matlab 第4章 符號數(shù)學基礎-王文杰

教學內容第1章 MATLAB概論第2章 矩陣運算基礎第3章 數(shù)值計算基礎第4章 符號數(shù)學基礎第5章 基本圖形處理功能第6章 高級圖形處理功能第7章 圖形用戶界面設計第8章 M文件程序設計基礎第9章 Simulink基礎14.1符號對象的創(chuàng)建4.2符號表達式的化簡和替換

4.3符號微積分4.4符號方程的求解4.5符號數(shù)學的簡易繪圖函數(shù)4.6圖形化符號函數(shù)計算器4.7Taylor級數(shù)計算器第4章符號數(shù)學基礎內容提要：2符號運算數(shù)值計算參與運算的變量是被賦值的數(shù)值變量,用于數(shù)值的存儲和各種數(shù)值的計算。參與運算的變量是符號變量,用于形成符號表達式,進行各種運算,給出解析表達式的結果3例:求多項式的根a=[12-3];r=roots(a)r=-3.00001.0000symsabcxs=a*x^2+b*x+c;r=solve(s)r=1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))4

主要功能：符號表達式的創(chuàng)建、符號矩陣的運算、符號表達式的化簡和替換、符號微積分、符號代數(shù)方程、符號微分方程、符號函數(shù)繪圖符號數(shù)學工具箱：SymbolicMathToolbox54.1符號對象的創(chuàng)建

6symsvar1var2…varn4.1.1創(chuàng)建符號變量和表達式

創(chuàng)建一個符號變量var，并初始化。表示內容可以是字符、字符串、表達式var=sym（’x表示內容’）一次定義多個變量說明:

變量間用空格而不要用逗號分隔7例:exp4_1.ma=sym('a')b=sym('hello')c=sym('(1+sqrt(5))/2')y=sym('x^3+5*x^2+12*x+20')例:exp4_1_1.m創(chuàng)建符號表達式“b^2-4*a*c”，并賦值給符號變量dtdt=sym('b^2-4*a*c')8例:exp4_1_2.m比較符號常數(shù)與數(shù)值k1=sym('8');k2=sym('2');r1=8,r2=2;sqrtk=sqrt(k1)sqrtr=sqrt(r1)sqrt(k1+sqrt(k2))sqrt(r1+sqrt(r2))sqrtk=2*2^(1/2)sqrtr=2.8284ans=(8+2^(1/2))^(1/2)ans=3.06839symsabcxy=a*x^2+b*x+c10使用sym和syms函數(shù)直接輸入創(chuàng)建符號矩陣可以與數(shù)值矩陣相互轉換4.1.2創(chuàng)建符號矩陣數(shù)值矩陣轉換為符號矩陣—sym(x)符號矩陣轉換為數(shù)值矩陣--double(x)11例:exp4_3.msymsabcdn=[abcd;bcda;cdab;dabc]例:exp4_4.m將3階Hilbert矩陣轉換為符號矩陣h=hilb(3)h1=sym(h)h2=double(h1)12h=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000h1=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]注意:數(shù)值矩陣和符號矩陣的區(qū)別例:exp4_4.m將3階Hilbert矩陣轉換為符號矩陣h=hilb(3)h1=sym(h)13MATLAB以最接近字符x的順序排列默認自變量；若與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先；大寫字母比所有的小寫字母都靠后。i,j表示虛數(shù)單位，因此不能作為自變量4.1.3默認符號變量14可用findsym函數(shù)對默認自變量進行查詢findsym（f）按字母順序排列表達式f中全部自變量findsym（f，n）按最接近變量x的順序排列f中的前n個自變量15例4-3:創(chuàng)建符號變量a、b、n、x和t，建立函數(shù)f=axn+bt，并求f的默認自變量。symsabntx;f=a*x^n+b*t;f1=findsym(f,1);f2=findsym(f,2);f3=findsym(f,5);f4=findsym(f)f1=xf2=x,tf3=x,t,n,b,af4=a,b,n,t,x164.2

符號表達式的化簡和替換

17因式分解：函數(shù)為：factor,調用格式：factor(S),在這里可以使用函數(shù)pretty將符號表達式按照書寫的習慣方式顯示。如果S的所有元素為整數(shù)，則計算其最佳因數(shù)分解

