山西省大同市鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省大同市鄉(xiāng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點A(a,b)滿足方程x-y-3＝0，則由點A向圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0所作的切線長的最小值是

A．2

B．3

C．4

D．參考答案：C略2.已知命題：，，則（

）(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C3.已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3=6，S3=12，則公差d等于（）A．1 B． C．2 D．3參考答案：C【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由a3=6，S3=12，聯(lián)立可求公差d．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故選C．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，是基礎(chǔ)的會考題型．4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，則b=（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.由曲線,直線及y軸所圍成的圖形的面積為

（）A. B.4 C. D.6參考答案：A【分析】確定出曲線y，直線y＝x﹣2的交點，確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和積分的關(guān)系求解即可．【詳解】聯(lián)立方程得到兩曲線的交點（4，2），因此曲線y，直線y＝x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為：S．故選:A．【點睛】本題考曲邊圖形面積的計算問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算能力，考查學(xué)生對定積分與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系的認(rèn)識，求定積分關(guān)鍵要找準(zhǔn)被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于定積分的簡單應(yīng)用問題．6.箱子里有5個黑球,4個白球,每次隨機(jī)取出一個球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為(

)

A.

B.()3×

C.×

D.×()3×參考答案：B略7.已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題：①

②③

④其中正確命題的序號是

（

）A．①③

B．②④

C．①④

D．②③參考答案：C8.已知橢圓上的點到橢圓一個焦點的距離為7，則到另一焦點的距離為（）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.下列函數(shù)中，滿足“對任意，，當(dāng)時，都有”的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知數(shù)列{an}：，+，++，…，+++…+，…，若bn=，那么數(shù)列{bn}的前n項和Sn為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】數(shù)列的求和．【分析】先確定數(shù)列{an}的通項，再確定數(shù)列{bn}的通項，利用裂項法可求數(shù)列的和．【解答】解：由題意，數(shù)列{an}的通項為an==，∴bn==4（﹣）∴Sn=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點P是雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）左支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，且=0，若PF2的中點N在第一象限，且N在雙曲線的一條漸近線上，則雙曲線的離心率是．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由雙曲線的定義可得n﹣m=2a，再由向量垂直的條件，結(jié)合勾股定理和直角三角形的正切函數(shù)定義，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的關(guān)系，由離心率公式計算即可得到所求值．【解答】解：由題意可設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由雙曲線的定義可得n﹣m=2a，①設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），由=0，可得三角形F1PF2是以P為直角頂點的三角形，即有m2+n2=4c2，②直線ON的方程為y=x，由題意可得在直角三角形ONF2中，|ON|=m，|NF2|=n，即有=，③由①③可得m=，n=，代入②可得+=4c2，由c2=a2+b2，可化為a2=（b﹣a）2，可得b=2a，c==a，則e==．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，注意運(yùn)用中位線定理和勾股定理，以及定義法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12.曲線在處的切線方程是__________.參考答案：13.不等式：

。參考答案：略14.已知直線平面，直線平面，則直線的位置關(guān)系是_參考答案：15.命題：“?x∈N，x3＞x2”的否定是、參考答案：?x∈N，x3≤x2【考點】命題的否定．【分析】用一個命題的否定的定義來解決．【解答】解：由一個命題的否定的定義可知：改變相應(yīng)的量詞，然后否定結(jié)論．故答案是?x∈N，x3≤x2【點評】本題考查一個命題的否定的定義．16.已知雙曲線右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的離心率等于

參考答案：17.已知，為第四象限角，則

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1處有極值10．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）求f（x）在[0，4]上的最大值與最小值．參考答案：【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值．（2）令導(dǎo)函數(shù)大于0求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，4]上的最值．【解答】解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，得a=4，或a=﹣3∵a＞0，∴a=4，b=﹣11（經(jīng)檢驗符合）（2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11，由f′（x）=0得所以令f′（x）＞0得；令所以f（x）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，4）上單調(diào)遞增，又因為f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，所以f（x）的最大值為100，最小值為1020．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在極值點處的值為0；導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)函數(shù)的得到遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0對應(yīng)函數(shù)的遞減區(qū)間．19.已知點A(2，a)，圓C：(x－1)2＋y2＝5。(I)若過點A只能作一條圓C的切線，求實數(shù)a的值及切線方程；(II)設(shè)直線l過點A但不過原點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若直線l被圓C截得的弦長為2，求實數(shù)a的值。參考答案：20.為了對某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A、B、C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：人）（1）求x、y；（2）若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人來自高校C的概率。參考答案：解：由題意可得，所以

（2）記從高校B抽取的2人為、，從高校C抽取的3人為、、，則從高校B、C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共10種。設(shè)選中的2人都來自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有（，）（，）（，）共3種。因此故選中的2人都來自高校C的概率為略21.設(shè)橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P，Q兩點，且AP：PQ=8：5．（1）求橢圓的離心率；（2）已知直線l過點M（﹣3，0），傾斜角為，圓C過A，Q，F(xiàn)三點，若直線l恰好與圓C相切，求橢圓方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)出P，Q，F(xiàn)坐標(biāo)，利用以及AP：PQ=8：5，求出P的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求橢圓的離心率；（2）利用直線l過點M（﹣3，0），傾斜角為，求出直線的方程，通過圓C過A，Q，F(xiàn)三點，直線l恰好與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出a，b，c的值，即可求得橢圓方程．【解答】解：（1）設(shè)點Q（x0，0），F(xiàn)（﹣c，0），P（x，y），其中，A（0，b）．由AP：PQ=8：5，得，即，得，…（2分）點P在橢圓上，∴．①…（4分）而，∴．∴．②…（6分）由①②知2b2=3ac，∴2c2+3ac﹣2a2=0．∴2e2+3e﹣2=0，∴．…（8分）（2）由題意，得直線l的方程，即，滿足條件的圓心為，又a=2c，∴，∴O′（c，0）．…（10分）圓半徑．

…（12分）由圓與直線l：相切得，，…（14分）又a=2c，∴．∴橢圓方程為．…（16分）【點評】本題是中檔題，考查題意的離心率的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想，常考題型．22.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=t（Sn﹣an+1）（t為常數(shù)，且t≠0，t≠1）．（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=an2+Snan，若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求t的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)cn=4an+1，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若不等式≥2n﹣7對任意的n∈N*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】8K：數(shù)列與不等式的綜合；8G：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）當(dāng)n=1時，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t．當(dāng)n≥2時，由（1﹣t）Sn=﹣tan+t，得，（1﹣t）Sn﹣1=﹣tan﹣1+t．故an=tan﹣1，由此能求出{an}的通項公式．（2）由，得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，，由此能求出t的值．（3）由t=，得，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t．當(dāng)n≥2時，由Sn=t（Sn﹣an+1），即（1﹣t）Sn=﹣tan+t，①得，（1﹣t）S