式(4-1-6)表明，由恒定電流產(chǎn)生的場是無散場或連續(xù)的場。一個散度為零的矢量可用另一個矢量的旋度來表示。磁通密度的散度恒等于零，所以它可以用矢量A的旋度來表示，即(4-1-7)由第1章已知，只有當(dāng)一個矢量場的散度和旋度同時確定時，這個矢量場才唯一確定。例如令A(yù)′=A+ψ，由于×(ψ)≡0，所以有×A′=×A。因此，要唯一地確定矢量A，還必須定義A的散度。在恒定磁場中，我們定義·A=0，并將此約束條件稱為庫侖規(guī)范(Coulomb’sGauge)。比較式(4-1-5)和式(4-1-7)得(4-1-8)此處A稱為磁矢位(MagneticVectorPotential)，其單位為Wb/m(韋伯/米)。如果電流為面電流分布或線電流分布，其磁矢位A的表達(dá)式分別為(4-1-9)(4-1-10)式(4-1-8)～式(4-1-10)表明，磁矢位A的方向與電流源的方向一致。因此當(dāng)電流分布已知，利用上述公式即可求得磁矢位A，再對其求旋度便得到磁通密度B，這樣做比較方便。另外，磁矢位的表達(dá)式(4-1-8)～式(4-1-10)的參考點均選在無窮遠(yuǎn)處。與靜電場相似，當(dāng)源延伸到無窮遠(yuǎn)點時，必須重新選擇參考點，以表達(dá)式簡捷、有意義為準(zhǔn)則。

【例4-2】求如圖4-4所示的一個半徑為a的微小電流環(huán)的磁矢位和磁通密度。

解采用球坐標(biāo)系。因為電流圓環(huán)及其磁場具有圓對稱性，故將待求場點P(r,θ,)置于yz平面內(nèi)，不會失去普遍性。圖4-4電流圓環(huán)產(chǎn)生的磁場電流環(huán)在P點產(chǎn)生的磁矢位的表達(dá)式為其中：因為r>>a，所以磁矢位將上式積分得將上式寫成球坐標(biāo)中的表達(dá)式，有令小電流環(huán)的面積πa2=S，IS=pm，pm=IS，S的方向與電流的方向呈右手螺旋關(guān)系。將小電流環(huán)的磁矢位可以表達(dá)為(4-1-11)于是，小電流環(huán)的磁通密度為(4-1-12)由此，我們可以看到式(4-1-12)和靜電場中電偶極子的電場表達(dá)式(2-1-23)之間有一定的對偶性，即將式(2-1-23)中的1/ε0換成μ0，p換成pm，則E(r)就變成B(r)。這樣一個微小的電流環(huán)路就可以等效為一個磁偶極子，它的磁偶極矩pm=IS。小電流環(huán)的磁力線如圖4-5所示。實際上，在磁場的實驗研究中已證實：一根微小的永久磁針周圍的磁場分布與微小電流環(huán)周圍的磁場分布是相同的。有一種解釋是永久磁針的兩端分別存在正磁荷和負(fù)磁荷。這種虛構(gòu)的磁荷±qm相隔距離d便形成一個磁偶極子，其磁矩為pm=qmd，從而也一定等效于電流回路的磁矩pm=IS。總之，電偶極子及其電場與磁偶極子及其磁場之間存在對偶關(guān)系；小電流環(huán)及其磁場與小磁針及其磁場之間具有等效關(guān)系。圖4-5帶電流的圓環(huán)所產(chǎn)生的磁力線

2.磁通連續(xù)性原理通過任意曲面S上的磁通量(MagneticFlux)定義為(4-1-13)若曲面S為閉合曲面，則穿過閉合曲面S的磁通量為(4-1-14)對上式應(yīng)用散度定理，有式中，V為閉合曲面S所包圍的體積。式(4-1-14)表明，穿過一個封閉面S的磁通量等于離開這個封閉面的磁通量，換句話說，磁通線永遠(yuǎn)是連續(xù)的。4.1.3磁場強(qiáng)度與安培環(huán)路定律在研究靜電場時，我們曾用電場強(qiáng)度將電通密度表示為D=εE?，F(xiàn)在，我們定義自由空間的磁場強(qiáng)度(MagneticIntensity)H為或

