定積分的應(yīng)用

目 錄引言 1文獻(xiàn)綜述 12.1國外研究現(xiàn)狀…………………… 12.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀…………………… 22.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)……………… 22.4提出問題… 2預(yù)備知識(shí) 3定積分概念的提出… 3定積分的定義… 4定積分的近似計(jì)算… 5胡克定律… 6定積分的應(yīng)用 6定積分在平面幾何的應(yīng)用 6定積分在立體幾何中的應(yīng)用… 7定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用… 8定積分在工程中的應(yīng)用… 13定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用… 165 結(jié)論 195.1主要發(fā)現(xiàn) 195.2啟示 20局限性 20努力方向 20參考文獻(xiàn) 21PAGEPAGE6引言任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念，都具有抽象性、精確性、應(yīng)用廣泛性．?dāng)?shù)學(xué)的生命力的源泉在于它的概念和結(jié)論盡管極為抽象，但它們是從現(xiàn)實(shí)中來的，并且在其他科學(xué)中，在技術(shù)中，在全部生活實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用.﹑運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析等等，都要用得到微積分.正是由于微積分的廣泛的應(yīng)用，才使得我們?nèi)祟愒跀?shù)學(xué)﹑科學(xué)技術(shù)﹑﹑經(jīng)濟(jì)﹑工程﹑物理方面的中的一些應(yīng)用.文獻(xiàn)綜述國外研究現(xiàn)狀周述岐、C.H.愛德華在文獻(xiàn)[1-2]中，具體介紹了微積分的發(fā)展歷史，從微積分一些概念的萌芽到微積分的產(chǎn)生，再到對(duì)微積分基礎(chǔ)的爭論和研究，最后到19世紀(jì)微積分現(xiàn)在形勢的確立．定積分是微積分的一個(gè)重要的部分，它不僅是計(jì)算區(qū)域面積或度量幾何體的數(shù)學(xué)工具，而且是計(jì)算許多實(shí)際問題的重要工具.牛頓在1664年夏開始認(rèn)真研究數(shù)學(xué)，首先是歐幾里得的《幾何原本》和笛卡爾的作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路．16841673記號(hào)dx、dyxy的微分dy就定義為它與dx(1)明確了求“和”和求“查”為互逆建立了一套包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及形為xx分基本公式；(3dyydy)的計(jì)算方法；(4)討論了微分在求切線、法線、極大值和極小值中的應(yīng)用．國內(nèi)研究現(xiàn)狀文獻(xiàn)[3-8]專門介紹了定積分的概念及其應(yīng)用，因?yàn)檫@些是數(shù)學(xué)教材，作者只是在數(shù)學(xué)和物理方面做了一些介紹，使我們掌握了些定積分的思想和基本用法，但非常的不完善.本文在第一部分，定積分的概念以及在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用從中進(jìn)行了選取.文獻(xiàn)[9-13]中，介紹了一些數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用，其中馬敏﹑馮梅的《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)》在經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，貼現(xiàn)率，最佳值，資本存量問題，消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余等六個(gè)方面也都體現(xiàn)了定積分的思想.文章中在涉及經(jīng)濟(jì)方面的問題用到了這些內(nèi)容.文獻(xiàn)[14-16]中討論了定積分在物理學(xué)方面的應(yīng)用，很多例題是非常具有代表性的.本文的最后一部分就是參考它，從變力做功，物體質(zhì)量方面進(jìn)行了歸納．國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià).牛頓在微積分的應(yīng)用上更.在對(duì)微積分有導(dǎo)數(shù)概念.雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異，但殊途同歸．國內(nèi)一些書籍及資料中可以看到，有些只介紹定積分定義及一些計(jì)算定積分的方致用的目的．提出問題定積分是數(shù)學(xué)、物理、工程、技術(shù)等有關(guān)問題高度抽象的結(jié)果，它能精確解決求非均勻分布的總量這一類問題，它現(xiàn)在已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)等領(lǐng)域．本文首先介紹定積分的產(chǎn)生背景以及概念，隨后從數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)，工程，物理等方面介紹定積分的應(yīng)用．預(yù)備知識(shí)定積分概念的提出曲邊梯形的面積:（1-1）xaxb（abx軸及連續(xù)曲線yf(x)（f0）x軸上區(qū)間[abyf(x稱為曲邊.[1]yy=f(x)12inOa=xx xx01 2x xi-1 ix x=bn-1yy=f(x)12inOa=xx xx01 2x xi-1 ix x=bn-1nx,x1

