Black-Scholes期權(quán)定價模型的數(shù)值求解-梅樹立龐守林

Black-Scholes期權(quán)定價模型的數(shù)值求解梅樹立內(nèi)容簡介期權(quán)（Option）基本概念Black-Scholes期權(quán)定價模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度數(shù)值求解方法3選擇權(quán)選擇權(quán)(option)是一種衍生性證券(derivativesecurity)，持有人有權(quán)利在未來某一段期間內(nèi)（或某一特定日期），以約定的價格向賣方買入或賣出一定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)(underlyingasset)。4選擇權(quán)選擇權(quán)依買入或賣出的權(quán)利可分為買權(quán)(看漲期權(quán)，CallOption)及賣權(quán)(看降期權(quán)，PutOption)兩種。買權(quán)賦予持有人買入標(biāo)的資產(chǎn)之權(quán)利。賣權(quán)賦予持有人賣出標(biāo)的資產(chǎn)之權(quán)利。5選擇權(quán)履約價格選擇權(quán)契約中，在未來某一段期間內(nèi)以約定的價格，買賣某一定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)，此約定的價格稱為履約價格(Exerciseprice)或執(zhí)行價格(Strikeprice)。6選擇權(quán)到期日選擇權(quán)契約中約定的未來某一特定日期稱為到期日(Maturitydate;Expirationdate)，此某一段期間亦即權(quán)證的存續(xù)期間。7選擇權(quán)美式選擇權(quán)與歐式選擇權(quán)選擇權(quán)可依履約時間的不同，分為美式選擇權(quán)及歐式選擇權(quán)。美式選擇權(quán)(Americanoption)可在到期日前（含）的任何一天履約，向賣方買入或賣出股票或約定的標(biāo)的資產(chǎn)；而歐式選擇權(quán)(Europeanoption)僅能在到期日當(dāng)天履約，買入或賣出股票。美式選擇權(quán)此種提早買入或賣出股票的特性，稱為提早履約(earlyexercise)。8選擇權(quán)價內(nèi)、價外及價平選擇權(quán)一般習(xí)慣上，將選擇權(quán)的履約價格相對于股價的大小，區(qū)分為價內(nèi)、價外及價平三種選擇權(quán)。1.價內(nèi)選擇權(quán)(in-the-moneyoption)對買權(quán)而言，當(dāng)股價大于履約價格時，稱此買權(quán)為價內(nèi)買權(quán)。9選擇權(quán)2.價外選擇權(quán)(out-of-the-moneyoption)對買權(quán)而言，當(dāng)股價小于履約價格時，稱為價外買權(quán)。3.價平選擇權(quán)(at-the-moneyoption)對買權(quán)或賣權(quán)而言，當(dāng)股價等于履約價格時，稱為價平選擇權(quán)。10選擇權(quán)內(nèi)含價值與時間價值選擇權(quán)的價格或稱為權(quán)利金(premium)，是指買方所支付或賣方所收到的價款。權(quán)利金可分為兩部分：內(nèi)含價值(intrinsicvalue)與時間價值(timevalue)。11選擇權(quán)選擇權(quán)價值＝內(nèi)含價值＋時間價值買權(quán)(C)的價值可表示如下：

C＝max(0,S－K)＋時間價值賣權(quán)(P)的價值可表示如下：

P＝max(0,K－S)＋時間價值12選擇權(quán)買權(quán)賣權(quán)等價理論

C－P＝S－K(1＋r)-T

對同一標(biāo)的資產(chǎn)（如同一支股票）、同一履約價格、同一到期日之買權(quán)與賣權(quán)來說，在某個時點的買權(quán)、賣權(quán)相對價格（買權(quán)減去賣權(quán)）應(yīng)該等于當(dāng)時股價減去履約價格之折現(xiàn)，否則會有套利的機會。13選擇權(quán)有股利情況下，歐式的買權(quán)賣權(quán)等價理論