B=μ0H(4-1-16)

下面我們用磁場強(qiáng)度來討論安培環(huán)路定律。安培環(huán)路定律(Ampere’sCircuitalLaw)簡稱為安培定律，它闡明磁場強(qiáng)度沿任一閉合路徑的線積分等于閉合路徑所包圍的電流，即(4-1-15)(4-1-17)此處的電流I為閉合路徑所包圍面積內(nèi)的凈電流，它可以是任意形狀導(dǎo)體所載的電流。將上式應(yīng)用斯托克斯定理，并考慮到電流可用體電流密度表示為，因而(4-1-18)所以式(4-1-18)為恒定磁場中安培定律的微分形式。它表明由恒定電流產(chǎn)生的磁場是有旋場。式(4-1-14)和式(4-1-17)稱為恒定磁場基本方程的積分形式，式(4-1-6)和式(4-1-18)稱為恒定磁場基本方程的微分形式。在靜電場中，要計算對稱分布的電荷在某一區(qū)域的電場時，我們利用了高斯定理。而在恒定磁場中，如果電流或電流分布對稱，用安培定律就可以簡捷地求出磁場，而無需用畢奧—薩伐爾定律的復(fù)雜積分過程。

【例4-3】一根沿z軸方向的無限長直導(dǎo)線通過z方向的電流I。試用安培定律求空間任一點的磁場強(qiáng)度與磁通密度。解由對稱性，該電流產(chǎn)生的磁力線必然是同心圓，如圖4-6所示。沿每個圓的磁場強(qiáng)度值是相同的，因此對任意半徑ρ，有因此，空間任一點的磁場強(qiáng)度為磁通密度為可見，用安培定律算得的結(jié)果與例4-2相同，但卻簡便得多。圖4-6載流長直導(dǎo)線的磁場

【例4-4】無限長同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體內(nèi)、外半徑分別為b和c。電纜中有恒定電流I流過(內(nèi)導(dǎo)體上電流為I，外導(dǎo)體上電流為反方向的I)，求電纜內(nèi)、外空間的磁場。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣。

解圖4-7示出了同軸電纜的橫截面，注意到同軸電纜結(jié)構(gòu)對稱，磁場必然是對稱的。在半徑ρ等于常數(shù)的圓柱上磁場只有aφ方向且大小恒定，可用安培定律來計算。在a<ρ<b區(qū)域內(nèi)因而，有當(dāng)ρ>c時即同軸電纜外的磁場為零。圖4-7同軸電纜的磁場4.1.4矢量泊松方程因為B=×A和B=μ0H，所以，再將其兩邊取旋度得根據(jù)矢量恒等式：同時考慮到庫侖規(guī)范·A=0，可得(4-1-19)式(4-1-19)稱為矢量泊松方程(Vectorial

PossionEquation)。對于無源區(qū)域(J=0)，有(4-1-20)式(4-1-20)稱為矢量拉普拉斯方程(Vectorial

LaplaceEquation)。必須指出，這里的2后面是矢量，所以稱為矢量拉普拉斯算子，同標(biāo)量拉普拉斯方程中的2算子(2后面是標(biāo)量，稱為標(biāo)量算子)完全不同。在直角坐標(biāo)系中，A=axAx+ayAy+azAz，代入式(4-1-19)中得到由矢量恒等式2(aA)=(2a)A+(2A)a及2ax=0，上式可分解為三個分量的泊松方程:(4-1-21)是標(biāo)量拉普拉斯算子。式(4-1-21)的三個分量方程和靜電場的電位泊松方程形式相同，因此它們的求解方法也相同。除直角坐標(biāo)系外，其他坐標(biāo)系中的2A有更為復(fù)雜的運算和形式，詳見附錄1。三個分量方程即是標(biāo)量方程，這時的算子