[a,b]，x2

xf(xf(x間1 1 2xx處高度差別不大.1 2于是可用如下方法求曲邊梯形的面積.xxx1 2

n1（axx1

n1

b）將整個(gè)曲邊梯形任圖1-2意分割成n圖1-2ax0

xx1

xbn1 n這里取axbx.區(qū)間[a,b]被分割成n個(gè)小區(qū)間[x ,x]用x表示小區(qū)間[x ,x]0 n ii i ii的長度，S表示第i塊曲邊梯形的面積，(i1,2,,n)，整個(gè)曲邊梯形的面積S等于ni個(gè)小曲邊梯形的面積之和，即SnSii1近似代替:對(duì)每個(gè)小曲邊梯形，它的高仍是變化的，但區(qū)間長度x很小時(shí)，i每個(gè)小曲邊梯形各點(diǎn)處的高度變化不大，所以用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面i個(gè)小區(qū)間[xi,xi]上任取一點(diǎn)i，用以[xi,xi]fi為高的小f)x，近似代替這個(gè)小曲邊梯形的面積（1-2，即i iSfi

)x.i求和 整個(gè)曲邊梯形面積的近似值為n個(gè)小矩形面積之和，即SS1

S2

Snf()xf()x

f(

)xnf()x1 1 2

n n i i1上式由于分割不同，選取不同是不一樣的，即近似值與分割及選取有關(guān).i i取極限 將分割不斷加細(xì)每個(gè)小曲邊梯形底邊長趨于零它的高度改變量趨i1

f

)xi

的極限就定義為曲邊梯形面積的精確值.令max{x,x1 2

,,xn

}，當(dāng)0時(shí)，有Slimn0i1

f

)xi i上面的例子，最終歸結(jié)為一個(gè)特定的形式和式逼近.在科學(xué)技術(shù)中還有許多同樣的數(shù)學(xué)問題，解決這類數(shù)學(xué)問題的思想方法概括說來就是“分割，近似求和，取極限”這是定積分概念的背景.定積分的定義設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把[ab分成n

ax0

xx1

xbn1 n[x,x],[x,x],[x,x],,[x

,x],,[x

,x]0 1 1 2 2

i1

n1 nx1

xx1

,x2

xx,…,x2 1

xxn

n1在每個(gè)小區(qū)間[x ,x]上任取一點(diǎn)(x x)，作函數(shù)值與小區(qū)間長度x的乘積ii i ii i if()x.并作和i iSi1

f(i

)xi記max{x,x1 2

,,xn

}，如果不論對(duì)[a,b]怎樣分割，也不管在小區(qū)間[x

i1

,x]上點(diǎn)i（i2n）0時(shí)，和SI，我們稱這if(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分（簡稱為積分，記作bf(x)dx，即abf(x)dxIlimn

f

)x

（1）a

i ii1其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，a稱為積分下限，b稱為積分上限，xxi1

f)xi

稱為積分和.曲邊梯形的面積是曲邊方程yf(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.[2]即Sbf(x)dx(f(x)0).a定積分的近似計(jì)算定積分是分布在間上的總體量..微元．這是“化整為定積分的思想即“化整為零→近似代替→積零為整→取極限”．定積分這種“和的極限”的思想，梯形法：[3]近似計(jì)算定積分的方法．設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]可積，將區(qū)間[a,b]分為n等分，分點(diǎn)是ax0

xx1

…xbn其中 xk

xk

hba，k=1,2,…,nnfx)yk k

, k=0,1,2,…,n近似計(jì)算定積分的梯形法公式：[3]

yybf(xdx

ba(

n1y)na n 2n

kk拋物線法：[3]拋物線法是通過曲線上相鄰三點(diǎn)的拋物線近似代替小弧計(jì)算定積分的方法．設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]可積．將區(qū)間[a,b]等分為2n（偶數(shù)）個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)是：ax0

xx1

…x

x b2n1 2n其中xk-x(k-1)=(b-a)/2n.設(shè)各分點(diǎn)的縱坐標(biāo)是f(x)yk k近似計(jì)算定積分的拋物線法公式：[3]

