ch8 高等數(shù)學(xué)第八章

空間解析幾何SpatialAnalyticGeometry第七章空間直角坐標(biāo)系向量代數(shù)平面與空間直線簡(jiǎn)單曲面與曲線2/4/20231解析幾何是幾何與代數(shù)相結(jié)合的典范，自從１７世紀(jì)中葉誕生，數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量時(shí)期。因此它的發(fā)明人笛卡兒和費(fèi)爾馬被稱為“近代數(shù)學(xué)的先驅(qū)”，而解析幾何的發(fā)現(xiàn)也被稱做“數(shù)學(xué)史上的里程碑”．我們?yōu)榱擞懻摱嘣瘮?shù)，也有必要對(duì)空間解析幾何的簡(jiǎn)單知識(shí)有所了解．這些知識(shí)對(duì)培養(yǎng)空間想象能力有著非常重要的作用．§8．1空間直角坐標(biāo)系中學(xué)我們學(xué)過當(dāng)在平面上建立直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)就與有序的數(shù)對(duì)建立了一一對(duì)應(yīng)，而空間直角坐標(biāo)系只須增加一條坐標(biāo)軸。在建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)就與有序的三個(gè)實(shí)數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)．2/4/20232橫軸縱軸豎軸原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系的定義（見教材）右手螺旋管法則2/4/20233Ⅶ面面面三個(gè)坐標(biāo)面將空間分成了八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ一個(gè)原點(diǎn)；三條坐標(biāo)軸；三個(gè)坐標(biāo)平面2/4/20234易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。八卦定吉兇，吉兇生大業(yè)（八卦演萬物）。（八八六十四卦，卦卦定乾坤）—伏羲《易傳-系辟上傳》2/4/20235空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)原點(diǎn)2/4/20236x0zyM點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)關(guān)于x軸:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0關(guān)于原點(diǎn):(x,y,z)(-x,-y,-z).M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)2/4/20237二、空間兩點(diǎn)間的距離2/4/20238空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為2/4/20239解原結(jié)論成立.閱讀教材第3頁的例子．怎樣驗(yàn)證是否直角三角形？2/4/202310§8．1結(jié)束2/4/202311§8．2向量及線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、向量的坐標(biāo)表示2/4/202312向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長(zhǎng)為1的向量.零向量：模長(zhǎng)為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或（矢量、矢量長(zhǎng)度、幺矢）是什么意思？2/4/202313自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.什么是反向量，逆向量，矢徑？也作位置向量。2/4/202314１．加法：平行四邊形法則：特殊地：若‖分為同向和反向二、向量的線性運(yùn)算三角形法則：多角形法則2/4/202315向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）２．減法2/4/202316３．?dāng)?shù)乘向量2/4/202317數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：兩個(gè)向量的平行關(guān)系2/4/202318按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.同時(shí)也表明：任一個(gè)向量都可以寫成該向量的模(數(shù))和與該向量同向的單位向量的乘積．2/4/202319例1

