程序與數(shù)學(xué)數(shù)的故事

第2章數(shù)的故事內(nèi)容提要計數(shù)方法數(shù)的表示數(shù)的運算計算機中的二進(jìn)制數(shù)一、計數(shù)方法我們熟悉的計數(shù)法十進(jìn)制計數(shù)時間、日期計數(shù)天干地支八卦……一、計數(shù)方法各種計數(shù)法是可以互相轉(zhuǎn)換的比如：阿拉伯?dāng)?shù)字：13羅馬數(shù)字：XIII中文數(shù)字：壹拾叁天干地支：甲丑二、數(shù)的表示基數(shù)和指數(shù)以十進(jìn)制數(shù)為例32405=3x104+2x103+4x102+0x101+5x100十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)（或底數(shù)）為0、1、2、3、…十進(jìn)制數(shù)的每位數(shù)字的權(quán)值不同，權(quán)是10的指數(shù)，從右至左依次為0、1、2、3……二、數(shù)的表示每一個基數(shù)用一個數(shù)碼符號表示數(shù)的表示（數(shù)碼）阿拉伯?dāng)?shù)：0、1、2、3、4……羅馬計數(shù)：I、II、III、IV、V、X、…漢語中的數(shù)字：零、壹、伍、拾、………二、數(shù)的表示“零”的問題阿拉伯?dāng)?shù)：0、10、100、……漢語中的數(shù)字：零、拾、佰、仟…天干地支：沒有零羅馬數(shù)字：沒有零二、數(shù)的表示0是什么都沒有嗎？計數(shù)功能：0即沒有標(biāo)記功能：如0°C、海拔高度……0<1嗎？一般地，數(shù)字0<1標(biāo)記0沒有大小有時候，0可能大于1，比如數(shù)字電路中用0表示高電平，而用1表示低電平二、數(shù)的表示進(jìn)位計數(shù)法羅馬計數(shù)法不是進(jìn)位計數(shù)法，進(jìn)位沒有意義十進(jìn)制數(shù)

32405=3x104+2x103+4x102+0x101+5x100十六進(jìn)制數(shù)A20F=Ax163+2x102+0x161+Fx160二進(jìn)制數(shù)110101=1x25+1x24+0x23+1x22+0x21+1x20二、數(shù)的表示如果把10n理解為“n個10的乘機”如何理解100=1？能理解10-1=？可以理解20、2-1、2-2、…嗎？三、數(shù)的運算進(jìn)位制運算——算術(shù)運算加法：逢十（二、十六）進(jìn)一減法：借一當(dāng)十（二、十六）如何計算大數(shù)加、減法？需要死記硬背嗎？靈活運用規(guī)則三、數(shù)的運算無進(jìn)位運算——布爾運算邏輯運算是一種最基本的運算可用布爾運算表示與01000101或01001111異或01001110四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)計算機中為什么使用二進(jìn)制數(shù)？巴貝奇的差分機使用十進(jìn)制馮·諾依曼計算機采用二進(jìn)制運算規(guī)律簡單實現(xiàn)容易（設(shè)備部件造價低）可實現(xiàn)布爾運算有沒有不足？四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)數(shù)值轉(zhuǎn)換方法十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制、十六進(jìn)制八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)符號位計算機的字若字長為8，則35的內(nèi)存形式為00100011若字長為16，則為0000000000100011符號位將字的最高位作為符號位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)原碼符號位表示正負(fù)數(shù)，其他位是數(shù)的絕對值對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)若字長為8，則35的原碼為00100011-35的原碼為10100011利用原碼能實現(xiàn)算術(shù)運算嗎？0的原碼是什么？“-0”問題四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)反碼對于原碼，若符號位為0，則其他位不變，若符號位為1，則其他位取反，得到該原碼的反碼35的反碼為00100011-35的原碼為11011100利用反碼能實現(xiàn)算術(shù)運算嗎？“-0”問題依然存在四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)補碼整數(shù)的補碼和反碼相同，負(fù)數(shù)的補碼是反碼在最低位加1得到的35的補碼為00100011-35的補嗎為11011101利用補碼能實現(xiàn)算術(shù)運算嗎？0的補碼是什么？“-0”問題還存在嗎？四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)求補碼的原碼（真值）可以先把補碼轉(zhuǎn)化為反碼再轉(zhuǎn)化為原碼將補碼當(dāng)作“原碼”，按照相同的方法求“反碼”和“補碼”，該“補碼”就是原碼這一特性極大地節(jié)省了部件成本四、計算機中的二進(jìn)制數(shù)一個神奇的數(shù)若字長為8，則原碼有0~127、-0~-127共256個，反碼也有256個，他們都有一個特殊的“-0”補碼沒有“-0”，難道只有255個數(shù)嗎？10000000是誰的補碼？答案：-128。因此補碼的256個數(shù)是-128~127練習(xí)假設(shè)計算機的字長為8，試用二進(jìn)制補碼的加法運算模擬計算67-149，給出計算過程請給出以下整數(shù)的補碼