, k=1,2,…,2nbf(x)dxba(y

4n

2ny)胡克定律

a 6n 0

2n k

2k1

k2k力學(xué)有一種力是彈簧的彈力．當(dāng)彈簧被拉直或壓縮時(shí)．它就會(huì)對(duì)與之相連的物體有彈力作用，這種彈力總是力圖是彈簧恢復(fù)原狀，所以叫做恢復(fù)力．這種恢復(fù)力在彈性限度內(nèi)，其大小和形變成正比．以F表示彈力，以x表示形變亦即彈簧的長度變化，則Fkx （1）k叫彈簧的勁度系數(shù)，負(fù)號(hào)表示彈力的方向總是和彈簧位移的方向相反（1）被稱為胡克定律.[4]定積分的應(yīng)用定積分在平面幾何中的應(yīng)用在初高中我們學(xué)習(xí)過求圓，三角形，平四邊形，梯形等比較規(guī)則的圖形面積，然而對(duì)于不規(guī)則的圖形就無能為力了，所以再學(xué)定積分以前我們只能求一些簡單圖形的面定積分的出現(xiàn)為這些問題，提出了很好的解決條件.[5]2一般地，由上、下兩條連續(xù)曲線y=f (x)與y=f (x)以及兩條直線x=a與x=b(a<b)所21圍成的平面圖形，它的面積計(jì)算公式為Aba

f(x)2

(x)dx （1）1例1.求由拋物線y2x與x-2y-3=0所圍成平面圖形的面積AQ2-1P(1,-1)Q(9,3).用X=1（1）分別求得它們的面積為p4A1 X(X)dx21xdx41 0 0 3A9(xx3)dx282 1 2 3AAA

32

圖2-11 2 3定積分在立體幾何中的應(yīng)用（1）由截面面積函數(shù)求立方體體積設(shè)xx=ax=b為了方便起見稱為位于[a,b]上的立方體.若在任意一點(diǎn)x[a,b]處作垂直于xxA(x),x[a,b],并稱之為的截面面積函數(shù).則通過定積分的定義，得到由截面面積函數(shù)求立方體體積的一般計(jì)算公式和旋轉(zhuǎn)V=bA(x)dx[6]a例2.求由橢球面x2y2z21所圍立體（橢球）的體積.a2 b2 c2解:以平面xx(xa)截橢球面，得橢圓（它在 yoz平面上的正投影）：0 00y2b2(1x20a2

z20c2(1x2)0a2

1.A(x)=bc(1x2,x[-a,a].于是求得橢球體積a27PAGEPAGE15Vabca

x2 a24

4abc3顯然，當(dāng)a=b=c=r時(shí)，這就等于球的體積 r3.3（2）旋轉(zhuǎn)曲面的面積Cy=f(x,x[a,b](f(x)0).xs=2bf(x)1f'2(x)dx[7]aCx=x(t),y=y(t),t[y(t)0,那么CxS=2y(t)x'2(t)y'(t)dt.3.x2y2R2xx1

][-R,R]上的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積.R2R2x2

xx1 x

]上應(yīng)用公式（3，得到x2S=22x

R2x2

1R2x2

dx=2R(x2

x).1x=-R,x1

1=R時(shí)，則得球的表面積S球=4R2.定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的增量根據(jù)邊際收入，邊際成本，邊際利潤以及產(chǎn)量x的變動(dòng)區(qū)間[a,b]上的改變量（增量）就等于它們各自邊際在區(qū)間[a,b]上的定積分：[8]Rb)R(a)bR(xdx （1）aCb)C(a)bC(xdx （2）aLb)L(a)bL(x)dx （3）a4.已知某商品邊際收入為0.08x25（萬元/t5（萬元/tx250t300tR(xC(xI(x（增量解:首先求邊際利潤L(x)R(x)C(x)0.08x2550.08x20所以根據(jù)式1、式（2、式（3，依次求出：R(300)R(250)300R(x)dx300(0.08x25)dx250 250C(300)C(250)300C(x)dx300dx=250250 250L(300)L(250)300L(x)dx300(0.08x20)dx100250 250x例5.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成本C的變化率（即邊際成本）是日產(chǎn)量x的函數(shù)C(x)725，已知固定成本為1000元，求總成本函數(shù)y.x解: 因總成本是邊際成本的一個(gè)原函數(shù)，所以xC(x)(725)dx7x50 cxxx0C(0)1000，代入上式得c1000，于是總成本函數(shù)為xC(x)7x50 1000x例6.某產(chǎn)品銷售總收入是銷售量x的函數(shù)R(x).已知銷售總收入對(duì)銷售量的變化率（即邊際收入）R(x3002x1004005解: 因銷售收入是邊際收入的一個(gè)原函數(shù)，按題意，有R(400)R(300)400R(x)dx300400(3002x)dx300