化簡(jiǎn)解2/4/202320三、向量的坐標(biāo)表示zOxyijkaMAB設(shè)是一向量，把它平移使其始點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．如圖則易知：如果分別是與坐標(biāo)軸同向的單位向量，則基本單位向量2/4/202321故向量分解式或記為向量的坐標(biāo)(注意括弧)由此可以看到：一點(diǎn)的向徑的坐標(biāo)與該點(diǎn)的坐標(biāo)是相同的．注意有些教材有不同記號(hào)．向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式用向量分解式怎樣表示？思考：怎樣用坐標(biāo)判斷二向量平行？2/4/202322例２如果兩點(diǎn)，則即向量的坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．例３推導(dǎo)線段的定比分點(diǎn)公式．ABM為兩已知點(diǎn)，Ｍ點(diǎn)分有向線段AB的比為λ，求Ｍ點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)設(shè)Ｍ點(diǎn)的坐標(biāo)為叫分割比2/4/202323由題意知：平面解析幾何的定比分點(diǎn)公式為何？2/4/202324非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式2/4/202325由圖分析可知方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量的方向余弦2/4/202326向量的方向余弦的坐標(biāo)表示式方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟槿?/4/202327例如：則方向余弦注意要閱讀教材的幾個(gè)簡(jiǎn)單例子(10—12頁）下面的例4稍復(fù)雜點(diǎn)。2/4/202328解2/4/2023292/4/202330第三節(jié)向量代數(shù)——乘法向量的乘法有兩種：數(shù)量積和向量積2/4/202331一、兩個(gè)向量的數(shù)量積物理背景：功．定義設(shè)兩向量夾角為則稱為兩向量的數(shù)量積，記作由于用這種方法作出的乘積的結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，故稱為數(shù)量積．也叫內(nèi)積、點(diǎn)積。由定義，立即可得：2/4/202332特別注意：零向量垂直于任何向量！數(shù)量積符合下列運(yùn)算律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：特別地，基本向量組是正交組：即2/4/202333兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可以推出：數(shù)量積的坐標(biāo)表示式若則2/4/202334一向量在另一向量上的投影（射影）為例如向量：在三個(gè)基本向量方向上的投影分別為想想：何時(shí)投影大于零？等于零？小于零？2/4/202335例1已知向量求：（1）兩向量的內(nèi)積；（2）兩向量夾角；（3）一向量在另一向量上的射影。解（1）（2）（3）2/4/202336二、兩個(gè)向量的向量積物理背景：力矩．定義兩個(gè)向量的向量積是一個(gè)向量，其大小方向由向量積亦作外積、叉積．關(guān)于定義的說明：外積的結(jié)果是向量，故名向量積；的模是以為鄰邊的平行四邊形面積．構(gòu)成右手系而決定．且2/4/202337由定義，立知：特別地，考慮零向量與其它向量是否平行？對(duì)于向量積，下列運(yùn)算律成立：１）反交換律：２）分配律：３）數(shù)量對(duì)外積的結(jié)合律：利用定義可知三個(gè)基本向量的向量積為：2/4/202338設(shè)利用向量積的性質(zhì)，可以得到向量積的坐標(biāo)表示式為便于記憶，可寫作：或者更整齊些二階行列式三階行列式2/4/202339例2你能求出與都垂直的單位向量嗎？答案：2/4/202340解三角形ABC的面積為Why?注：2/4/202341三、向量的混合積定義是一個(gè)數(shù)，叫這三個(gè)向量的混合積，常記作我們不加證明地給出以下的事實(shí)：向量混合積的幾何意義(?)：如圖的平行六面體的體積．由此，有：共面2/4/202342例4已知求解１解２若已知四點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體體積？（參考例8-3-7）2/4/202343§8.4

平面與空間直線平面的方程：點(diǎn)法式方程一般方程截距式方程三點(diǎn)式方程直線方程：點(diǎn)向式方程對(duì)稱式（標(biāo)準(zhǔn)式）方程參數(shù)式方程兩點(diǎn)式方程一般方程2/4/202344一、平面的方程１．點(diǎn)法式方程所謂平面的方程是指平面上任意點(diǎn)滿足的代數(shù)等式．設(shè)平面過已知點(diǎn)且與非零向量垂直，求平面的方程．設(shè)平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為用坐標(biāo)表示這就是平面的點(diǎn)法式方程．求平面方程的基本方法則向量2/4/202345其中叫做平面的法向量，它垂直于平面內(nèi)的任一向量．注意：閱讀例8-4-1、8-4-2、8-4-3．（p．22—23）２．一般方程把點(diǎn)法式方程改寫為其中則是平面的一般方程．平面方程的最常用形式2/4/202346取法向量解所求平面方程為化簡(jiǎn)得做幾何題目要想到圖形！2/4/2023472/4/202348設(shè)平面方程為由平面過原點(diǎn)知解所求平面方程為2/4/202349平面的一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.可類似地討論或2/4/202350設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解３．平面的截距式方程2/4/202351將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程xyzPQR2/4/202352例4求過三點(diǎn)的平面方程．（三點(diǎn)不共線）解設(shè)是平面上任意點(diǎn)則三向量共面，故由三向量共面的條件，有這是平面的三點(diǎn)式方程．2/4/202353例5求過三點(diǎn)的平面．ABCM解設(shè)是所求平面上任意點(diǎn)，故所求平面的方程為即取則用點(diǎn)法式2/4/202354定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.４．兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式2/4/202355兩平面位置特征：//例

