組合(第一課時)

楊衛(wèi)國2006-04-25110.3.1組合

楊衛(wèi)國2006-04-252Ⅰ.復(fù)習與引入

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”．“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志．

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同．

如果兩個排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的排列；如果兩個排列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列．

1.排列定義?判斷是不是排列問題的標志?2.相同的排列?不同的排列?

我們所研究的排列問題，是不同元素的排列，這里既沒有重復(fù)元素，也沒有重復(fù)抽取相同的元素楊衛(wèi)國2006-04-2533．排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作注意區(qū)別“一個排列”與“排列數(shù)”的不同：“一個排列”是指“從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列”，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”，是一個數(shù)．因此符號只代表排列數(shù)，而不表示具體的排列．4．排列數(shù)公式

一般情況下，第一個公式常用于計算；第二個公式是常用于證明。

Ⅰ.復(fù)習與引入楊衛(wèi)國2006-04-254Ⅰ.復(fù)習與引入5．(設(shè)置情境)有5本不同的書（1）取出3本分給甲、乙、丙三人每人1本，有幾種不同的分法？（2）取出4本給甲，有幾種不同的取法？分析：問題（1）中，書是互不相同的，人也互不相同，所以是排列問題，而在問題（2）中，書不相同，但甲所有的書只有數(shù)量的要求而無“順序”的要求，因而問題（2）不是排列問題，它就是我們這一節(jié)要研究的組合問題(點題)．楊衛(wèi)國2006-04-255Ⅱ.講授新課一．組合概念看下面的問題：引例1(1)

從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參加上午和下午的活動，有多少種不同的選法？

(2)從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？楊衛(wèi)國2006-04-256Ⅱ.講授新課

例題1：從四同學a、b、c、d中選出2名參加一項活動，求有多少種不同的選法．點擊圖片演示動畫楊衛(wèi)國2006-04-257Ⅱ.講授新課引例2

從不在同一條直線上的三點A、B、C中，每次取出兩個點作一條直線，問可以得到幾條不同的直線？根據(jù)直線的性質(zhì)，過任意兩點可以作一條直線，并且只能作一條直線，所以過A、B兩點只能連成一條直線，因此可以得到三條直線：AB、BC、AC，直線AB與直線BA是一條直線，這也就是說，“把兩點連成直線”時，不考慮點的順序．楊衛(wèi)國2006-04-258歸納：以上兩個引例所研究的問題是不同的，但是，它們有數(shù)量上的共同點，即它們的實質(zhì)都是：從3個不同的元素里每次取出2個元素，不管怎樣的順序并成一組，一共有多少不同的組？楊衛(wèi)國2006-04-259Ⅱ.講授新課

組合定義：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列與組合的關(guān)系(1).相同點：都是從n個不同元素中不重復(fù)抽取且m≤n(2).不同點：從排列與組合的定義可知，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它的根本區(qū)別．

楊衛(wèi)國2006-04-2510(3).因此，如果兩個組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合楊衛(wèi)國2006-04-2511Ⅱ.講授新課

例題2：從三同學a、b、c中選出2名參加一項活動，求有多少中不同的選法．楊衛(wèi)國2006-04-2512Ⅱ.講授新課二．組合數(shù)及其公式從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．記作______．這里要注意組合數(shù)是一個數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來．例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素的所有組合是ab、bc、ac，而組合數(shù)是___________．排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系．一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：楊衛(wèi)國2006-04-2513Ⅱ.講授新課

第1步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)______．第2步，求每個組合中m個元素的全排列數(shù)______

．

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到____________

因此

這里m、n∈N*，且m≤n，這個公式叫做組合數(shù)公式．該公式可以寫成：上面第一個公式一般用于計算，但當m、n較大時，利用第二個式子計算組合數(shù)較為方便，在對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形和論證時，常用第二個公式．

楊衛(wèi)國2006-04-2514

3．例題分析例1

下面的問題是排列問題？還是組合問題？（1）從1，3，5，9中任取兩個數(shù)相加，可以得到多少個不同的和？_________（2）從1，3，5，9中任取兩個數(shù)相除，可以得到多少個不同的商？_________（3）10個同學畢業(yè)后互相通了一次信，一共寫了多少封信？_________（4）10個同學畢業(yè)后見面時，互相握了一次手，共握了多少次手？_________組合問題6排列問題10組合問題45排列問題90楊衛(wèi)國2006-04-2515（5）某鐵路線上有5個車站，則共有幾種不同的車票？_________（6）集合A={a,b,c,d,e}的3元素子集多少個？_________

楊衛(wèi)國2006-04-2516例2

計算：（1）（2）解：（1）

（2）

Ⅱ.講授新課楊衛(wèi)國2006-04-2517例3

求證：證明：右邊

左邊，所以原式得證．

Ⅱ.講授新課楊衛(wèi)國2006-04-25181.

A.課本P991-2(口答),3-6(板演)

B.補充練習：1．解方程：．（板演后講評，強調(diào)解組合數(shù)方程要驗根）

2．已知

求m、n的值．（學生板演后，教師講評）Ⅲ.課堂練習楊衛(wèi)國2006-04-2519［參考答案］1．解：原方程可化為：整理得：解得x=10,或x=-5/11（不合題意舍去）．經(jīng)檢驗x=10是原方程的根．

2．解：依題意得整理得解得:

m=2;n=5

Ⅲ.課堂練習楊衛(wèi)國2006-04-2520組合的定義簡單地說，一是取出元素，二是并成一組，與排列是有區(qū)別的．但事物總是一分為二的，排列與組合也有一定的聯(lián)系，從兩者的聯(lián)系中推導(dǎo)出組合數(shù)公式，要能理解、記住并正確地運用，尤其要注意逆用公式．Ⅴ.課后作業(yè)

(一)課本P104

1、3

、4、5；

蘇大本節(jié)內(nèi)容。(二)1.預(yù)習課本P100-P102；

2.預(yù)習提綱