符號表達式的展開：函數(shù)為：expand(S)符號表達式的同類項合并：函數(shù)為：collect(S,n)將符號表達式S中自變量n的同次冪系數(shù)合并4.2.1符號表達式的化簡18符號表達式的化簡：提供了兩個化簡函數(shù)，分別是simple和symplify函數(shù)simplify的調用格式為：simplify(S),化簡函數(shù)，使用Maple化簡規(guī)則。Simple嘗試采用多種算法以尋求最簡形，其調用格式：[r,how]=simple(S),返回S最簡形式，r為返回的簡化形式，how為化簡過程中使用的主要方法19simple函數(shù)使用的化簡方法simplify:函數(shù)對表達式進行化簡radsim:函數(shù)對含根式的表達式進行化簡combine:函數(shù)將表達式中以求和、乘積、冪運算等形式出現(xiàn)的項進行合并collect:合并同類項factor:函數(shù)實現(xiàn)因式分解convert:函數(shù)完成表達式形式的轉換expand:符號表達式的同類項合并20例4-4:簡化

syms

x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);[g1,how]=simple(f)[g2,how]=simple(g1)g1=(2*x+1)/xhow=radsimpg2=2+1/xhow=expand21符號表達式的分式通分：函數(shù)為[n,d]=numden(S)將符號表達式轉換為分子和分母都是整系數(shù)的最佳多項式。n分子,d分母。符號表達式的嵌套式重寫：函數(shù)horner(S)將符號表達式S轉換為嵌套形式。22例4-5:對表達式進行通分n=y^2-x^2

d=x*ysymsxy;f=y/x-x/y;[n,d]=numden(f)23例4-6:對下列表達式進行嵌套形式重寫ans=-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*xsymsx;f=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f)24subexpr:將表達式中重復出現(xiàn)的字符串用變量代替;調用格式：[Y,SIGMA]=subexpr(S,SIGMA)此函數(shù)用變量SIGMA的值代替符號表達式S中重復出現(xiàn)的字符串，Y返回替換后的結果。Subs:用指定符號替換符號表達式中的某一特定符號;調用格式:

R=subs(S,old,new)。當變量new是數(shù)值形式時，所顯示的結果雖然是數(shù)值，但它事實上仍然是符號變量。4.2.2符號表達式的替換25symsax;f=a*sin(x)+5;

f1=subs(f,'sin(x)',sym('y'))class(f1)f2=subs(f,{a,x},{2,sym('pi/3')})class(f2)f3=subs(f,[a,x],[2,pi/3])class(f3)例4-7:

subs的置換規(guī)則演示。符號表達式置換(sin(x)被y置換）符號常數(shù)置換（a被雙精度數(shù)字2置換，x被符號數(shù)字置換）雙精度數(shù)值置換26f1=a*y+5ans=sym

f2=3^(1/2)+5ans=symf3=6.7321ans=double274.3

符號微積分

28limit(f)limit(f,a)limit(f,x,a)limit(f,x,a,’right’)limit(f,x,a,’left’)注：∞在MATLAB中表示為inf4.3.1符號極限29例4-8：試求symsxkf;f=(1-1/x)^(k*x);Lim_f=limit(f,x,inf)Lim_f=exp(-k)304.3.2

符號微分

diff(S)：求符號表達式S對默認變量的微分diff(S,v)：求符號表達式S對變量v的微分diff(S,n)：求符號表達式S對變量x的n次微分31clearsymsxg=sym('cos(x+sin(y(x)))=sin(y(x))');dgdx=diff(g,x)例4-9：對下列方程（即隱函數(shù)）求導dgdx=-sin(x+sin(y(x)))*(1+cos(y(x))*diff(y(x),x))=cos(y(x))*diff(y(x),x)324.3.3

符號積分

int(S)：求符號表達式S對于默認自變量的不定積分int(S,v)：求符號表達式S對于自變量v的不定積分int(S,a,b)：求符號表達式S對于默認自變量從a到b的定積分33例:symsxf=sin(x)/(x^2+4*x+3);f1=diff(f);f2=int(f1);f3=simplify(f2)f1=cos(x)/(x^2+4*x+3)-sin(x)/(x^2+4*x+3)^2*(2*x+4)f2=1/2*sin(x)/(x+1)-1/2*sin(x)/(x+3)f3=sin(x)/(x+1)/(x+3)34例:symsxyf=x*exp(-x*y);int(int(f,'x'),'y')ans=1/y*exp(-x*y)f=int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y')int(int(f,x),y)35symsum(S):計算符號表達式對于默認自變量的不定和symsum(S,v):計算符號表達式對于自變量v的不定和syssum(S,a,b):