【例4-5】沿z軸方向和+y軸方向為無限長的鐵磁體槽，其內(nèi)有一很長的z軸方向的電流I，如圖4-8所示。如果鐵磁體的磁導(dǎo)率μ→∞。試寫出槽內(nèi)磁矢位A應(yīng)滿足的微分方程及邊界條件。解槽內(nèi)除線電流I所在的位置之外,其他均為無源區(qū)域，而電流僅有z軸方向，所以由它所產(chǎn)生的磁矢位也為z軸方向，即

A=azAz又由于槽和電流沿z軸方向均為無限長，因此，磁矢位滿足的微分方程為而鐵磁體的磁導(dǎo)率μ→∞，意味著鐵磁體的表面為等磁位面，磁場強(qiáng)度H的方向與界面垂直，故磁場強(qiáng)度的切向分量為零，即在x=±a處，Hy=0；y=0,－a<x<a處Hx=0。由得磁矢位應(yīng)滿足的邊界條件為：

(1)在x=±a,0<y<+∞處，；

(2)在y=0,-a<x<a

處，。圖4-8鐵磁體槽4.2磁介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程從電磁學(xué)中知道：長度為L、載流為I的均勻密繞的螺線管線圈的中心的磁通密度最大。如果將不同物質(zhì)的樣品放在螺線管的上端，并觀察它們所感受的力,如圖4-9所示,結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同樣品將會受到不同的力。我們將感受輕微推斥力的物質(zhì)稱為抗磁體(Diamagnetic)，所有的有機(jī)化合物和大部分無機(jī)化合物都是抗磁體。有兩種不同類型的物質(zhì)感受到吸引力。我們將受到輕微力量拉向中心的物質(zhì)稱為順磁體(Paramagnet),像金屬鋁、銅等;而把被磁力吸進(jìn)去的物質(zhì)稱為鐵磁體(Ferromagnetic)，如鐵、磁鐵礦等。鐵磁物質(zhì)所受磁力可能是順磁物質(zhì)所受磁力的5000倍。圖4-9分子磁偶極矩由于順磁物質(zhì)與抗磁物質(zhì)所受的力很弱，因此實際上將它們歸在一起，統(tǒng)稱為非磁性物質(zhì)，非磁性物質(zhì)的磁導(dǎo)率與自由空間的相同。下面我們討論磁性物質(zhì)的磁化。在磁性物質(zhì)(常稱為媒質(zhì))中，分子中的電子以恒速圍繞原子核作圓周運動形成分子電流，它相當(dāng)于一個微小電流環(huán)可以等效為磁偶極子。其磁偶極矩pm的表達(dá)式為

pm=Ia

S (4-2-1)式中，Ia為分子電流，S為分子電流環(huán)的面積矢量，其方向與分子電流Ia的繞行方向成右手螺旋關(guān)系，如圖4-10所示。在沒有外加磁場時，就一般媒質(zhì)而言，由于各分子磁矩的取向隨機(jī)而相互抵消，對外不呈磁性，如圖4-11(a)所示。在外施磁場作用下，各分子磁矩沿磁場方向排列,如圖4-11(b)所示。磁偶極子的有序排列類似于電偶極子在電介質(zhì)中的有序排列，但有顯著的區(qū)別。電偶極子的有序排列總是減弱原來的電場，而磁介質(zhì)中磁偶極子的有序排列則是加強(qiáng)原來的磁場。媒質(zhì)內(nèi)部磁偶極子的有序排列，相當(dāng)于沿媒質(zhì)表面流動的電流,如圖4-11(c)所示。這些電流稱為束縛電流(BoundCurrent),也稱為磁化電流，它在媒質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一個附加場。設(shè)在體積ΔV內(nèi)有n個原子，pmi是第i個原子的磁矩，于是單位體積的磁矩定義為如果M≠0，表明該物體是已經(jīng)磁化的。（4-2-2）圖4-10磁偶極子的排列磁偶極子隨機(jī)排列的磁性物質(zhì)；(b)外場B使磁偶極子有序排列；(c)排列好的電流環(huán)等效于沿物質(zhì)表面的電流設(shè)在磁化介質(zhì)中取一個體積元dV′，其磁矩為M