C－P＝S－D(1＋r)－t－K(1＋r)－T

14選擇權(quán)沒有股利情況下，美式的買權(quán)賣權(quán)等價理論

S－KCa－PaS－K(1＋r)－T

有股利情況下，美式買權(quán)賣權(quán)等價理論S－D(1＋r)－t－KCa－PaS－K(1＋r)－T15選擇權(quán)影響選擇權(quán)價格的因素股價履約價格到期日的長短標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動幅度無風(fēng)險利率股利16選擇權(quán)17選擇權(quán)18選擇權(quán)19選擇權(quán)內(nèi)容簡介期權(quán)（Option）基本概念Black-Scholes期權(quán)定價模型Black-Scholes模型的差分法求解小波多尺度數(shù)值求解方法期權(quán)定價（B-S公式）1973年，芝加哥大學(xué)教授Black和MIT教授Scholes在JournalofPoliticalEconomy上發(fā)表了一篇題為《期權(quán)定價和公司負債》的論文；同年，哈佛大學(xué)教授Merton在《貝爾管理科學(xué)學(xué)報》上發(fā)表了另一篇論文《期權(quán)的理性定價理論》。這兩篇論文奠定了期權(quán)定價理論基礎(chǔ)。維納過程(Wienerprocess)若一個隨機過程{X(t),t>=0}滿足：

(1)X(t)是獨立增量過程；

(2)任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望為0，方差為c^2*t的正態(tài)分布；

(3)X(t)關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)。則稱{X(t),t>=0}是維納過程(Wienerprocess)或布朗運動。維納過程的特點：（1）它是一個Markov過程。因此該過程的當(dāng)前值就是做出其未來預(yù)測中所需的全部信息。（2）維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的概率分布獨立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。（3）它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布，其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。

期貨定價模型BS模型中，期貨價格及其所依賴的標(biāo)的資產(chǎn)價格都受同一種不確定因素的影響，兩者也都是遵循相同的維納過程。24Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes模型的主要概念假設(shè)有一包含股票及其買權(quán)的投資組合，藉由不斷調(diào)整適當(dāng)?shù)墓善迸c買權(quán)之比率，可使投資組合在短時間內(nèi)達到無風(fēng)險的狀態(tài)。在無套利情形下，該投資組合應(yīng)賺得無風(fēng)險報酬。因此得到買權(quán)對股價及時間的偏微分方程式，另外再加上到期日買權(quán)價值的邊界條件，而得到買權(quán)公式解。25Black-Scholes選擇權(quán)評價模型B-S模型中假設(shè)股價服從對數(shù)常態(tài)分配，有時稱股價服從幾何布朗運動(GeometricBrownianMotion)26Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes偏微分方程式27Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes買權(quán)價格公式(無配息)C＝S．N(d1)－Ke－rTN(d2)其中，d1=

d2=28Black-Scholes選擇權(quán)評價模型C：買權(quán)目前理論價值callpriceS：目前的股價stockpriceK：履約價格strikepricer：無風(fēng)險利率（以年為標(biāo)準）risklessrateT：到期日之長短（以年為單位）maturityln：自然對數(shù)logrithm：股價報酬波動度（以年為標(biāo)準）volatilityN(d1):為標(biāo)準正態(tài)分布概率密度函數(shù)Normaldistribution29Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes賣權(quán)價格公式(無配息)

P＝Ke－rTN(-d2)－S．N(-d1)其中，d1=

d2=30Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes買權(quán)價格公式(配息yieldq)C＝Se－qTN(d1)－Ke－rTN(d2)其中，d1=

d2=31Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes賣權(quán)價格公式(配息yieldq)