51 400(300x x2)516000（元）求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率f(t

300t2t1

f(t)dttt2 1為該經(jīng)濟(jì)函數(shù)在時(shí)間間隔[tt內(nèi)的平均變化率.[9]21例7.某銀行的利息連續(xù)計(jì)算，利息率是時(shí)間t（單位：年）的函數(shù)：tr(t)0.080.015t

.求它在開始2年，即時(shí)間間隔[0，2]內(nèi)的平均利息率.解: 由于t22rt)dt2(0.080.015tdt0.160.0t 20.160.02t20 0 0所以開始2年的平均利息率為2rt)dt2r02

2

0.08

0.094例8.某公司運(yùn)行t（年）所獲利潤為L(t)（元）利潤的年變化率為L(t)3105t1（元/年）求利潤從第4年初到第8年末，即時(shí)間間隔[3，8]內(nèi)年平均變化率解: 由

28Lt)dt83105tdt2105t1)3 381028 53 3 3所以從第4年初到第8年末，利潤的年平均變化率為8Lt)dt383

7.6105（元/年）即在這5年內(nèi)公司平均每年平均獲利7.6105元.由貼現(xiàn)率求總貼現(xiàn)值在時(shí)間區(qū)間上的增量設(shè)某個(gè)項(xiàng)目在t（年）ft)（萬元，年利率為rft)ert，則應(yīng)用定積分計(jì)算，該項(xiàng)目在時(shí)間區(qū)間[a,b]上總貼現(xiàn)值的增量為bf(t)ertndt.aA（萬元，竣工后的年收入預(yù)計(jì)為a（萬元年利率為rTaertdtA0T（年）稱為該項(xiàng)工程的投資回收期.[10]例9.某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為1000萬元，竣工后的年收入預(yù)計(jì)為200萬元，年利息率為0.08，求該工程的投資回收期.解:這里A1000，a200，r0.08，則該工程竣工后T年內(nèi)收入的總貼現(xiàn)值為T200e0.08tdt0

2000.08

e0.08tT0

2500(1e0.08T)令 2500(1e0.08T)=1000，即得該工程回收期為1 1000 1T

ln(1 ) ln0.6=6.39（年0.08 2500 0.08利潤、產(chǎn)量與開工時(shí)數(shù)的最佳值的確定例10. 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，年產(chǎn)量為x噸時(shí)，總費(fèi)用的變化率（即邊際費(fèi)用）為f(x)25x8（單位：百元/噸3000少產(chǎn)品工廠利潤最大，并求出年利潤的最大值解: 總費(fèi)用是邊際費(fèi)用的原函數(shù)，故C(x)x(0.25x8)dx0.125x28x0R(x)30x（百元，又由L(x)＝R(x)C(x)22x0.125x2則 L(x)220.25x令L(x)0，得x88（噸）.駐點(diǎn)唯一.此時(shí)L(88)0.250，由實(shí)際問題可知，當(dāng)x88時(shí)，L(x)取得最大值L(88)22880.125882968(百元).因此，年產(chǎn)量為88噸時(shí)工廠獲得最大利潤96800元.例11.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每日總收入的變化率（即邊際收入）是日產(chǎn)量xR(x)300.2x（單位：元/件）.30解:由題意R(x)x(300.2x)dx30x0.1x2，0令R(x)300.2x0，得x150，Rx)0.20，因?yàn)镽(xx150x150R(x取R(150301500.115022250.150件，此時(shí)R150)2250（元完成150件產(chǎn)品需要的工時(shí)為1505（小時(shí)30品5小時(shí)，就使每日收入最大，最大值為2250元.資本存量問題例12.資本存量ss(t)是時(shí)間t的函數(shù).它的導(dǎo)數(shù)等于凈投資I(t).現(xiàn)知道凈投資tI(t)3t