dV′，由它所產(chǎn)生的磁矢位為體積V內(nèi)的磁化磁矩所產(chǎn)生的磁矢位為(4-2-3)利用恒等式：磁矢位可以寫成利用矢量恒等式：令(4-2-4)為束縛體電流密度，JSb=M×n(4-2-5)為束縛面電流密度。在式(4-2-4)和式(4-2-5)中，我們略去了上面的撇，但須理解旋度與叉乘運算都是對源點進(jìn)行的，其中的n為媒質(zhì)的外法向位矢量。磁矢位A可重寫為(4-2-6)式(4-2-6)表明，媒質(zhì)磁化后所產(chǎn)生的附加場，可用束縛電流Jb和JSb來等效計算。如果空間中同時還有自由體電流密度J和束縛電流Jb，則在計算磁化后總的合成磁場時，可以把媒質(zhì)所占空間視為真空，把束縛電流和自由電流在真空中產(chǎn)生的磁場進(jìn)行疊加，即因此有

B=μ0(H+M)(4-2-7)上式適用于任何線性的或非線性的媒質(zhì)。對于線性、均勻、各向同性的媒質(zhì)，磁矩M與H的關(guān)系為M=χmH(4-2-8)此處χm為一比例常數(shù)，稱為磁化率(MagneticSusceptibility)。將式(4-2-8)代入式(4-2-7)，得B=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH(4-2-9)式中，μ=μ0μr為媒質(zhì)的磁導(dǎo)率(Permeability)，參數(shù)μr稱為媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率。對于線性、各向同性、均勻媒質(zhì)，χm和μr都是無量綱的常數(shù)。對于順磁物質(zhì)，χm的數(shù)量級為10-3的正數(shù)，對于抗磁物質(zhì)，χm的數(shù)量級為10-6～10-9的負(fù)數(shù)，因此，這兩種物質(zhì)的μr都接近于1。一般情況下，工程中常把這些物質(zhì)的磁性質(zhì)看做與真空相同。鐵磁物質(zhì)的B與H不呈線性關(guān)系，且B與H的函數(shù)關(guān)系隨鐵磁物質(zhì)的結(jié)構(gòu)而異，但仍然可用式(4-2-9)來表示，只是其中的μ不再是常數(shù)。至此，綜合第2章媒質(zhì)的極化、導(dǎo)電及磁化性能，對線性各向同性媒質(zhì)，有下列方程：這三個方程通常叫做媒質(zhì)的本構(gòu)方程(ConstitutiveEquations)。(4-2-10)

4.3恒定磁場的邊界條件在通過具有不同磁導(dǎo)率的兩種媒質(zhì)的交界面時，一般來說磁場也要發(fā)生突變。為此，我們從恒定磁場基本方程的積分形式出發(fā)，來確定磁場在交界面上的突變規(guī)律，該突變規(guī)律也稱為邊界條件。由恒定磁場的兩個基本方程和,用與靜電場的邊界條件相類似的方法，可以得到邊界條件的表達(dá)式(4-3-1)式(4-3-1)的第一式表示，在分界面處磁通密度B的法向分量是連續(xù)的；其第二式表明在分界面處磁場強(qiáng)度H的切向分量一般是不連續(xù)的，除非分界面上的面電流密度JS=0。如果分界面上的JS=0，如圖4-12所示，則有(4-3-2)式(4-3-2)表明：

(1)如果θ2=0，則θ1=0。換句話說，磁場垂直穿過兩種磁介質(zhì)的分界面時，磁場的方向不發(fā)生改變，且數(shù)值相等；

(2)如果μ2>>μ1，且θ2≠90°，則θ1→0。這就是說，磁場由鐵磁體物質(zhì)穿出進(jìn)入一個非磁性物質(zhì)的區(qū)域時,磁場幾乎垂直于鐵磁體物質(zhì)的表面,這與電場垂直于理想導(dǎo)體的表面類似。圖4-11兩種磁介質(zhì)的邊界