P＝Ke－rTN(-d2)－Se－qTN(-d1)其中，d1=

d2=32Black-Scholes選擇權(quán)評價模型B-S公式中的N(d1)一般稱為避險比率(hedgeratio)或?qū)_率，或delta。

N(d1)=其中，ΔC：買權(quán)變動的大小

ΔS：股價變動的大小33Black-Scholes選擇權(quán)評價模型Black-Scholes公式中變數(shù)的選取1.到期期限一般用年（1年以365天計）來表示，亦即使用與計算利息一致的方式來計算到期期限。2.無風(fēng)險利率無風(fēng)險利率(risk-freerate)是指沒有任何違約風(fēng)險的資產(chǎn)之收益率，所以政府發(fā)行的公債或國庫券之利率，均可視為無風(fēng)險利率。34Black-Scholes選擇權(quán)評價模型3.股價波動度之估算(1).歷史波動度(historicalvolatility))，其公式如下：35Black-Scholes選擇權(quán)評價模型時間平方根法則如果我們以日數(shù)據(jù)來計算波動率，所得到的是每日波動率的估算值，至于延伸為N天期的波動率，則一般都利用時間平方根法則來求取。估算周波動率，N=5；估算月波動率，N=21；估算年波動率，N=252。36Black-Scholes選擇權(quán)評價模型移動平均在以上的歷史波動率估計中，我們可以加上窗口的設(shè)計，在每一個時間點，我們選取過去Ｎ個數(shù)據(jù)為樣本，計算其標(biāo)準偏差當(dāng)時間往前，則窗口也往前移一個數(shù)據(jù)點，并且刪除最后一個數(shù)據(jù)37Black-Scholes選擇權(quán)評價模型(2).隱含波動度(impliedvolatility)

利用市場上選擇權(quán)的交易價格，代入B-S公式反求出報酬的波動度。國外學(xué)者發(fā)現(xiàn)同樣的股票，由價內(nèi)選擇權(quán)及價外選擇權(quán)所求出來的隱含波動度常常不一樣，通常價內(nèi)的隱含波動度會高于價外的隱含波動度，一般稱為笑狀波幅

(volatilitysmile)。38Black-Scholes選擇權(quán)評價模型(3).指數(shù)加權(quán)移動平均(EWMA)

雖然市場上最近的訊息比遠久以前的訊息來的重要，但是移動平均法給所有的數(shù)據(jù)點權(quán)重是一樣的。EWMA的作法是，越近的數(shù)據(jù)，權(quán)重給的越大，因此捕捉了波動群聚的現(xiàn)象。因此與移動平均相比，EWMA對于市場沖擊反應(yīng)較快。39Black-Scholes選擇權(quán)評價模型EWMA公式過去的第i天，權(quán)重是。40Black-Scholes選擇權(quán)評價模型估計Lambda務(wù)實上，RiskMetrics使用以下的優(yōu)化方法，來求算個別資產(chǎn)最佳的值

