二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.已知拋物線y＝－x2－2x＋m.(1)若拋物線經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)，則m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2)若拋物線與y軸交于正半軸，則m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）

(3)若拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則m_______.(4)若拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，則m______。＝＞=-1<-1典型例題例1

拋物線y＝ax2＋bx＋c如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝－1．（1）確定a，b，c，D的符號(hào)．（2）求證a－b＋c＞0．（3）求當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0；當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0；當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0．

例1

拋物線y＝ax2＋bx＋c如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝－1．（1）確定a，b，c，D的符號(hào)．（2）求證a－b＋c＞0．（3）求當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0；當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0；當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0．

分析:弄清系數(shù)與圖象間的關(guān)系是解題關(guān)鍵，主要從a，b，c，－，D的符號(hào)加以判定．當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c可利用圖象觀察符號(hào)．例1

拋物線y＝ax2＋bx＋c如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝－1．（1）確定a，b，c，D的符號(hào)．

解：（1）拋物線開口向下，故a＜0．∵對(duì)稱軸x＝－1在y軸的左側(cè)，∴x＝－＜0．∴b與a同號(hào)，b＜0．∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0．∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴D＞0．例1

拋物線y＝ax2＋bx＋c如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝－1．（1）確定a，b，c，D的符號(hào)．（2）求證a－b＋c＞0．

解：（2）當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c，從圖象可知，a－b＋c＞0．例1

拋物線y＝ax2＋bx＋c如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝－1．（1）確定a，b，c，D的符號(hào)．（2）求證a－b＋c＞0．（3）求當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0；當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0；當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0．

解：（3）觀察圖象可知：當(dāng)－3＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＜－3或x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＝－3或x＝1時(shí)，y＝0．練習(xí)（一）選擇題：

1．已知a＜0，b＞0，那么拋物線y＝ax2＋bx＋2的頂點(diǎn)在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

A判斷符號(hào)a、b、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c思考41-1例4、判斷符號(hào)

a、b、c、

2a+b、2a-b、

b2-4ac、

a+b+c、a-b+c、

4a+2b+c、4a-2b+c

1-15.已知拋物線y=x2-2x-8，

（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求△ABP的面積。(1)證明:

∵△=22-4*(-8)=36>0∴該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)(2)解:∵拋物線與x軸相交時(shí)x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6

又∵而P點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-9)∴S△ABC=27應(yīng)用：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示：

(1)求函數(shù)解析式

(2)求四邊形OBCD的面積oBCD13－4把x=3，y=0代入解析式得0=4a－4a=1∴y=（x-1）2–4解：由圖知頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4），圖象經(jīng)過D點(diǎn)（3，0）

xy∴設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-1）2–4求不規(guī)則的四邊形的面積通常利用“化歸思想”把它轉(zhuǎn)化成三角形和特殊的四邊形的面積進(jìn)行求解(2)求四邊形OBCD的面積y=（x-1）2–4oBCD13xy-4∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=-3=3GE－4=OB×GC+OD×EC=2121215連結(jié)OC設(shè)法利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)線段的長，注意帶上絕對(duì)值oBC13xyEDGS四邊形OBCD=S⊿OBC+S⊿OCD∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=GC=1，OD=3，ED=OD-OE=2，EC=-4=4∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3=（OB+EC）OE+ED*EC=∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=1，OD=3，ED=OD-OE=2，EC=41212215oBCD3xyE-41∴S四邊形OBCD=S梯形OBCE+S⊿ECD∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3S四邊形OBCD=

S矩形OGHD－S⊿GCB－S⊿CHD=-4G∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=1，OD=3，ED=OD-OE=2，EC=4

OG=EC=DH=4，GC=OE=1，GB=1，CH=ED=2H過D點(diǎn)作DH⊥x軸，交GC的延長線于H點(diǎn)215oB13xyEDC

∵E（1，0）D（3，0）C（1，-4）∴OE=1，OD=3，OG=EC=4，GB=1

OG=EC=4，GC=OE=1，S四邊形OBCD=

S梯形OGCD－S⊿GCB=（GC+OD）×OG－GC×GB=2151212oBCD13xy-4GE∵y=（x-1）2–4令x=0代入y=-3∴B（0，-3）OB=3oBCD13－4xy練習(xí)解答題：

1．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的形狀與拋物線

y＝x2＋3相同，它的對(duì)稱軸是x＝－2，它與

x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求：（1）圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）確定二次函數(shù)解析式．練習(xí)填空題：

2．如圖，拋物線y＝－x2＋2（m＋1）x＋m＋3

與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且OA︰OB＝3︰1，則m＝________．０abc2a+b2a-bb2-4ac

a+