新浙教版3.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差

問(wèn)題情景

老師要選拔A、B兩人數(shù)學(xué)競(jìng)賽，觀察近期的五次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭荆l(shuí)的成績(jī)較為穩(wěn)定？為什么？能通過(guò)計(jì)算回答嗎?測(cè)試次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次A7080808090B100601006080我們把這兩位同學(xué)的成績(jī)畫出折線統(tǒng)計(jì)圖如下，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)均為80，那它們有沒有什么差異呢？由圖中可以看出，

A同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)沒有B同學(xué)的穩(wěn)定.我們班現(xiàn)要挑選他們中的其中一名參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，你認(rèn)為挑選哪一位比較適宜？01220345406080100成績(jī)（分）測(cè)試次數(shù)A

B運(yùn)用畫圖的方法對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡(jiǎn)單方便,形象直觀，但當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大或樣本數(shù)據(jù)較大時(shí)，畫圖就顯得相當(dāng)麻煩，且不容易得出結(jié)論?？疾鞓颖緮?shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

3.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差

設(shè)一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1－x)2、(x2－x)2

、…(xn－x)2

，那么我們用它們的平均數(shù)，即用來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下,方差越大,說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定.S2=[(x1－x)2＋(x2－x)2

＋…＋(xn－x)2

]1n注意建構(gòu)數(shù)學(xué)

方差用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，也就是這組數(shù)據(jù)的離散程度....例:

為了考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì),分別從中抽出10株苗，測(cè)得苗高如下(單位:cm):甲:12131415101613111511乙:111617141319681016問(wèn)哪種小麥長(zhǎng)得比較整齊?思考：求數(shù)據(jù)方差的一般步驟是什么？1、求數(shù)據(jù)的平均數(shù)；2、利用方差公式求方差。S2=[(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2]數(shù)學(xué)運(yùn)用

例：為了考察甲乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì)，分別從中抽出10株苗，測(cè)得苗高如下（單位：cm）：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16；問(wèn)：哪種小麥長(zhǎng)得比較整齊？X甲＝（cm）X乙＝（cm）

S2甲＝（cm2）S2乙＝（cm2）

因?yàn)镾2甲<S2乙，所以甲種小麥長(zhǎng)得比較整齊。

解:數(shù)學(xué)運(yùn)用

(1)數(shù)據(jù)1m、2m、3m、4m、5m的方差是_____（2）A組：11kg、12kg、13kg、14kg、15kg方差是_____B組：3cm、6cm、9cm、12cm、15cm方差是_______2(kg)22m29(cm)2S2=[(x1－x)2＋(x2－x)2

＋…＋(xn－x)2

]1nS=[(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2]標(biāo)準(zhǔn)差也是反映數(shù)據(jù)的離散程度，同樣可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差大說(shuō)明波動(dòng)大.

注意：一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)離散程度越小，這組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．即特殊的：如果方差與標(biāo)準(zhǔn)差為零，說(shuō)明數(shù)據(jù)都沒有偏差，即每個(gè)數(shù)都一樣。(1)某樣本的方差是9，則標(biāo)準(zhǔn)差是______3(2)一個(gè)樣本的方差是則這個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是____，平均數(shù)是____1008（3）計(jì)算下列這一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差：

-1，2，0，-3，-2，3，0，13.51、（2010廣州）老師對(duì)甲、乙兩人的五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出兩人五次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均分均為90分，方差分別是＝51、＝12．則成績(jī)比較穩(wěn)定的是______

（填“甲”、“乙”中的一個(gè)）．2、（2010南京）甲、乙兩人5次射擊命中的環(huán)數(shù)如下：甲798610，乙78988，則這兩人5次射擊命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)，方差

。（填“>”“<”或“=”）

乙>走近中考3、（2010浙江紹興）甲、乙、丙、丁四位選手各10次射擊成績(jī)的平均數(shù)和方差如下表：選手甲乙丙丁平均數(shù)(環(huán))9.29.29.29.2方差(環(huán)2)0.0350.0150.0250.027則這四人中成績(jī)發(fā)揮最穩(wěn)定的是()A.甲

B.乙

C.丙

D.丁乙第4題4．（2010福建南平）如圖是甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)期的四次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則這四次數(shù)學(xué)考試成績(jī)中()A．乙成績(jī)比甲成績(jī)穩(wěn)定

B．甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定C．甲、乙兩成績(jī)一樣穩(wěn)定

D．不能比較兩人成績(jī)的穩(wěn)定性A思維拓展已知三組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和3、6、9、12、15。1、求這三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。2、對(duì)照以上結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)哪些有趣的結(jié)論？平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差1、2、3、4、511、12、13、14、153、6、9、12、15322132223918請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來(lái)解決以下的問(wèn)題：已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為x，方差為y。則①數(shù)據(jù)a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3的平均數(shù)為--------，方差為-------

標(biāo)準(zhǔn)差為----------。②數(shù)據(jù)a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3的平均數(shù)為

----------，方差為--------

標(biāo)準(zhǔn)差為----------。③數(shù)據(jù)3a1，3a2，3a3，…，3an的平均數(shù)為-----------，方差為-----------

標(biāo)準(zhǔn)差為----------。④數(shù)據(jù)2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均數(shù)為----------

方差為---------，標(biāo)準(zhǔn)差為----------。能力提高x+3yx-3y3x9y2x-36y1、為了描述隨機(jī)變量的取值在其數(shù)學(xué)期望周圍的分散程度，即反映一組數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的另外一個(gè)特征數(shù)——方差2、因?yàn)榉讲畹膯挝皇请S機(jī)變量的單位的平方，故在實(shí)用上有時(shí)不方便，此時(shí)可改用其算術(shù)平方根——標(biāo)準(zhǔn)差小結(jié)：3.方差:各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做這批數(shù)據(jù)的方差.

4.方差：用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).在樣本容量相同的情況下,方差越大,說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定.5.標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差.S2=[(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2]S=[(x1-x)2+(x2-x)2+