minRMSE=s.t.41Black-Scholes選擇權(quán)評價模型EWMA模型是由JPMorgan于其發(fā)展的風(fēng)險控管系統(tǒng)RiskMetrics中使用。計算的結(jié)果，日數(shù)據(jù)的最佳的值為0.94，月數(shù)據(jù)最佳的值為0.97。42Black-Scholes選擇權(quán)評價模型(4).隨機波動度(StochasticVolatility)GAHCHModel43敏感度分析(sensitivityanalysis)用來衡量因五個變量發(fā)生變動時，選擇權(quán)價格變化的情況。由于一般習(xí)慣上常常用希臘字母(Greek)來表示這些變量變動對選擇權(quán)價格的影響，因此選擇權(quán)敏感度分析有時稱為選擇權(quán)Greeks。44敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度delta()delta是用來衡量選擇權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動對選擇權(quán)價格的影響。45敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度gamma()gamma是用來衡量delta的敏感度，也就是當(dāng)股價變動時，避險比率delta變動的情況。46敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度vega(v)vega或稱kappa，是用來衡量標(biāo)的價格波動度改變對選擇權(quán)價格的影響，也就是波動度每上升一單位對選擇權(quán)價格的影響。47敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度是用來衡量無風(fēng)險利率變動對選擇權(quán)價格的影響，或者是說選擇權(quán)價格對無風(fēng)險利率變動的敏感度。48敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度theta(θ)theta是用來衡量到期期限變動對選擇權(quán)價格的影響。49敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度履約價格對選擇權(quán)價格的影響50敏感度分析(sensitivityanalysis)買權(quán)敏感度lambda()lambda是用來衡量當(dāng)股價變動1%時，選擇權(quán)價格變動多少百分比。換句話說，delta是衡量絕對價格的變動，而lambda是衡量相對價格的變動。即為實際杠桿比率(effectivegearing)，而就是杠桿比率(gearing)。51選擇權(quán)評價選擇權(quán)的評價除了Black-Scholes公式的封閉解外，另外也可以采用數(shù)值分析方法求解(numericalanalysis)。數(shù)值分析法包括蒙地卡羅模擬法(MonteCarloSimulation)、二項式評價法(BinomialOptionPricingModel)有限差分法(FiniteDifferenceMethod)。52選擇權(quán)評價蒙地卡羅仿真法進行程序步驟1：選定標(biāo)的資產(chǎn)價格產(chǎn)生模型、均數(shù)及標(biāo)準偏差。步驟2：抽取隨機數(shù)值，產(chǎn)生下一期股價，如此一直循環(huán)產(chǎn)生一條股價路徑及到期日股價ST。步驟3：依據(jù)選擇權(quán)到期的定義，求最終選擇權(quán)價值。53選擇權(quán)評價步驟4：將上述步驟2、3重復(fù)N次，求N次選擇權(quán)的平均值。步驟5：以無風(fēng)險利率將平均值折現(xiàn)，即為選擇權(quán)目前價值。54選擇權(quán)評價二項式評價法一期模型55選擇權(quán)評價二項式評價法兩期模型56選擇權(quán)評價二項式評價法二項式多期評價公式57選擇權(quán)評價二項式評價法二項式中u、d、p的取法內(nèi)容簡介期權(quán)（Option）基本概念Black-Scholes期權(quán)定價模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度數(shù)值求解方法BS定價模型的matlab計算語法：[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)Price:標(biāo)的資產(chǎn)市場價格Strike：行權(quán)價格Rate:無風(fēng)險利率Time:距離到期時間Volatility:標(biāo)的資產(chǎn)波動率Call:看漲（買入）期權(quán)價格Put:看跌（賣出）期權(quán)價格