計算符號表達式對于默認自變量從a到b的有限和。4.3.4符號求和36symsuxsymsum(u)p=symsum(u^2,0,5)m=symsum(x^u/sym('u!'),u,0,inf)ans=1/2*u^2-1/2*up=55m=exp(x)例4-10：分別計算表達式：37Taylor(f)

：計算符號表達式f在默認自變量等于0處的5階taylor級數(shù)展開式。Taylor(f,n,v)：計算符號表達式f在默認自變量v=0處的n-1階taylor級數(shù)展開式。Taylor(f,n,v,a)：計算符號表達式f在默認自變量v=a處的n-1階taylor級數(shù)展開式。4.3.5Taylor級數(shù)展開38例:計算f=sin（x）的5階和9階Taylor級數(shù)展開式symsxtaylor(sin(x))taylor(sin(x),10)ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^939例:x=sym('x');f=1+3*x+5*x^2-2*x^3;f1=taylor(f,x,-1)f1=-8-13*x+11*(x+1)^2-2*(x+1)^3404.4

符號方程的求解

41g=solve(eq)：求解符號表達式eq=0的代數(shù)方程，自變量為默認自變量。g=solve(eq，var)：求解符號表達式eq=0的代數(shù)方程，自變量為var。g=solve(eq1,eq2,var1,var2)：求解符號表達式eq1,eq2組成的代數(shù)方程組，自變量為var1,var2。4.4.1

符號代數(shù)方程的求解42例exp4_21.m

:f=ax2+bx+c求解symsabcxs=a*x^2+b*x+c;solve(s)ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]思考:solve(s,b)呢?ans=-(a*x^2+c)/x43例exp4_22.m

:求下列代數(shù)方程組的解symsxyzf=x^2-y^2+z-10;g=x+y-5*z;h=2*x-4*y+z;[x,y,z]=solve(f,g,h)x=-19/80+19/240*2409^(1/2)-19/80-19/240*2409^(1/2)y=-11/80+11/240*2409^(1/2)-11/80-11/240*2409^(1/2)z=-3/40+1/40*2409^(1/2)-3/40-1/40*2409^(1/2)44[x,y,z]=solve('x^2-y^2+z-10','x+y-5*z','2*x-4*y+z')symsxyzf=x^2-y^2+z-10;g=x+y-5*z;h=2*x-4*y+z;[x,y,z]=solve(f,g,h)454.4.2符號微分方程求解求由eq1,eq2…指定的常微分方程的常數(shù)解，參數(shù)cond1,cond2…為指定常微分方程的邊界條件或初始條件，自變量v如果不指定，將為默認自變量。46或或或y的一階導數(shù)——Dyy的二階導數(shù)——D2yy的n階導數(shù)——

Dny47例exp4_23.m

:dsolve('Dy=a*y')dsolve('Dy=a*y','y(0)=b')ans=C1*exp(a*t)ans=b*exp(a*t)48例:求該方程的解ans=exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=0','y(0)=1','Dy(0)=0')49X=-C1*cos(t)+C2*sin(t)Y=C1*sin(t)+C2*cos(t)[X,Y]=dsolve('Dx=y,Dy=-x')[X,Y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x')50例4-13求解兩點邊值問題：（1）求解邊值問題y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x')y=31/468*x^4-1/3*x^3+125/46851（2）觀察“解”的圖形ezplot(y,[-1,6])holdonplot([1,5],[0,0],'.r','MarkerSize',20)text(1,1,'y(1)=0')text(4,1,'y(5)=0')title(['x*D2y-3*Dy=x^2',',y(1)=0,y(5)=0'])holdoff52534.5

符號數(shù)學的簡易繪圖函數(shù)54

4.5.1二維繪圖函數(shù)

ezplot(f):繪制f(x)的二維圖形，坐標范圍默認[-2*pi,2*pi]ezplot(f，xmin,xmax):繪制f(x)的二維圖形，坐標范圍[xmin,xmax].ezpolar(f):極坐標下的二維繪圖函數(shù)，調用格式與ezplot相同。55例exp4_25_1.m