6研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解2/4/202356兩平面相交，夾角兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.2/4/2023575.點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離公式為：自己閱讀推導(dǎo)過程例7一軌跡上任意一點(diǎn)到兩已知平面的距離相等，求此軌跡的方程解由點(diǎn)到平面的距離公式，知化簡(jiǎn)這是兩個(gè)平面2/4/202358二、空間直線的方程直觀上看，兩點(diǎn)確定一直線、兩平面相交于一直線、過已知一點(diǎn)沿已知方向有且只有一直線．我們建立直線的方程就依據(jù)這些事實(shí)．１．直線的點(diǎn)向式方程設(shè)一直線過已知點(diǎn)而平行于已知向量求出該直線方程．設(shè)直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為易知用坐標(biāo)表示注意比例式的理解?。?/4/202359這就是直線的方程，叫做空間直線的對(duì)稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程（最常用的形式?。┤绻罘匠炭苫癁榻凶鲋本€的參數(shù)方程，t是參數(shù)．例如x軸的標(biāo)準(zhǔn)方程是參數(shù)式方程是那么,你知道表示哪條直線嗎?其中的非零向量叫直線的方向向量．2/4/202360從上例可知，直線的方向向量是不唯一的（但必須平行）；而且直線的方程也是不唯一的，請(qǐng)大家切記！直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程都是點(diǎn)向式方程．下例如何？例8求通過兩點(diǎn)的直線．用點(diǎn)向式方程的方法，所求直線過已知點(diǎn)方向與向量平行，故直線的方程為參數(shù)方程為何？這叫做直線的兩點(diǎn)式方程．2/4/202361解所以交點(diǎn)為取所求直線方程2/4/202362解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程2/4/202363２．直線的一般方程我們知道．若兩個(gè)平面不平行，則交于一直線．如果這兩個(gè)平面的方程分別為則直線的方程可表為這就是空間直線的一般方程．例11化直線為一般方程表示．即2/4/202364例12化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程。解二平面的法向量分別為故直線的方向向量可取下求直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)：令則由即是直線上一點(diǎn)，故標(biāo)準(zhǔn)方程為2/4/202365３．直線間夾角、直線與平面的夾角兩直線間的夾角就是直線的方向向量的夾角，故注意：一般指銳角！如：直線與的夾角的余弦為2/4/202366你可以得到二直線垂直或平行的充要條件嗎?答案下面看一下直線與平面的夾角問題.所謂直線與平面的夾角就是直線與它在平面上的投影間的夾角(銳角)即直線的方向向量與平面的法向量間的夾角的余角.(如圖)2/4/202367則利用兩向量間的夾角公式,知例如:直線與平面間的夾角滿足思考：直線與平面垂直或平行的條件是什么?2/4/202368答案：則前面我們已知點(diǎn)到平面的距離公式，那么你能求出一點(diǎn)到已知直線的距離嗎？答案：2/4/202369§8.5簡(jiǎn)單曲面與空間曲線B、二次曲面的方程與圖形C、簡(jiǎn)單空間曲線的方程與圖形A、一些特殊曲面的方程2/4/202370A、簡(jiǎn)單曲面及其方程在平面直角坐標(biāo)系下，含兩個(gè)變量的方程一般地表示一條平面曲線；類似地，在空間直角坐標(biāo)系下，含三個(gè)變量的方程一般地表示一個(gè)曲面，該方程叫曲面的一般方程．比如最簡(jiǎn)單的曲面—平面的一般方程是由于此方程關(guān)于變量都是一次的，故平面被稱為一次曲面．平面的討論我們上節(jié)已作過介紹．2/4/202371二次曲面的一般方程為三元二次方程其中二次項(xiàng)的系數(shù)不能全為零．我們下面要介紹一些特殊的曲面，大部分是標(biāo)準(zhǔn)方程下的二次曲面．１．球面在空間，到一定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫球面，定點(diǎn)叫球面中心，相等的距離叫球面半徑．設(shè)球心半徑為r，球面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為2/4/202372則由兩點(diǎn)間距離公式，知等式兩邊平方，得這就是球面的標(biāo)準(zhǔn)方程．特別地，如果球心是坐標(biāo)原點(diǎn)，則球面方程為球面的一般方程為那么你可以求出球心坐標(biāo)和球面半徑嗎？2/4/2023732．柱面一般柱面的定義：平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.如果柱面的母線平行于坐標(biāo)軸，則該柱面方程有較簡(jiǎn)單的形式．比如，母線平行于z

軸的圓柱面方程為一般地，方程表示母線平行于z

軸的柱面．在平面直角坐標(biāo)系下表示什么圖形？2/4/202374xzy0母線準(zhǔn)線M(x,y,z)N(x,y,0)S觀察柱面的形成過程:2/4/202375在空間直角坐標(biāo)系下，缺一個(gè)字母的方程表示的曲面是柱面，且柱面的母線平行于所缺字母表示的坐標(biāo)軸！柱面方程的特征：橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸柱面母線如2/4/202376一些常見的二次柱面：橢圓柱面：abzxyo2/4/202377zxyo拋物柱面：2/4/202378zxy=0yo雙曲柱面2/4/2023793．錐面準(zhǔn)線頂點(diǎn)x0z

y通過定點(diǎn)的動(dòng)直線沿著一條定曲線移動(dòng)所形成的曲面叫錐面，其中的定點(diǎn)叫錐面的頂點(diǎn)，定曲線叫準(zhǔn)線，而每一條動(dòng)直線都叫母線．可以證明：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是一個(gè)關(guān)于變量x，y，z