假設(shè)歐式股票期權(quán)三個月后到期，執(zhí)行價格95元，現(xiàn)價100元，無股利支付，股價年化波動率為50%，無風(fēng)險利率為10%，則期權(quán)價格的為：[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)內(nèi)容簡介期權(quán)（Option）基本概念Black-Scholes期權(quán)定價模型Black-Scholes模型的Matlab求解小波多尺度數(shù)值求解方法2023/2/464基函數(shù)和三角板如何用數(shù)學(xué)公式表達這種基函數(shù)逼近？2023/2/465基函數(shù)如何用數(shù)學(xué)公式表達這種基函數(shù)逼近？如何提高逼近精度？2023/2/466基函數(shù)V0:在整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：2023/2/467基函數(shù)空間V1:在半整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：2023/2/468基函數(shù)空間V2:在1/4整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：2023/2/469基函數(shù)空間V0V2V12023/2/470Vj:在1/2j整數(shù)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)的所有平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，可表示為以下形式：2023/2/471基函數(shù)空間思考：將一個函數(shù)分別表達在V0空間和V1空間，這兩種逼近表達之間的誤差是多少？換句話說，我們能否找到誤差補空間W0，滿足:2023/2/472RECALL2023/2/473函數(shù)f(x)=a-(x-b)2在V0空間的映射（在V0空間被逼近）若a=b=1,則h=2/32023/2/474函數(shù)f(x)=a-(x-b)2在V1空間的映射（在V1空間被逼近）若a=b=1,則h1=5/12,h2=11/122023/2/475V0的補空間？2023/2/4762023/2/4772023/2/4782023/2/479TranslatingStretching2023/2/480f(x)=a-(x-b)2在V0空間內(nèi)的逼近表達式（紅色直線）：在V1空間內(nèi)的逼近表達式（綠藍色直線）：在補空間W1空間內(nèi)的逼近表達式：2023/2/481….因此，有進一步可表示為2023/2/482Haar小波通過平移和伸縮可以得到Haar小波族2023/2/483平移2023/2/484伸縮2023/2/485小波的一般表達式Haar小波的正交特性2023/2/486多尺度分析Only0functioninallspaces如果某函數(shù)在所有空間中，必然在任意區(qū)間上是常數(shù)，而且平方可積，因此只能是0。所謂平方可積，即：2023/2/487多尺度分析可以逼近所有的平方可積函數(shù)f(x)以上盡管涉及到了內(nèi)積運算，但實質(zhì)屬于插值。即以上討論內(nèi)容均在巴拿赫空間進行。完備的線性賦范空間稱為Banach空間由于沒有定義內(nèi)積概念，只能用線性泛函代替內(nèi)積。如插值算子，Laplace算子（微分算子）等。（算子是泛函的一種）。坐標(biāo)就是線性泛函。完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。數(shù)值逼近理論在Hilbert空間定義。Banach空間和Hilbert空間設(shè)X是n維實向量空間，對其中向量內(nèi)積舉例定義內(nèi)積正交的定義:(x,y)=0利用內(nèi)積定義正交任何n維空間都存在正交基正交推論：Hilbert空間中的最佳逼近設(shè)線性內(nèi)積空間的最佳逼近是線性內(nèi)積空間X的n+1個線性無關(guān)元素，子集在中尋求對X的某一元素f的最佳逼近時指在中存在一元素S*，使對于任意都有定理：作為最佳逼近元素的充要條件是集對f的最佳逼近元素的充要條件是S1-f與所有的正交。假設(shè)f是集合中的元素，則，f可以被集合中的基函數(shù)精確線性表達。誤差S1-f=0。若表達式的誤差不為零，且誤差仍然能被基函數(shù)表達，說明表達式還不完整。根據(jù)定理推導(dǎo)逼近向量表達式由下列方程組決定對應(yīng)的矩陣形式為舉例被逼近函數(shù)為Black-Scholes模型期權(quán)（option）又稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性金融工具。1973年，Black和Scholes在有效市場和股票價格遵循幾何布朗運動等一系列的假設(shè)下，運用連續(xù)交易保值策略推導(dǎo)出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價模型：并建立了看漲期權(quán)定價公式：看漲期權(quán)定價公式線性Black-Scholes定價公式成立條件：標(biāo)的資產(chǎn)的價格S(t)服從幾何布朗運動W(t)漂移項(標(biāo)的資產(chǎn)價格的平均增長率)、波動率（回歸的標(biāo)準偏差）以及無風(fēng)險利率r為常數(shù)。市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；股票資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)不支付紅利及其它所得(該假設(shè)可以被放棄)；金融市場不存在無風(fēng)險套利機會；金融資產(chǎn)的交易可以是連續(xù)進行的；可以運用全部的金融資產(chǎn)所得進行賣空操作。非線性Black-Scholes模型交易費用對定價公式的影響主要通過標(biāo)的資產(chǎn)的波動率體現(xiàn)對于歐式期權(quán)，Black-Scholes模型變?yōu)橐韵路蔷€性模型三種典型的非線性期權(quán)定價模型考慮交易費用的非線性模型主要有三種：（1）歐式期權(quán)的Leland模型（2）Barles-Soner模型（3）風(fēng)險調(diào)整定價方法歐式期權(quán)的Leland模型其中Leland系數(shù)為k是單位交易額的交易費用，是以價格S買入或賣出標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)量。Leland的松弛對沖組合的基本思想是限定在離散時間進行交易。是兩次交易之間的時間間隔。顯然越小，交易越頻繁，從而交易費用和V值也越高。是交易費用Barles-Soner模型采用指數(shù)函數(shù)作為效用函數(shù)風(fēng)險調(diào)整定價方法該模型試圖尋找兩次相鄰交易時間間隔的最優(yōu)值，使交易費和無保護組合的風(fēng)險率降到最低。這種情況下的波動率可采用以下形式：M是交易費，C是風(fēng)險貼水率。非線性模型的分析及參數(shù)變換（1）非線性Black-Scholes模型具有終邊值條件，且過寬的標(biāo)的資產(chǎn)價格范圍使得求解數(shù)值精度很難保證，一般做如下變換：非線性Black-Scholes模型變形為：其中非