127、1、-1、-127、-128考考你之一現(xiàn)有1000個裝滿水的一模一樣的瓶子，已知其中只有一個瓶子里的水有毒，做實驗的小白鼠只要喝一點兒有毒的水就會在一周以后死掉。問需要多少只小白鼠才能在一周內(nèi)找出有毒的瓶子？1234…………9989991000(1)瓶子編號(2)編號用二進(jìn)制表示瓶子編號對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)定長二進(jìn)制11000000000121000000000103110000000011………………9981111100110111110011099911111001111111100111100011111010001111101000(3)需要10只小白鼠(4)小白鼠只喝標(biāo)記為1的瓶子中的水000000000100000000100000000011..............................111110011011111001111111101000⑩⑨⑧⑦⑥⑤④③②①(5)把死掉的小白鼠標(biāo)出來(6)得到毒瓶子的編碼

0100110001 →305000000000100000000100000000011..............................111110011011111001111111101000⑩⑨⑧⑦⑥⑤④③②①考考你之一如果只有8只小白鼠，時間不限，怎么找有毒的瓶子？需要多長時間？五、編程中的“0”0有類型嗎？整數(shù)0、小數(shù)0.0、字符’\0’、字符串“”有什么區(qū)別？變量的初值都是0嗎？一個沒有初始化的變量的初值是多少？BASIC、FORTRAN中的變量C、JAVA中的變量五、編程中的“0”除以0異常問題程序執(zhí)行時，若除數(shù)為0，則出現(xiàn)異常解決之道BASIC語言： ONERRORGOTO…Java語言: try{…..}

catch(e){….}C語言： if(div!=0){….}

else{….}六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法怎樣計算二進(jìn)制數(shù)的乘法？例：試計算1101與1011的乘積（假設(shè)字長為8）1101X101111011101.

0000..1101...10001111結(jié)果為10001111可否用十進(jìn)制驗證？思考：能編程嗎？六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法用加法和移位實現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的乘法基本規(guī)則：要計算A、B的乘積S，首先令S各位為0，從左到右順序取B的一位，如果為0，則將S各位左移一位，如果為1，則將S與A相加后再將S左移一位，直到B最后一位六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法要計算1101與1011的乘積（假設(shè)字長為8）：開始，A=1101，B=1011，S=00000000B的第1位是1，S+A=1101，移位S=00011010B的第2位是0，移位S=00110100B的第3位是1，S+A=01000001，移位S=10000010B的第4位（最后）是1，S+A=10001111六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法怎樣計算二進(jìn)制數(shù)的除法？例：試計算1010010除以111的商和余數(shù)即82/7=11余500001011111)01010010111...11010111.

1100111101六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法用減法和移位實現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的除法設(shè)被除數(shù)為A、除數(shù)為B、商為Q、余數(shù)為R，Q和R初值為0。將A由左到右依次左移進(jìn)入R，每次移位進(jìn)入后比較R和B的值，如果R≥B，則將這一位的Q的值置1，然后從R中減去B（做補碼加法運算），否則不做操作。Q與A移位同步進(jìn)行?！钡紸全部進(jìn)入R單元為止。六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法令A(yù)=1010010，B=111，Q=R=0A左移1位進(jìn)入R，A=010010，R=1，因R<B，Q=0A左移，A=10010，R=10，因R<B，Q=0A左移，A=0010，R=101，因R<B，Q=0A左移，A=010，R=1010，因R>B，R=R-B=11，Q=1A左移，A=10，R=110，因R<B，Q=10A左移，A=0，R=1101，因R>B，R=R-B=110，Q=101A左移，A空，R=1100，因R>B，R=R-B=101，Q=1011考考你某明星到大學(xué)里搞活動，場面異?；鸨ㄈ撕芏啵?，但學(xué)生素質(zhì)高，秩序井然。活動的組織者想知道到底來了多少人？你能幫他想想辦法嗎？考考你之二現(xiàn)有1000張1元紙幣，請設(shè)法分裝在10個信封中，要求能用這些信封組合出任意不大于