【例4-6】設(shè)x<0的半空間充滿磁導(dǎo)率為μ的均勻媒質(zhì)，x>0的半空間的磁導(dǎo)率為μ0，現(xiàn)有一無限長直電流I沿z軸正向流動，且處在兩種媒質(zhì)的分界面上，如圖4-13所示。求兩種媒質(zhì)中的磁通密度和磁化電流的分布。

解因為線電流位于兩種媒質(zhì)的分界面上，所以分界面上磁場的方向與分界面垂直，設(shè)在x<0的半空間的磁通密度和磁場分別為B1和H1，在x>0的半空間的磁通密度和磁場分別為B2和H2。根據(jù)安培定律：圖4-12兩種媒質(zhì)中的磁通密度得 H1πρ+H2πρ=I

在兩種媒質(zhì)的交界面上磁通密度的法向分量連續(xù)，即滿足邊界條件： B1=B2=B再利用媒質(zhì)的本構(gòu)方程：綜合上述分析,可以求得兩種媒質(zhì)中的磁通密度為由于導(dǎo)磁媒質(zhì)是均勻的，所以媒質(zhì)內(nèi)部無磁化電流。在兩種媒質(zhì)的分界面上，由于磁場與界面垂直，故也沒有磁化電流。但在電流與媒質(zhì)相接觸的媒質(zhì)分界面上，存在磁化電流Ib?，F(xiàn)以z軸為中心軸，根據(jù)安培定律：即 2πρB=μ0(I+Ib)將前面算出的磁通密度表達(dá)式代入可得磁化電流為4.4自感和互感4.4.1自感與互感在線性媒質(zhì)中，一個電流回路在空間任一點產(chǎn)生的磁通密度B的大小與其電流I成正比，因而穿過回路的磁通量也與回路電流I成正比。如果一個回路是由一根導(dǎo)線密繞成N匝組成的，則穿過這個回路的總磁通(稱為全磁通)等于各匝磁通之和，也就是一個密繞線圈的全磁通等于與單匝線圈交鏈的磁通和匝數(shù)的乘積，因此，全磁通又稱為磁鏈(MagneticFluxLinkage)。若當(dāng)穿過回路的磁鏈Ψ是由回路本身的電流I產(chǎn)生的，則磁鏈Ψ與電流I的比值定義為自感，其表達(dá)式為(4-4-1)其中，磁鏈的表達(dá)式為(4-4-2)式中，l的方向就是電流I的方向，S的方向與電流I的方向遵循右手螺旋法則。B和A分別為電流I在回路內(nèi)產(chǎn)生的磁通密度和磁矢位。自感(SelfInductance)或電感(Inductance)的單位為H(亨)，它取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導(dǎo)率。若有兩個彼此靠近的回路C1、C2，電流分別為I1和I2，如圖4-14所示。如果回路C1中的電流I1所產(chǎn)生的磁通密度和磁矢位分別為B1和A1，它與回路C2相交鏈的磁鏈為Ψ12，則Ψ12的表達(dá)式為(4-4-3)圖4-13自感與互感式中，l2的方向就是電流I2的方向，S2的方向與電流I2的方向遵循右手螺旋法則。則Ψ12與I1的比值定義為互感:(4-4-4)如果回路C2中的電流I2所產(chǎn)生的磁通密度和磁矢位分別為B2和A2，它與回路C1相交鏈的磁鏈為Ψ21，則Ψ21的表達(dá)式為(4-4-5)Ψ21與I2的比值定義為互感M21：(4-4-6)

M12和M21均稱為回路C1和C2的互感(MutualInductance)，單位與自感相同，且有M12=M21。由式(3)和式(5)可知，互感有正有負(fù)，這取決于兩電流的方向。假設(shè)回路C1中的電流I1所產(chǎn)生與回路C2相交鏈的磁鏈為Ψ12，回路C2中的電流I2所產(chǎn)生與回路C2相交鏈的磁鏈為Ψ22，若Ψ12與Ψ22有相同的方向，則互感系數(shù)取正值，否則互感系數(shù)取負(fù)值。當(dāng)電流I1或I2改變方向時，互感也將改變符號。下面舉例說明自感和互感的計算。