的齊次方程；反之也對(duì)．想想如果準(zhǔn)線是一條直線，則錐面是什么形狀？2/4/202380兩條相交直線繞x

軸一周x

yo最簡(jiǎn)單的二次錐面是圓錐面2/4/202381兩條相交直線繞x

軸一周x

yoz最簡(jiǎn)單的二次錐面是圓錐面2/4/202382x

yoz兩條相交直線繞x

軸一周得圓錐面常見二次錐面的標(biāo)準(zhǔn)方程是最簡(jiǎn)單的二次錐面是圓錐面2/4/2023834.特殊旋轉(zhuǎn)曲面的方程一般地，一條空間曲線Ｃ繞一條定直線旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，其中的定直線叫旋轉(zhuǎn)軸，而曲線Ｃ被稱為曲面的母線．特別地，如果一條空間曲線C在坐標(biāo)面內(nèi)，而且旋轉(zhuǎn)軸是該坐標(biāo)面內(nèi)的某坐標(biāo)軸，旋轉(zhuǎn)曲面的方程是非常容易寫出來的．規(guī)則就是：坐標(biāo)面內(nèi)的一條曲線Ｃ繞該坐標(biāo)面內(nèi)的某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，只要在曲線方程中與坐標(biāo)軸同名的字母保持不變，而以其他兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根代替方程中的另一坐標(biāo)即得旋轉(zhuǎn)曲面的方程．2/4/202384例如：面內(nèi)的曲線繞x

軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞y

軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為再如：面內(nèi)的曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為2/4/202385繞x

軸旋轉(zhuǎn)：繞y

軸旋轉(zhuǎn)：繞z

軸旋轉(zhuǎn)：繞x

軸旋轉(zhuǎn)：直線即繞y

軸旋轉(zhuǎn)：2/4/202386下面的問題是反過來的！答案可能不唯一哦！那么你能從一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面的方程中看出該曲面的旋轉(zhuǎn)軸嗎？該曲面又可能是由哪條特殊的平面曲線生成的呢？旋轉(zhuǎn)軸：生成曲線：軸軸或或2/4/2023875．橢球面由方程表示的二次曲面叫橢球面．其中叫做橢球面的半軸．在空間解析幾何中，為了了解一個(gè)方程所表示的空間圖形，常采用“截痕法”或“截口法”，也叫“平行截割法”。具體點(diǎn)講，就是用平行于三個(gè)坐標(biāo)面的一些平面截割，了解各條平面截線的形狀，從而知道圖形是怎樣的曲面。在作圖之前，通過方程的表達(dá)式充分了解圖形的性質(zhì)，對(duì)作圖及了解形狀非常有幫助。2/4/202388以下性質(zhì)是常用到的：１．圖形的對(duì)稱性：有無對(duì)稱平面、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心？２．特殊點(diǎn)：特別是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)３．圖形與三個(gè)坐標(biāo)面的交線形狀（標(biāo)準(zhǔn)方程下叫主截線）４．圖形的范圍最后再根據(jù)這些性質(zhì)及截線形狀，比較準(zhǔn)確地畫出方程表示的圖形．……2/4/202389abcyx

zo首先用平行于xoy

面的平面截曲面，得到的截口曲線方程為這是一族大小不一的、但所在平面均平行的橢圓．如圖中綠色曲線2/4/202390然后再用平行于zox

的平面截曲面，截口為也是一族橢圓．（圖中的黃色曲線）最后用平行于yoz

面的平面截得曲線仍是橢圓．這樣的方法叫平行截口法，是討論曲面的常用方法之一．用此方法，即可了解曲面的輪廓．下面我們用同樣的方法討論雙曲面和拋物面2/4/2023916．雙曲面雙曲面有單葉與雙葉之分．單葉雙曲面：思考：后兩個(gè)方程的圖形如何？2/4/202392ayxo雙曲線繞y

軸一周例如2/4/202393axyoz.繞y

軸一周雙曲線例如2/4/202394a.xyoz..雙曲線繞y

軸一周例如2/4/202395雙葉雙曲面：xyo2/4/202396關(guān)于方程的討論：如果A、B、C都是正數(shù)，則方程表示橢球面；特別地，若A＝B＝C＞０，表球面；如果A、B、C中兩正一負(fù)，則方程表示單葉雙曲面；如果A、B、C中兩負(fù)一正，則方程表示雙葉雙曲面；如果A、B、C中都是負(fù)數(shù)，則方程的圖形不存在．2/4/2023977．拋物面有橢圓拋物面和雙曲拋物面之分．xzy0截痕法用z=h截曲面用y=k截曲面用x=m截曲面2/4/202398用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（馬鞍面）雙曲拋物面

2/4/202399截痕法.（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面雙曲拋物面

2/4/2023100截痕法（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面雙曲拋物面

2/4/2023101空間曲線的一般方程空間曲