（單位：10萬元/年）.求第一年底到第四年底的資本存量.解: 因資本存量s是凈投資的一個(gè)原函數(shù)，故s(4)41

34tdt2t21

＝14（10萬元）所以，第一年底到第四年底的總資本存量為1400000元.13.t的函數(shù)5f(x)14.t4（單位：萬元/年1000年時(shí)間？解: 依題意510004x14.54即4100058[(4x)94

t4944]9由此，得

9(4x)4

9000494584解此方程，得

4x9.9993x6.所以，從第五年積存1000萬元現(xiàn)金約需6年.消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余在自由市場中，生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這一商品的供給與需求曲線描述，它的狀態(tài)可在如圖上直觀表現(xiàn)如下：p的經(jīng)濟(jì)意義是供應(yīng)者會(huì)生產(chǎn)此商品的最低價(jià).0p是消費(fèi)者會(huì)購買此種商品的最高價(jià).1qP*和平衡1數(shù)量q*，兩條曲線在(q*,p*)相交.[11]消費(fèi)者以平衡價(jià)格購買了某種商品，他們本來打算出較高的價(jià)格購買這種商品，消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者因此而省下來的錢的總數(shù).用積分式來表達(dá)就是：消費(fèi)者剩余q*Q0 d

(q)dqp*q*＝曲邊三角形Mp1

p*面積.生產(chǎn)者以平衡價(jià)格出售了某種商品，他們本來打算以較低一些的售價(jià)售出這些商品，生產(chǎn)者剩余是指生產(chǎn)者因此而獲得的額外收入.用積分式表達(dá)就是生產(chǎn)者剩余p*q*q*Q0

(q)dq＝曲邊三角形Mp0

p*面積.定積分在工程中的應(yīng)用定積分中值定理定積分中值定理作為定積分的一個(gè)重要性質(zhì)，計(jì)算河床的平均深度時(shí)，應(yīng)用定積分中值定理知識(shí).此問題主要出現(xiàn)在水利工程專業(yè)的《工程水文學(xué)》課程中，主要應(yīng)用于計(jì)算河流、湖泊等河床橫斷面水的平均深度，以此用作河流測流、工程設(shè)計(jì)或施工的一（B（h（hh1ba1

bf(x)dx(m).a例14.設(shè)一河流的河面在某處的寬度為2b，河流的橫斷面為一拋物線弓形，河床h的最深處在河流的中央，深度為h，求河床的平均深度.h分析：首先，選取坐標(biāo)系使x軸在水平面上，y軸正向朝下，且y軸為拋物線的對(duì)hh深度.h

x2b2解：河床的平均深度h

1ba

bf(x)dx=2h.a 3定積分的近似計(jì)算知識(shí)的應(yīng)用過水?dāng)嗝婷娣e，進(jìn)而計(jì)算截面流量（即渠系測流）Q＝V/t（m3/s）.在水利工程中，流量的計(jì)算通常運(yùn)用公式Q=sv(m3/s)，（s）與流速的乘積.15.24法或拋物線法近似求橫截面積等高等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行測流.002 4 6y0 y1 y2 8 101214161820y102224y11y12xy圖4-1分析：根據(jù)灌溉管理學(xué)知識(shí)，首先選擇測流斷面，確定測線.測流斷面選擇在渠段12（與斷面起點(diǎn)樁的水平距離；測線深度，用木制或竹制的測深桿施測，從渠道一岸到對(duì)岸2v=0.60m/s.第四，近似計(jì)算渠道過水?dāng)嗝婷娣e和流量.. 測線深度施測數(shù)據(jù)表 （單位：m）xxi0246810 12 14 16 18 20 22 24yi00.5 0.7 1.0 1.5 1.6 1.9 2.2 2.0 1.7 1.3 0.8 0解答：拋物線法：A≈30.67m2Q=18.40m3/s.：A≈30.40m2Q=18.24m3/s.微元法知識(shí)的應(yīng)用微元法在專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課中應(yīng)用非常廣泛，求解物體所受液體的側(cè)壓力，應(yīng)用水壓力的大小，作為設(shè)計(jì)或校核閘門結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要依據(jù).水閘是一種低水頭水工建筑湖泊岸邊，在水利工程中的應(yīng)用十分廣泛.閘門是水閘不可缺少的組成部分，用來調(diào)節(jié)[12]按其所處的位置不同可分為露頂閘門和潛孔閘門；按其所用的材料可分為鋼閘門、鋼筋圓形閘門和橢圓形閘門等.[13]閘門的主要作用是擋水，承受水壓力是其作用荷載之一.運(yùn)用微元法計(jì)算閘門所受水壓力時(shí)，設(shè)受水壓力作用的區(qū)域與水平面垂直且由曲線y=f(x)＞0,(0≤a≤x≤b)x=a,x=bx.x軸正向朝下，y的密度為=1000㎏/m3,則閘門所受的水壓力大小為F=ba