【例4-7】求如圖4-14所示雙導(dǎo)線傳輸線單位長度的自感。已知導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距D>>a。圖4-14雙導(dǎo)線傳輸線自感的計算解雙導(dǎo)線中各通一方向相反的電流。由安培環(huán)路定律求得雙導(dǎo)線之間xOz平面內(nèi)點P處的磁通密度為因此，單位長度雙導(dǎo)線平面上的磁鏈為積分得到故雙導(dǎo)線傳輸線單位長度的自感為類似分析可得同軸線單位長度的自感為式中,a和b分別為同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體半徑。應(yīng)當(dāng)指出，上面計算的自感是只考慮了導(dǎo)線外部的磁通，故稱該電感為外自感，在導(dǎo)線內(nèi)部的磁力線同樣套鏈著電流，其磁鏈與電流的比值稱為內(nèi)自感。通常我們所說的自感一般指外自感。

【例4-8】有一長方形閉合回路與雙線傳輸線在同一平面內(nèi)，如圖4-15所示，回路兩長邊與傳輸線平行，求傳輸線與回路之間的互感。

解建立如圖所示的坐標(biāo)，雙線傳輸線在矩形線圈中產(chǎn)生的磁通密度為根據(jù)矩形閉合回路S2中的電流方向，可以確定該回路法向為－ay，于是穿過該回路的磁鏈為因此，兩者的互感為由此可見，互感的大小不僅取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，還與兩個回路的相互位置有關(guān)，互感的正負(fù)則取決于通過兩回路電流的方向。圖4-15雙線傳輸線與矩形線圈互感的計算4.4.2磁耦合

磁耦合也稱為磁場耦合，在低頻電路中又稱為電流耦合。任意靠近的兩個電流回路之間都存在著互感，比如印刷線路板上具有相同返回路徑或靠近返回路徑的線路、相鄰兩電流回路間均存在著互感，這些互感也稱為耦合電感。圖4-16是典型的電路連接形式，兩個回路之間存在互感，當(dāng)信號頻率較低時，耦合系數(shù)比較小，互感的影響往往可以忽略，而當(dāng)頻率較高時，耦合系數(shù)變大，會引起信號的串?dāng)_（Crosstalk），有時這種串?dāng)_甚至比分布電容所帶來的串?dāng)_更嚴(yán)重。因此在電路設(shè)計中，由互感產(chǎn)生磁耦合效應(yīng)而引起信號的串?dāng)_問題更加值得關(guān)注，特別是在高速數(shù)字電路設(shè)計時更是不容忽視的。圖4-16電路中的磁耦合習(xí)題

4.1自由空間中有一半徑為a的載流線圈，電流強(qiáng)度為I，求其軸線上任一點處的磁通密度。

4.2真空中直線長電流I的磁場中有一等邊三角形回路，如題4.2圖所示，求通過三角形回路的磁通量。

4.3若半徑為a、電流為I的無限長圓柱導(dǎo)體置于空氣中，已知導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為μ0，求導(dǎo)體內(nèi)、外的磁場強(qiáng)度H和磁通密度B。

4.4如果在半徑為a、電流為I的無限長圓柱導(dǎo)體內(nèi)有一個不同軸的半徑為b的圓柱空腔，兩軸線的距離為c，且c+b<a，如題4.4圖所示。求空腔內(nèi)的磁通密度。題4.2圖題4.4圖

4.5在下面的矢量中，哪些可能是磁通密度B？如果是，與它相應(yīng)的電流密度J為多少？

(1)F=aρρ(圓柱坐標(biāo)系)；

(2)F=-axy+ayx

；

(3)F=axx

-ayy

；

(4)F=-aφr(球坐標(biāo)系)。

4.6已知某電流在空間產(chǎn)生的磁矢位是