:繪制函數(shù)表達式sinx,x^2,x^2-y^4的二維圖形symsxyezplot(sin(x))figureezplot(x^2),gridfigureezplot(x^2-y^4)subplot(1,3,1),ezplot(sin(x)),gridsubplot(1,3,2),ezplot(x^2)subplot(1,3,3),ezplot(x^2-y^4)注意:grid為繪制網格命令56比較ezplot,plotsymsxezplot(sin(x))x=-2*pi:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)plot(x,y,'y+--')57例exp4_27.m

:在極坐標下繪制函數(shù)表達式1+cos(t)的二維圖形symstezpolar(1+cos(t))58

4.5.2三維繪圖函數(shù)

ezplot3(x,y,z)

繪制x=x(t),y=y(t),z=z(t)定義的三維曲線，自變量t的范圍默認ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax])

繪制x=x(t),y=y(t),z=z(t)定義的三維曲線.ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax],’animate’)

繪制三維動態(tài)軌跡圖。59例exp4_28.m

:根據x=sin(t)、y=cos(t)和z=t，繪制三維曲線symst;ezplot3(sin(t),cos(t),t,[0,6*pi])ezplot3(sin(t),cos(t),t,[0,6*pi],'animate')60614.5.3等高線繪圖函數(shù)ezcontour(f)

繪制由表達式x,y定義的等高線，自變量變化范圍默認。ezcontour(f，domain)

繪制由表達式x,y定義的等高線，自變量變化范圍由domain確定，domain可以是4x1的矢量,[xmin,xmax,ymin,ymax]，也可以是2x1的矢量[min,max]，此時x,y的自變量的變化范圍一樣。62ezcontour(…，n)

繪制等高線時按nxn的網格密度繪圖，n缺省值為60填充等高線的簡易繪圖函數(shù)為ezcontourf,其調用格式與ezcontour相同。例4-29例4-30634.5.4網格圖繪圖函數(shù)ezmesh(f)

繪制由表達式f(x,y)定義的網格圖。ezmesh(f,domain).ezmesh(x,y,z)

繪制由表達式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定義的參數(shù)表面網格圖,它們的范圍默認都為[-2*pi,2*pi]64ezmesh(x,y,t,[smin,smax,tmin,tmax])

繪制由表達式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定義的參數(shù)表面網格圖ezmesh(…，n)

繪制網格圖時按nxn網格密度繪圖。ezmesh(…,’circ’)以圓盤為自變量域繪制網格圖ezmeshc

帶等高線網格圖的簡易繪圖函數(shù)，調用格式與ezsurf相同。65symsxyezmesh(x*exp(-x^2-y^2),[-2.5,2.5],40)colormap([0.511])例exp4_31.m

:66ezmesh(x*exp(-x^2-y^2),[-2.5,2.5],40,'circ')例exp4_32.m

:674.5.5表面繪圖函數(shù)ezsurf(f)

繪制由表達式f(x,y)定義的表面圖。ezsurf(f,domain)ezsurf(x,y,t)

繪制由表達式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定義的參數(shù)表面圖ezsurf(x,y,t,[smin,smax,tmin,tmax])

繪制由表達式x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)定義的參數(shù)表面圖68ezsurf(…，n)

繪制表面圖時按nxn網格密度繪圖。ezsurf(…,’circ’)以圓盤為自變量域繪制表面圖ezsurfc帶等高線表面圖的簡易繪圖函數(shù)，調用格式與ezsurf相同。69symstsx=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=sin(s);ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,3*pi/2])view(17,40)例exp4_34.m

:70714.6圖形化符號函數(shù)計算器72圖形窗口1--函數(shù)f的顯示窗口圖形窗口2--函數(shù)g的顯示窗口函數(shù)功能的控制窗口funtool圖形化符號函數(shù)計算器。73輸入框：輸入參數(shù)或控制函數(shù)計算器：可進行一系列的函數(shù)運算，如函數(shù)的微積分，函數(shù)的和等744.7Taylor級數(shù)計算器

75使用taylortool級數(shù)計算器可以非常直觀地觀察taylor級數(shù)展開與原函數(shù)的接近程度，以便選擇合適的taylor級數(shù)taylortool啟動圖形化的taylor級數(shù)計算器7677sin(x)sin(2x)例:78★

作業(yè)

P264.24.6

4.879符號矩陣運算數(shù)值運算中，所有矩陣運算操作指令都比較直觀、簡單。例如：a=b+c;a=a*b；A=2*a^2+3*a-5等。