gxf(x)dx(N).例16.有一個(gè)水平放置的無壓輸水管道，其橫斷面是直徑為6m的圓，水流正好半滿，求此時(shí)輸水管道一端的豎直閘門上所受的水壓力.rrOyxx+dxx圖4-2分析：首先建立合適的直角坐標(biāo)系，如圖所示，則圓的方程為x2y2r2=9.然后，運(yùn)用微元法求解即可.解答：F=1.76×105N.定積分在物理學(xué)的應(yīng)用變力做功WFS該通過恒力做功公式得到的．[14]例17.1m1cm0.05N1m（6-1）60cm（6-2）所做的功．6-16-2解：令起點(diǎn)為原點(diǎn)，壓縮的方向?yàn)閤軸的正方向，當(dāng)把彈簧自原點(diǎn)壓縮至0,0.4之間的任意點(diǎn)x處時(shí)（如圖6-3）圖6-3由胡克定律知所承受的彈簧的壓力為Fx0.05x5x0.01在此力的作用下，再繼續(xù)壓縮一點(diǎn)點(diǎn)dx，即壓縮至xdx處，由于dx很小，這個(gè)壓縮過16程可認(rèn)為力Fx不變，即恒力做功，則由恒力做功公式得功的微元dWFxdx積分得

W0.4Fxdx0.45xdx5x20.40.4J．0 0 2 0例18. 在原點(diǎn)處有一帶電量為q的點(diǎn)電荷，在它的周圍形成了一個(gè)電場．現(xiàn)在xaxxb荷繼續(xù)移動(dòng)，移動(dòng)至無窮遠(yuǎn)處，電場力要做多少功．xFxkq（k為靜電力常量）x2電場力做功的微元dW為點(diǎn)電荷由任意點(diǎn)x處移動(dòng)至xdx處時(shí)電場力Fx所做的功即dWFxdxkqdxx2則移至xb處電場力做的功Wbk

qdxkq1bkq11； a x2

xa a b移至無窮遠(yuǎn)處電場力做的功Wka

qdxkq（xa處的電位．x2 a例19.15m20m10m滿的水全部抽干，需要做多少功?解：水是被“一層層”地抽出去的，在這個(gè)過程中，不但每層水的重力在變，提升的高度也在連續(xù)地變化圖6-4其中抽出任意一層水（x處厚為dx的扁圓柱體，如圖6-4）功的微元dW為密度，即17

2022dW dmgx dV gx則

gx33

x dx15

22

15

22

80 1 15Wgx20 xdxgx20 xdxg200x2 x3 x40 3

0 3

9 9 020625g202125000J．求物體質(zhì)量對(duì)于密度均勻的物體的質(zhì)量ml

l或m

A、mV，這時(shí)密度是常量；A但對(duì)于密度不均勻（密度是變量）的物體的質(zhì)量就不能直接用上述公式了，而應(yīng)該用微元法．[15]例20.一半圓形金屬絲，其上任意點(diǎn)處的線密度與該點(diǎn)到連接金屬絲端點(diǎn)的直徑的距離成正比，求金屬絲的質(zhì)量解: 建立如圖6-5坐標(biāo)系則xkykR2x2 0ly xR2x2ds dx2dy21y2dx

圖6-5R dxR2x2dml

xdskR2x2

RR2x2

dxkRdxmRkRdx2kR2．R例21.設(shè)有一心臟線r1cos形的物質(zhì)薄片，其面密度A此物質(zhì)薄片的質(zhì)量．18

2cos，試求dA

1r2d 1cos2d12 21dmdA2cos11cos2145cos2coscos3A 2 212 m 20

45cos2cos2